Cơ sở groebner và hệ phương trình đa thức

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM



NGUYỄN THỊ THANH VÂN

CƠ SỞ GROEBNER

VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2017

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Chánh Tú

Phản biện 1:.................................................................................

Phản biện 2:.................................................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Toán học họp tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng vào

ngày.......tháng.......năm..........

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán phổ thông, khi giải hệ phương trình đa thức

một biến ta thường sử dụng phép chia có dư và thuật toán Euclide. Vậy đối

với hệ phương trình đa thức nhiều biến ta còn có thể sử dụng phép chia có

dư và thuật toán Euclide được nữa không hay sử dụng phép chia và thuật

toán nào tương tự ? Cách chia và thuật toán đó có gì đặc biệt và có được

ứng dụng rộng rãi không ?

Khi học môn đại số giao hoán, ta đã giải đáp được các câu hỏi trên dựa

vào lý thuyết cơ sở Groebner với phần ứng dụng của nó. Cơ sở Groebner

được nhà toán học Bruno Buchberger giới thiệu trong luận án tiến sĩ vào

năm 1965 dưới sự hướng dẫn của giáo sư Wolfgang Groebner. Sử dụng thuật

toán Buchberger giúp ta tìm được cơ sở Groebner cho các đa thức nhiều

biến. Và từ đó giúp ta hình thành phương pháp giải các hệ phương trình đa

thức nhiều biến. Ngoài ra lý thuyết cơ sở Groebner đã mở ra các ứng dụng

khác thực sự phong phú từ đó cho đến nay.

Với những lý do trên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Chánh Tú,

tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: Cơ sở Groebner và hệ phương trình

đa thức.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết về cơ sở Groebner, tiêu chuẩn Bucheberger, thuật

toán Buchberger và ứng dụng của cơ sở Groebner vào việc giải hệ phương

trình đa thức nhiều biến.

2

2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nắm được các khái niệm về đa thức, thứ tự đơn thức, iđêan dẫn đầu,

cơ sở Groebner, tiêu chuẩn và thuật toán Buchberger.

Sử dụng thuật toán Buchberger tìm cơ sở Groebner của các đa thức

nhiều biến và ứng dụng vào giải hệ phương trình đa thức nhiều biến.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Cơ sở Groebner và ứng dụng giải hệ phương trình đa thức nhiều biến.

4. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận: thu thập, đọc và nghiên cứu các tài liệu,

các bài báo, giáo trình về các vấn đề: đa thức, thứ tự đơn thức, iđêan dẫn

đầu, cơ sở Groebner, tiêu chuẩn và thuật toán Buchberger, một số bài toán

ứng dụng.

Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn và

các giảng viên khác thuộc khoa Toán trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận văn giúp bản thân tôi hiểu rõ lý thuyết cơ sở Groebner, nắm được

các ứng dụng của nó trong nghiên cứu toán học đặc biệt là việc ứng dụng vào

giải hệ phương trình đa thức nhiều biến và biết được một số loại hệ phương

trình đa thức nhiều biến giải được thông qua việc tìm cơ sở Groebner.

6. Cấu trúc của luận văn

Luận văn được trình bày theo cấu trúc gồm 02 chương:

Chương I. Lý thuyết về cơ sở Groebner.

Chương II. Ứng dụng cơ sở Groebner giải hệ phương trình đa thức với

sự hỗ trợ của phần mềm Maple.

3

CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT VỀ CƠ SỞ GROEBNER

Trong chương này, chúng tôi nêu ra các khái niệm, tính chất về iđêan

đơn thức, thứ tự đơn thức, hạng tử dẫn đầu, cơ sở Groebner, tiêu chuẩn

và thuật toán Buchberger. Tất cả các khái niệm, kết quả trong chương này,

chúng tôi lấy từ tài liệu tham khảo [1], [4], [5].

1.1. Vành đa thức

1.1.1. Các khái niệm cơ bản về vành đa thức

Vành đa thức n biến trên k là k[x1, ..., xn]. Sau đây, ta luôn kí hiệu

k[X] = k[x1, ..., xn].

Các phần tử của k[X] được gọi là đa thức n biến f. Vành k[X] không

phụ thuộc vào thứ tự các biến vì mọi đa thức n biến f đều có dạng

f(X) = X

α1+...+αn≤α

cα1,...,αnx

α1

1

...xαn

n

với α là một số tự nhiên nào đó và cα1,...,αn ∈ k. Các phần tử cα1,...,αn

được

gọi là hệ số, trong đó c0,...,0 là hệ số tự do của f. Các biểu thức x

α1

1

...xαn

n

được gọi là đơn thức. Bậc của đơn thức x

α1

1

...xαn

n

là tổng α1 + ... + αn của

các số mũ. Bậc của đa thức f 6= 0 là bậc lớn nhất trong các bậc của các

đơn thức với hệ số khác không của f. Ta kí hiệu bậc của f là degf.

1.1.2. Iđêan đơn thức

Định nghĩa 1.1.1. Iđêan I ⊂ k[x1, ..., xn] là iđêan đơn thức nếu có

tập con A ⊂ Z

n

≥0 mà trong đó I bao gồm tất cả các đa thức là tổng hữu

hạn của dạng P

α∈A hαx

α

, trong đó hα ∈ k[x1, ..., xn]. Trong trường hợp

này, ta viết I = hx

α

: α ∈ Ai.

4

Ví dụ 1.1.2. Trong vành k[x, y], I = hx

3

, xy2

, xi là một iđêan

đơn thức.

Bổ đề 1.1.3. Cho I = hx

α

: α ∈ Ai là một iđêan đơn thức. Một

đơn thức x

β ∈ I khi và chỉ khi x

β

chia hết cho x

α

với α ∈ A.

Bổ đề 1.1.4. Cho I là một iđêan đơn thức và f ∈ k[x1, ..., xn].

Các điều kiện sau là tương đương:

(i) f ∈ I.

(ii) Mọi hạng tử của f thuộc I.

(iii) f là một tổ hợp tuyến tính trên k của các đơn thức trong I.

Hệ quả 1.1.5. Hai iđêan đơn thức được gọi là bằng nhau nếu tập

các đơn thức của chúng là như nhau.

Định lí 1.1.6. (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I đều viết được

dưới dạng I =

x

α(1), ..., xα(s)

, trong đó ta có α(1), ..., α(s) ∈ A.

Đặc biệt, I có hệ sinh hữu hạn.

1.1.3. Định lí Hilbert

Định nghĩa 1.1.7. Vành k được gọi là vành Noether nếu mọi iđêan

của k đều hữu hạn sinh.

Bổ đề 1.1.8. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Vành k là vành Noether,

(ii) Mọi dãy tăng các iđêan trong k:

I1 ⊆ I2 ⊆ ...In ⊆ In+1 ⊆ ...

đều dừng, tức là tồn tại j ≥ 1 để Ij = Ij+1 = ...

(iii) Mọi hệ khác rỗng các iđêan trong k đều có ít nhất một phần tử

cực đại (không nằm trong bất kì một iđêan nào khác của hệ).

Định lí 1.1.9. Nếu k là vành Noether thì vành đa thức k[x] Noether.