Chuyên đề 08 tích phân đơn giản sử dụng tích chất để tính tích phân hướng dẫn giải

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Định nghĩa: Cho hàm số y f x   

liên tục trên K ; a b,

là hai phần tử bất kì

thuộc K ,

F x 

là một nguyên hàm của f x 

trên K . Hiệu số F b F a     

gọi

là tích phân của của f x 

từ a đến b và được kí hiệu:

       

b

b

a

a

f x dx F x F b F a   

.

2. Các tính chất của tích phân:



  0

a

a

f x dx 



   

a b

b a

  f x dx f x dx 



. .    

b b

a a

  k f x dx k f x dx 



       

b b b

a a a

       f x g x dx f x dx g x dx   



     

b c b

a a c

   f x dx f x dx f x dx  

 Nếu f x g x x a b        ;  

thì

   

b b

a a

  f x dx g x dx 

.

3. Phương pháp đổi biến số loại 1 để tính tích phân

Yêu cầu : Tính tích phân

    1 2 d

b

a

I f x f x x 

Phương pháp:

+ Biến đổi về dạng

    d .

b

a

I f u x u x x       

+ Đặt t u x t u x x      d d .  

+

Đổi cận:     1 2 x a t u a t x b t u b t         ; .

+ Khi đó:

 

2

1

d

t

t

I f t t 

là tính phân đơn giản hơn.

Một số dấu hiệu cơ bản và cách chọn t u x   

Dấu hiệu Cách chọn t

Hàm số chứa mẫu số t là mẫu số

Hàm số chứa căn f x u x  , ( ) t là căn: t u x  ( )

Hàm số có dạng  ( )

n

f x

lũy thừa t

là biểu thức trong lũy thừa, t f x  ( )

Hàm số lượng giác có góc xấu t

là góc xấu

Hàm số mũ, mà mũ xấu t

là mũ xấu

Hàm số log u

mà u xấu t u 

CHUYÊN ĐỀ 08: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN – TÍCH PHÂN CÁC

HÀM SỐ ĐƠN GIẢN

Hàm số

sin cos ( )

sin cos

a x b x f x

c x d x e





 

tan cos 0

2 2

x x

t

       

Hàm    

1

f x( )

x a x b



 

Tổng quát đặt t x a x b    

+ Với x a x b      0 0 , đặt

t x a x b    

+ Với x a x b      0 0 , đặt

t x a x b          

R x xdx (cos ).sin

Đặt t x cos

R x xdx (sin ).cos

Đặt t x sin

2

1

(tan ).

cos

R x dx

x

Đặt t x tan

2

1

(cot ).

sin

R x dx

x

Đặt t x cot

Hàm có ,

x x

e a Đặt ,

x x t e t a  

Hàm số vừa có ln x vừa có

1

x

Đặt t x ln

4. Phương pháp đổi biến số loại 2 để tính tích phân

Yêu cầu: Tính tích phân

  d

b

a

I f x x 

Phương pháp: Đặt x t x t t        d d  

+ Đổi cận: 1 2 x a t t x b t t       ;

+ Khi đó:

   

2

1

d

t

t

I f t t t        

Một số cách đổi biển cần nhớ:

+

 

2 2

: tan , ;

2 2

a bx c bx c a t t    

         

+

 

2 2

: sin , ;

2 2

a bx c bx c a t t    

        

+

   

2 2

: , ; \ 0

sin 2 2

a

bx c a bx c t

t

   

        

+ Nhớ:

2 2 2

1 1 1

( ) tan

0, 0 2 4

2 2

1 1

2 4

b

x x t a x t

a a a

x x t

a

dx dt

ax bx c b

a x

a a

 

 

 

 

           

 

  

5. Phương pháp từng phần để tính tích phân

Công thức từng phần:

    d d        

b b b

a

a a

u x v x x u x v x v x u x x         

.

Viết gọn:

d d  

b b

b

a

a a

  u v uv v u  

Áp dụng: Tính tích phân

  d

b

a

I f x x 

Phương pháp:

+ Bước 1: Biến đổi

    1 2 . d

b

a

I f x f x x 

+ Bước 2: Đặt

 

 

 

 

1 1

2 2

d d

d d

u f x u f x x

dv f x x v f x x

    

    

    

+ Bước 3: Khi đó

  d

b

b

a

a

I uv v u   

● Dạng 1. I P x ax b x      sin d  

, trong đó P x 

là đa thức.

Với dạng này, ta đặt

 

 

 

 

d .d

1

d sin d cos

u P x x u P x

v ax b x v ax b

a

  

  

  

       .

● Dạng 2. I P x ax b x      cos d  

, trong đó P x 

là đa thức.

Với dạng này, ta đặt

 

 

 

 

d .d

1

d cos d sin

u P x x u P x

v ax b x v ax b

a

  

  

  

       .

● Dạng 3.   d

ax b I P x e x   , trong đó P x 

là đa thức.

Với dạng này, ta đặt

 

d .d  

1

d d ax b ax b

u P x x u P x

v e x v e

a

 

  

      

   

 .

● Dạng 4. I P x g x x    ln d  

, trong đó P x 

là đa thức.

Với dạng này, ta đặt

 

 

ln

d d

u g x

v P x x

 



 

.

● Dạng 5.

sin

d

cos

x

x

I e x

x

 

     

.

Với dạng này, ta đặt

sin

cos

d dx

x

u

x

v e x

        



  .

Câu 8:_TK2023 Nếu

 

4

1

f x dx 2



 

và

 

4

1

g x dx 3



 

thì

   

4

1

f x g x dx



    

bằng

A.

5 . B. 6 . C. 1 D.  1.

Lời giải

Chọn A

Ta có

       

4 4 4

1 1 1

f x g x dx f x dx g x dx 2 3 5

  

            

.

Câu 24: _TK2023 Nếu

 

2

0

f x xd 4 

thì

 

2

0

1

2 d

2

f x x  



    

bằng

A. 0. B. 6. C. 8. D.

 2.

Lời giải

Chọn D

   

2 2 2

0 0 0

1 1 1 2 d d 2d .4 4 2

2 2 2

f x x f x x x  

            

.

Câu 1: Nếu

 

5

2

f x xd 3 

và

 

5

2

g x xd 2 

thì

   

5

2

  f x g x x  d   bằng?

A. 5 . B.  5 . C. 1. D. 3 .

Lời giải

Chọn C

Ta có

         

5 5 5

2 2 2

  f x g x x f x x g x x        d d d 3 2 1     

.

Câu 2: Nếu

 

5

2

f x xd 2 

thì

 

5

2

3 d f x x

bằng

A. 6 . B. 3 . C. 18 . D. 12 .

Lời giải

Chọn A

Ta có

   

5 5

2 2

  3 d 3 d 3.2 6 f x x f x x   

.

Câu 3: Nếu

 

3

1

f x xd 2 

thì

 

3

1

  f x x x   2 d 2   bằng

A. 20 . B. 10 . C. 18 . D. 12 .

Lời giải

Chọn B

Ta có:

   

3 3 3

3

2 2 2

1

1 1 1

  f x x x f x x x x x          2 d d 2 d 2 2 3 1 10     

.

Câu 4: Biết

 

3

2

f x dx 4 

và

 

3

2

g x dx 1 

. Khi đó:

   

3

2

  f x g x d  x   bằng:

A.  3 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .

Lời giải

Chọn B