Chuỗi luỹ thừa và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

********

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài

CHUỖI LUỸ THỪA VÀ ỨNG DỤNG

Sinh viên thực hiện : Vũ Phượng Nhi

Lớp : 15ST

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lê Hoàng Trí

Đà Nẵng, 01/2019

1

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian làm đề tài luận văn tốt nghiệp, em đã nhận được sự hướng

dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo TS. Lê Hoàng Trí cũng như sự tạo điều kiện tốt

nhất trong quá trình tìm hiểu tài liệu của khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Đà

Nẵng.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn của mình đến thầy Lê Hoàng Trí cùng các thầy cô

trong khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng và bạn bè.

Do luận văn này được hoàn thành trong một thời gian ngắn và năng lực có hạn

nên mặc dù đã rất cố gắng nhưng có lẽ không tránh khỏi còn nhiều thiếu sót.

Em rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo để đề tài được

hoàn thiện hơn nữa.

Em xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 01 năm 2019

Sinh viên thực hiện

Vũ Phượng Nhi

2

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU............................................................................................... 4

I. Lí do chọn đề tài ................................................................................... 4

II. Mục đích nghiên cứu............................................................................ 4

III. Đối tượng nghiên cứu........................................................................... 4

IV. Phạm vi nghiên cứu.............................................................................. 4

V. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................... 4

VI. Cấu trúc khoá luận............................................................................... 5

CHƯƠNG I. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ........................................................ 6

1.1. Chuỗi luỹ thừa hình thức ..................................................................... 6

1.1.1. Định nghĩa................................................................................................................................6

1.1.2. Đại số các chuỗi hình thức......................................................................................................6

1.1.3. Phép chia..................................................................................................................................7

1.1.4. Đạo hàm hình thức..................................................................................................................8

1.1.5. Thay biến..................................................................................................................................9

1.1.6. Chuỗi ngược...........................................................................................................................10

1.1.7. Quan hệ đồng dư modulo ....................................................................................................11

1.1.8. Hàm sinh. ...............................................................................................................................12

1.2. Hội tụ đều............................................................................................ 13

1.2.1. Chuỗi số. Chuỗi số phức ......................................................................................................13

1.2.2. Dãy hàm. ................................................................................................................................14

1.2.3. Chuỗi hàm..............................................................................................................................14

Chương II. Chuỗi luỹ thừa ............................................................................ 16

2.1. Bán kính hội tụ..................................................................................... 16

2.1.1. Khái niệm chuỗi luỹ thừa .........................................................................................................16

2.1.2. Bán kính hội tụ và tổng của một chuỗi luỹ thừa ....................................................................16

2.1.3. So sánh các bán kính.................................................................................................................19

2.1.4. Dấu hiệu d’Alembert ................................................................................................................20

3

2.2. Các phép toán trên các chuỗi luỹ thừa................................................ 23

2.2.1. Cấu trúc vectơ ................................................................................... 23

2.2.2. Lấy đạo hàm..............................................................................................................................25

2.2.3. Tích của hai chuỗi luỹ thừa......................................................................................................26

2.3.Hội tụ ..................................................................................................... 28

2.4. Tính chính quy của tổng một chuỗi luỹ thừa .................................... 29

2.5. Khai triển thành chuỗi luỹ thừa ........................................................ 30

2.5.1. Tổng quát...............................................................................................................................30

2.5.2. Các phép toán trên các hàm số khai triển được thành chuỗi luỹ thừa.............................36

2.5.3. Những KTCLT(0) thường dùng ..........................................................................................40

2.6. Các hàm số một biến phức thường gặp............................................. 44

2.6.1. Hàm mũ phức ........................................................................................................................44

2.6.2. Hàm số lượng giác .................................................................................................................45

2.6.3. Hàm số hyperbolic.................................................................................................................45

Chương III. Ứng dụng giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi

luỹ thừa ........................................................................................................... 47

3.1. Phương pháp hệ số bất định ................................................................ 47

3.2. Phương pháp đạo hàm liên tiếp......................................................... 52

3.3. Điều kiện tồn tại nghiệm dạng chuỗi ................................................. 54

3.4. Cách tìm nghiệm dạng chuỗi luỹ thừa của phương trình vi phân

tuyến tính..................................................................................................... 54

KẾT LUẬN..................................................................................................... 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 58

4

PHẦN MỞ ĐẦU

I. Lí do chọn đề tài

Toán học giải tích ngày nay đã có sự tiến bộ mạnh mẽ. Trong đó, lĩnh vực

chuỗi luỹ thừa không ngừng được phát triển vì có rất nhiều ứng dụng thực tiễn.

Có thể kể đến việc áp dụng các chuỗi luỹ thừa như chuỗi Taylor hay chuỗi

Maclaurin vào để giải các bài toán phương trình vi phân, một lĩnh vực toán học

khác cũng có rất nhiều ứng dụng trong cuộc sống thực tế.

Bởi những lý do trên cùng với sự tận tình hướng dẫn của thầy giáo TS. Lê

Hoàng

Trí, em đã chọn đề tài “Chuỗi luỹ thừa và ứng dụng” để hoàn thành luận văn tốt

nghiệp.

II. Mục đích nghiên cứu

Thực hiện đề tài “Chuỗi luỹ thừa và ứng dụng”, em hướng đến mục đích

hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học trừu tượng một cách logic

và có hệ thống.

Luận văn nhằm nghiên cứu các khái niệm, định lý, mệnh đề, tính chất của

chuỗi luỹ thừa và những ứng dụng của nó.

Thực hiện luận văn này, em có cơ hội củng cố lại những kiến thức về giải

tích đã được học trong suốt quá trình đại học và làm quen với cách nghiên cứu

khoa học một vấn đề của toán học.

III. Đối tượng nghiên cứu

Chuỗi luỹ thừa hình thức, chuỗi luỹ thừa và một số ứng dụng giải phương

trình vi phân bằng phương pháp chuỗi luỹ thừa.

IV. Phạm vi nghiên cứu

Trong khuôn khổ của khoá luận chỉ nghiên cứu về chuỗi luỹ thừa và ứng

dụng

của chuỗi luỹ thừa vào giải một số phương trình vi phân.

V. Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là: Tìm

kiếm, tổng hợp các tài liệu từ giáo trình, sách vở, các trang web về chuỗi luỹ

thừa hình thức, chuỗi luỹ thừa, giải phương trình vi phân bằng phương pháp