Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị Fréchet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

VÕ THÀNH CÔNG

CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC

GIÁ TRỊ FRÉCHET

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

VÕ THÀNH CÔNG

CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC

GIÁ TRỊ FRÉCHET

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: PGS.TS. THÁI THUẦN QUANG

Bình Định - 2019

i

Mục lục

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU iii

MỞ ĐẦU 1

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 6

1.1 Một số vấn đề về Giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Không gian Fréchet và đối ngẫu . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Tôpô chặn đóng liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3 Giới hạn quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1 Đa thức giữa các không gian lồi địa phương . . . . . 17

1.2.2 Hàm chỉnh hình Gâteaux và hàm chỉnh hình giá trị

véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.3 Mầm chỉnh hình giá trị véctơ . . . . . . . . . . . . . 20

2 CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC GIÁ TRỊ VÔ HƯỚNG 27

2.1 Tập đa cực xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 Các khái niệm và một số ví dụ . . . . . . . . . . . . 27

2.1.2 Các đặc trưng của tập đa cực xạ ảnh . . . . . . . . 29

2.2 Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị vô hướng . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Một số bổ đề chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

ii

2.2.2 Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức giá trị vô hướng 33

3 CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC GIÁ TRỊ FRÉCHET 38

3.1 Bổ đề Hartogs cho hàm đa điều hòa dưới trong vô hạn chiều 38

3.2 Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức giá trị Fréchet . . . 43

Kết luận 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

K : Trường số thực R hoặc số phức C

E, F : Các không gian véctơ trên trường K

E

# : Đối ngẫu đại số của E

E

0

: Đối ngẫu tôpô của E

P SH(Ω) : Tập các hàm đa điều hòa dưới trên Ω

HP SH(C

n

) : Tập các hàm đa điều hòa thuần nhất trên C

n

limind ￾

Eγ, uγ

: Giới hạn quy nạp của các Eγ và uγ

La (

nE; F) : Không gian các ánh xạ n-tuyến tính từ E vào F

L

s

a

(

nE; F) : Không gian các ánh xạ n-tuyến tính đối xứng từ E vào F

Pa (

nE; F) : Không gian véctơ các đa thức n- thuần nhất từ E vào F

HG(D, F) : Không gian các hàm chỉnh hình Gâteaux trên D với giá trị

trong F

H(U, F) : Không gian các hàm chỉnh hình trên D với giá trị trong F

H(0E) : Các không gian các mầm chỉnh hình vô hướng tại 0 ∈ E

(E, F) : Một cặp đối ngẫu

A0

: Polar của tập A

B(E) : Tập tất cả các tập con bị chặn, lồi tuyệt đối của không gian

lồi địa phương

1

MỞ ĐẦU

Trong toán học, chuỗi lũy thừa hình thức là một tổng quát hóa của

đa thức như là một đối tượng hình thức, trong đó số lượng các số hạng

được phép là vô hạn. Sự quan tâm đến việc hình thức hóa như vậy không

chỉ là do tầm quan trọng về mặt lý thuyết trong nội tại của toán học đã

được hình thức hoá mà còn cho các kết nối của nó với đa thức và với chuỗi

Laurent hình thức. Việc hình thức hóa các chuỗi lũy thừa là một sự lựa

chọn chiến lược trong việc xây dựng một thư viện toán học trong việc trợ

giúp chứng minh. Một lợi ích nữa là khả năng xác định một số hàm số một

cách dễ dàng hơn, chẳng hạn bằng cách sử dụng đệ quy. Ví dụ, ta có thể

xác định số Bell thứ n (trong lý thuyết tổ hợp) là n! lần hệ số thứ n của

chuỗi lũy thừa hình thức cho bởi e

e

x−1

.

Trong các tài liệu toán học, các chuỗi lũy thừa hình thức được biết như

là các hàm sinh mà ta có thể hiểu đó là các dây phơi mà ta có thể treo trên

đó một chuỗi các số (phần tử) để hiện thị. Cho trước một dãy (an)n∈N thì

hàm sinh của nó thường được ký hiệu bởi A(X) = P

∞

n=0

anXn

. Điều quan

trọng ở đây là ký hiệu này không nên được hiểu là một hàm theo biến X

và tổng vô hạn là một giá trị trong miền nào đó. Trong thực tế, X chỉ là

một phần tử hình thức và ta sẽ nhìn thấy rằng, với nó, ký hiệu trên là

có nghĩa. Tuy nhiên, ta có thể xác định một đánh giá của chuỗi lũy thừa

hình thức tại một điểm y nào đó, như là P

∞

n=0

any

n

. Với các giả thiết về sự