Chap2-On dinh cua cac he thong dieu khien so.pdf

Ch−¬ng 2

æn ®Þnh cña hÖ thèng ®iÒu khiÓn sè

Trong ch−¬ng nµy, chóng ta sÏ quan t©m ®Õn mét sè kü thuËt c¬ b¶n ®−îc dïng ®Ó

ph©n tÝch æn ®Þnh c¸c hÖ thèng ®iÒu khiÓn sè.

Nh− ®· tr×nh bµy ë ch−¬ng 1, gi¶ thiÕt ta cã hµm truyÒn cña hÖ thèng ®iÒu khiÓn sè

vßng kÝn cã d¹ng nh− sau

( )

( )

( )

( )

( )

1 ( )

y z G z N z

r z GH z D z

= =

+

ë ®©y 1 0 + = GH z( ) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh. C¸c gi¸ trÞ cña z øng víi

N z( ) = 0 ®−îc gäi lµ kh«ng (zeros) vµ c¸c gi¸ trÞ cña z øng víi D z( ) = 0 ®−îc gäi lµ c¸c

cùc (poles). TÝnh æn ®Þnh cña hÖ thèng sÏ phô thuéc vµo vÞ trÝ cña c¸c cùc hay gèc cña

ph−¬ng tr×nh D z( ) = 0 .

2.1. ¸nh x¹ tõ mÆt ph¼ng p vµo mÆt ph¼ng z

§èi víi c¸c hÖ vßng kÝn liªn tôc, mÆt ph¶ng p ®−îc sö dông ®Ó kh¶o s¸t æn ®Þnh cña hÖ

thèng. T−¬ng tù ®èi víi c¸c hÖ thèng rêi r¹c, mÆt ph¼ng z ®−îc dïng ®Ó kh¶o s¸t æn ®Þnh cña

hÖ thèng. Trong phÇn nµy chóng ta sÏ xÐt ®Õn quan hÖ t−¬ng ®−¬ng gi÷a mÆt ph¼ng p cña

hÖ liªn tôc vµ mÆt ph¼ng z cña hÖ rêi r¹c.

Tr−íc tiªn chóng ta lµm mét phÐp ¸nh x¹ tõ nöa tr¸i cña mÆt ph¼ng p vµo mÆt ph¼ng z.

NÕu ph−¬ng tr×nh p j = + σ ω m« t¶ mét ®iÓm trong mÆt ph¼ng p th× däc theo trôc ¶o jω ta

cã

pT T j T

z e e e

σ ω

= = (2.1)

V× σ = 0 nªn

cos sin 1 j T z e T j T T ω

= = + = ∠ ω ω ω (2.2)

Tõ ph−¬ng tr×nh (2.2), vÞ trÝ cña c¸c cùc trªn trôc ¶o cña mÆt ph¼ng p ®· ®−îc ¸nh x¹

lªn trªn vßng trßn ®¬n vÞ cña mÆt ph¼ng z. Khi ω thay ®æi däc theo trôc ¶o cña mÆt ph¼ng p,

gãc cña c¸c cùc trªn vßng trßn ®¬n vÞ trong mÆt ph¼ng z sÏ thay ®æi.

NÕu ω ®−îc gi÷ nguyªn kh«ng ®æi vµ t¨ng gi¸ trÞ σ ë nöa tr¸i mÆt ph¼ng p, th× vÞ trÝ

cña c¸c cùc sÏ di chuyÓn vÒ phÝa gèc xa khái vßng trßn ®¬n vÞ. T−¬ng tù nÕu gi¶m gi¸ trÞ σ ë

nöa tr¸i mÆt ph¼ng p, th× c¸c cùc trong mÆt ph¼ng z sÏ di chuyÓn xa ra khái gèc nh−ng vÉn

n»m trong vßng trßn ®¬n vÞ.

Qua c¸c ph©n tÝch trªn ta thÊy toµn bé nöa tr¸i cña mÆt ph¼ng p sÏ t−¬ng ®−¬ng víi

phÇn bªn trong cña vßng trßn ®¬n vÞ trong mÆt ph¼ng z. T−¬ng tù toµn bé nöa bªn ph¶i cña

mÆt ph¼ng p sÏ t−¬ng ®−¬ng víi miÒn n»m bªn ngoµi vßng trßn ®¬n vÞ cña mÆt ph¼ng z nh−

trªn h×nh 2.1.

NÕu mét hÖ thèng liªn tôc ®−îc coi lµ æn ®Þnh khi c¸c cùc n»m bªn tr¸i mÆt ph¼ng p th×

mét hÖ thèng rêi r¹c ®−îc coi lµ æn ®Þnh nÕu c¸c cùc n»m bªn trong vßng trßn ®¬n vÞ.