Các phương pháp số cho phương trình vi phân pot

1

Mục lục

Mục lục 1

0.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2 Mục đích yêu cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.3 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.4 Giới hạn của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Phương pháp số cho phương trình vi phân cấp 1 4

1.1 Phương pháp Euler để giải phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . 4

1.2 Phương pháp Euler cải tiến (Phương pháp Heun) . . . . . . . . . . . 7

1.3 Phương pháp Runge - Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Sai số và sự điều chỉnh bước nhãy RKF (Rung - Kutta - Fehlberg) . . 11

2 Phương pháp nhiều nút 14

2.1 Phương pháp Adams - Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Các phương pháp Adams - Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Phương pháp cho hệ phương trình và phương trình vi phân bậc

cao 17

3.1 Phương pháp Euler cho hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Các phương pháp Runge - Kutta cho hệ phương trình . . . . . . . . . 19

3.3 Phương pháp Runge - Kutta - Nystr¨om (phương pháp RKN) . . . . . 20

4 Phương pháp cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng 22

4.1 Các phương pháp cho các phương trình vi phân kiểu Elip . . . . . . . 23

4.1.1 Các phương trình vi phân cho phương trình Laplace và phương

trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.2 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.3 Phương pháp ADI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Bài toán Neumann và nhiễu loạn. Biên không chính quy . . . . . . . 30

4.3 Phương pháp cho phương trình Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2

4.4 Phương pháp cho phương trình Hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Phần kết luận 42

3

0.1 Lý do chọn đề tài

Phương pháp số là một môn học bắt buộc cho tất cả học viên Cao học vật lý.

Nó cung cấp cho học viên các phương pháp nhằm giải quyết những vấn đề liên quan

đến tính toán, các thuật toán và cách giải gần đúng hay xấp xỉ các phương trình,

tích phân, vi phân, đạo hàm,... Phương pháp số có thể dùng để giải gần đúng các

bài toán mà các phương pháp thông thường không thể giải được. Hầu hết, chúng

mã hoá và đưa ra các thuật giải để thuận tiện cho việc lập trình trên máy tính.

Để tìm hiểu sâu hơn về môn học nhóm chúng tôi được sự phân công của thầy

giáo hướng dẫn làm đề tài : Các phương pháp số cho phương trình vi phân

(numerical methods for differential equations). Để làm tiểu luận cho môn học.

Do kinh nghiệm còn hạn chế nên trong tiểu luận không tránh khỏi các sai sót

kính mong sự góp ý chân thành của quý thầy cô và bạn đọc.

0.2 Mục đích yêu cầu

Đưa ra các phương pháp cho phương trình vi phân cấp một, cho hệ phương

trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp cao, phương trình vi phân đạo hàm

riêng.

0.3 Phương pháp nghiên cứu

Chủ yếu là nghiên cứu tài liệu và thảo luận nhóm để đưa ra các kết luận đưa

vào tiểu luận.

0.4 Giới hạn của đề tài

Trong tiểu luận này chúng tôi chỉ trình bày, đưa ra phương pháp và mỗi phương

pháp chỉ trình bày một ví dụ để minh hoạ.

4

Chương 1

PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

1.1 Phương pháp Euler để giải phương trình vi

phân cấp 1

Ta đã biết phương trình vi phân cấp 1 có dạng F(x, y, y0

) = 0, và nó có thể

viết tường minh y

0 = f(x, y). Thường phương trình vi phân người ta cho thêm một

điều kiện ban đầu về nghiệm thoả mãn. Trong phần này ta sẽ xét phương trình vi

phân cấp 1 và điều kiện có dạng:

y

0 = f(x, y); y(x0) = y0 (1.1)

giả sữ f là bài toán có duy nhất nghiệm trên đoạn có chứa x0.

Ta sẽ bàn về các phương pháp để tính các giá trị số của các nghiệm, ở đây ta chỉ

cần nêu một cách thức cho nghiệm của các phương trình không khả dụng hoặc quá

phức tạp để tính toán.

Các phương pháp mà ta thực hiện để làm điều này là phương pháp gần đúng

theo từng bứơc (step-by-step motheds). Ta bắt đầu từ việc có giá trị y0 = y(x0)

và tiến hành theo các bước, tính các giá trị gần đúng của nghiệm y(x) tại các nút

"mesh points"

x1 = x0 + h; x2 = x0 + 2h; x3 = x0 + 3h; . . .

với h là bước nhãy (step size) cố định, chẳng hạn 0.1 hay 0.2 tuỳ chúng ta chọn.

Tính toán trong mỗi bước được thực hiện theo cách thức như nhau. Cách thức đó

là dựa vào việc khai triển chuổi Taylor:

y(x + h) = y(x) + hy0

(x) + h

2

2

y

00(x) + · · · (1.2)

Xét với các giá trị nhỏ của h, các số hạng bậc cao h

2

, h3

, · · · là rất nhỏ,ta có thể bỏ

qua, do vậy:

y(x + h) ≈ y(x) + hy0

(x) = y(x) + hf(x, y)