Các dạng toán lớp 11 phần hình học

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH

PHÉP TỊNH TIẾN

I.Tóm tắt lý thuyết :

1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng , cho véc tơ v a b ( ; )

r

. Phép tịnh tiến theo véc tơ

v a b ( ; )

r

là phép biến hình , biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho MM v ' =

uuuuur r

Ký hiệu : v

Tr

.

2.Các tính chất của phép tịnh tiến :

a/ Tính chất 1:

*Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì

MN=M’N’.

b/ Tính chất 2:

* Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và

không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó .

HỆ QUẢ :

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến một tia thành một tia , biến

một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác

bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc

thành một góc bằng nó .

3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

- Giả sử cho v a b ( ; )

r

và một điểm M(x;y) . Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M

thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là : '

'

x a x

y y b

 = + 

 = +

4. Ứng dụng của phép tịnh tiến

BÀI TOÁN 1: TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM

Bài toán : Cho một hình H , trên hình H có một điểm M . Tìm quỹ tích của điểm M

khi trên hình H có một điểm A thay đổi . ( Thường điểm A chạy trên một đường (C )

cho sẵn ).

Cách giải :

- Dựa vào các tính chất đã biết , ta tìm ra một véc tơ cố dịnh nằm trên hình H ( Với

điều kiện : véc tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ).

- Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép tịnh

tiến theo véc tơ cố định .

- Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích .

Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường

tròn đó . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố

định .

Giải

- Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố

định , cho nên B’C là một véc tơ cố định ⇒ = AH B C'

uuur uuuur . Theo định nghĩa về phép tịnh

Trang 1

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH

tiến điểm A đã biến thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên

đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo v B C = '

r uuuur

- Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó

dựng véc tơ : OO' ' = B C

uuuur uuuur . Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta

được đường tròn cần tìm .

Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên

một đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi .

Giải :

- Theo tính chất hình bình hành : BA=DC ⇒ = AB CD

uuur uuur . Nhưng theo giả thiết A,B cố

định , cho nên AB

uuur cố định . Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh của C qua phép tịnh tiến

theo AB

uuur , cho nên D chạy trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O

- Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau đó dựng véc tơ OO' = AB

uuuur uuur

.

Từ O’ quay đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D.

Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm M

trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho MM AB ' =

uuuuur uuur

.

Giải

a. Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh

tiến theo véc tơ AB

uuur . Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn

ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao

của đường tròn ảnh với đường tròn (O’;R’).

b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là

giao của (O;R) với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB

c/ Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn

đã cho .

Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi .

Các đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích

trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ?

Giải

- Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ

thì MM’ cắt QA tại trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra :

MH OA BA = = 2

uuuur uuur uuur . Vậy phép tịnh tiến theo BA

uuur biến điểm M thành điểm H . Nhưng M

chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh tiến

BA

uuur

.

- Tương tự đối với tam giác NPQ .

- Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai

điểm ảnh của A,B .

BÀI TOÁN 2:

TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH

MA+MB NGẮN NHẤT ( A,B- CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC )

Cách giải

• Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d . ( Khi đó đường

thẳng d là đường trung trực của AB , suy ra M thuộc d thì MA=MA’ ).

Trang 2