Các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ QUỲNH CHANG

CÁC ĐẶC TRƢNG CỦA HÀM LỒI

VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ QUỲNH CHANG

CÁC ĐẶC TRƢNG CỦA HÀM LỒI

VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

PGS. TS. TẠ DUY PHƢỢNG

THÁI NGUYÊN – 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu....................................................................................................1-2

Chƣơng 1 Hàm lồi và hàm lồi suy rộng.........................................3

1.1 Một số khái niệm của hàm lồi và hàm lồi suy rộng....................................3

1.2 Một số đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng...................................10

1.3 Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua đạo hàm theo hướng............23

1.4 Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua dưới vi phân.........................37

Chƣơng 2 Đặc trƣng hàm lồi qua dƣới vi phân Frechet và dƣới

vi phân Mordukhovich..................................................................40

2.1 Một số định nghĩa cơ bản..........................................................................41

2.2 Điều kiện cần cấp hai ...............................................................................46

2.3 Điều kiện đủ cấp hai .................................................................................48

2.4 Đặc trưng của hàm lồi mạnh.....................................................................57

Kết luận..........................................................................................................61

Tài liệu tham khảo.........................................................................................62

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích lồi với nền tảng cơ bản là tập lồi và hàm lồi đã được nghiên

cứu và triển khai ứng dụng vào bài toán tối ưu hóa, các bài toán kinh tế và

quản lí,... từ những năm 70 của thế kỉ trước.

Nhiều nghiên cứu lí thuyết và ứng dụng dẫn tới nhu cầu mở rộng khái

niệm hàm lồi. Nhiều lớp hàm lồi suy rộng (tựa lồi, giả lồi,...) đã được

Mangasarian, Hoàng Tụy, Rockaffelar,...nghiên cứu cách đây 50 năm. Ngày

nay, đặc trưng và nghiên cứu các tính chất của các lớp hàm lồi, mối liên quan

của tính lồi với tính đơn điệu của đạo hàm (suy rộng) bậc nhất và tính xác

định dương của đạo hàm (suy rộng) bậc hai vẫn đang được các nhà toán học

trên thế giới và ở Việt Nam quan tâm mạnh mẽ.

Các hàm số gặp trong các bài toán ứng dụng nói chung thường có dạng

phức tạp, vì vậy thường là không khả vi. Điều này dẫn tới phải mở rộng khái

niệm đạo hàm. Các đạo hàm suy rộng thường gặp là đạo hàm theo hướng, đạo

hàm Dini, dưới vi phân Clark, dưới vi phân Rockaffelar, dưới vi phân

Frechet, dưới vi phân Mordukhovich,... Các đạo hàm suy rộng là những công

cụ tốt để nghiên cứu nhiều vấn đề của giải tích ứng dụng, trong đó có đặc

trưng hàm lồi.

Luận văn Các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng có mục đích

trình bày tổng quan các đặc trưng của hàm lồi (thông qua các tính chất hình

học và giải tích, thông qua đạo hàm và dưới vi phân suy rộng,...).

Nội dung chính của Luận văn gồm hai chương.

Chương 1 Hàm lồi và hàm lồi suy rộng

Chương 1 trình bày định nghĩa các lớp hàm lồi và hàm lồi suy rộng và

quan hệ giữa chúng. Trình bày tổng quan các đặc trưng của hàm lồi và hàm

lồi suy rộng thông qua các tính chất giải tích và hình học. Đặc biệt trình bày

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4

các đặc trưng của hàm lồi thông qua công cụ đạo hàm (gradien, Hessian,

gradient suy rộng, đạo hàm theo hướng,...).

Chương 2 Đặc trưng hàm lồi qua dưới vi phân Frechet và dưới vi phân

Mordukhovich.

Một hướng mở rộng khá tự nhiên và hữu hiệu khái niệm đạo hàm là

khái niệm đối đạo hàm và dưới vi phân Mordukhovich. Gần đây, nhóm

nghiên cứu của Giáo sư Nguyễn Đông Yên đã sử dụng thành công khái niệm

dưới vi phân Mordukhovich cấp hai để đặc trưng hàm lồi và hàm lồi mạnh.

Chương hai trình bày các đặc trưng này dựa trên hai bài báo [10] và [11].

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS-TS Tạ Duy

Phượng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy hướng dẫn.

Tác giả xin cám ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau Đại học cùng các

Thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy và hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học

Toán K3 Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.

Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã tập trung học tập và nghiên cứu

một cách nghiêm túc trong suốt khóa học. Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian,

cũng như trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện không tránh khỏi

những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo

và những góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 6 năm 2011

Nguyễn Thị Quỳnh Chang

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1

CHƢƠNG I HÀM LỒI VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG

1.1 Một số khái niệm của hàm lồi và hàm lồi suy rộng

1.1.1 Tập lồi

Tập

n

S  

được gọi là tập lồi nếu

S

chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của

nó, tức là với mọi

1 2 x x S , 

thì

1 2   x x S    (1 )

với mọi

0,1 .

1.1.2 Hàm nửa liên tục dƣới

Hàm

f S:  

được gọi là nửa liên tục dưới tại

n

x S   

nếu

liminf ( ) ( )

n

n

x x

f x f x





với mọi dãy

x S n 

hội tụ đến

x.

Điều này tương đương với: với mọi

  0

tồn tại

  0

sao cho

0

f x f x ( ) ( )  

đúng với mọi

0

x B x S   ( , ) . 

Nếu

f

nửa liên tục dưới tại mọi điểm

x S 

thì ta nói

f

là hàm nửa liên tục

dưới trên

S.

1.1.3 Hàm lồi

Định nghĩa 1.1 Hàm

f

xác định trên một tập lồi

n

S  

được gọi là hàm lồi

(convex function) trên

S

nếu

1 2 1 2 f x x f x f x ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )         

với mọi

1 2 x x S , . 

1.1.4 Hàm lồi chặt

Định nghĩa 1.2 Hàm

f

được gọi là lồi chặt (strictly convex) trên tập lồi

n

S  

nếu

1 2 1 2 f x x f x f x ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )         

với mọi

1 2 x x S , 

và mọi

 0,1 .

Hàm

f

được gọi là hàm lõm (lõm chặt) nếu  f

là lồi (lồi chặt).