Bồi dưỡng Toán 9

1

§Ò sè 1

Thêi gian: 150 phót

C©u I. ( 4 ®iÓm). Gi¶i ph¬ng tr×nh

1. 2 2

x x x x − + + + + = 6 9 10 25 8

2. y2

– 2y + 3 = 2

6

x x + + 2 4

C©u II. (4 ®iÓm)

1. Cho biÓu thøc :

A =

2

2

2 3

( 2)

x x

x

+ +

+

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A.

2. Cho a>0; b>0; c>0

Chøng minh bÊt ®¼ng thøc ( a+b+c) 1 1 1 9

a b c

   ÷ + + ≥  

C©u III. (4,5 ®iÓm)

1. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh.

T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè biÕt r»ng ch÷ sè hµng chôc lín h¬n ch÷ sè hµng ®¬n vÞ

lµ 2 vµ sè ®ã lín h¬n tæng c¸c b×nh ph¬ng c¸c ch÷ sè cña nã lµ 1.

2. Cho ph¬ng tr×nh: x2

–(m+1)x+2m-3 =0 (1)

+ Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh trªn lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña

m.

+ T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm b»ng 3.

C©u IV (4 ®iÓm)

Cho h×nh thang c©n ABCD, (AB//CD; AB > CD). Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau

t¹i I. Gãc ACD = 600

; gäi E; F; M lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng IA; ID;

BC.

1. Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn.

2. Chøng minh tam gi¸c MEF lµ tam gi¸c ®Òu.

C©u V. (3,5 ®iÓm)

Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S. ABC cã c¸c mÆt lµ tam gi¸c ®Òu. Gäi O lµ trung ®iÓm

cña ®êng cao SH cña h×nh chãp.

Chøng minh r»ng: · · · 0 AOB BOC COA = = = 90

2

§Ò sè 2

Bµi 1 (2®):

1. Cho biÓu thøc:

A = 















+

+

−

−

+

−

















+

−

+

+

+

+

1

1

1

1 : 1

1 1

1

xy

x

xy

xy x

xy

xy x

xy

x

a. Rót gän biÓu thøc.

b. Cho 6

1 1

+ =

x y

T×m Max A.

2. Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n ta cã:

2

2 2

1

1 1

1

( 1)

1 1

1 











+

= + −

+

+ +

n n n n

tõ ®ã tÝnh tæng:

S = 2 2 2 2 2 2

2006

1

2005

1

.... 1

3

1

2

1

1

2

1

1

1

1+ + + + + + + + +

Bµi 2 (2®): Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz

Bµi 3 (2®):

1. T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó ph¬ng tr×nh sau chØ cã 1 nghiÖm:

( )( 1)

5 (2 3)

1

6 3

− + +

− +

=

+ +

+ +

x a x a

a a

x a

x a

2. Gi¶ sö x1,x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2+ 2kx+ 4 = 4

T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña k sao cho cã bÊt ®¼ng thøc:

3

2

1

2

2

2

1 ≥ 















+ 















x

x

x

x

Bµi 4: (2®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh:















=

−

−

−

=

−

+

−

1

1

3

2

2

2

1 2

1

x

m

y

y

m

x

1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 1

2. T×m m ®Ó hÖ ®· cho cã nghiÖm.

Bµi 5 (2®) :

1. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 2 2

3x +6x +7 + 5x +10x +14 = 4 −2x −x

2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

3 2

3 2

3 2

9 27 27 0

9 27 27 0

9 27 27 0

y x x

z y y

x z z

 − + − = 

 − + − =



− + − = 

Bµi 6 (2®): Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é cho ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh:

2kx + (k – 1)y = 2 (k lµ tham sè)

1. T×m k ®Ó ®êng th¼ng (d) song song víi ®êng th¼ng y = 3.x ? Khi ®ã h·y tÝnh gãc

t¹o bëi (d) vµ tia Ox.

3

2. T×m k ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é ®Õn ®êng th¼ng (d) lµ lín nhÊt?

Bµi 7 (2®): Gi¶ sö x, y lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ®¼ng thøc: x +y = 10

T×m gi¸ trÞ cña x vµ y ®Ó biÓu thøc:

( 1)( 1)

4 4

P = x + y + ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy.

Bµi 8 (2®): Cho ∆ ABC víi BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm. Gäi O lµ giao ®iÓm 3 ®-

êng ph©n gi¸c, G lµ träng t©m cña tam gi¸c.

TÝnh ®é dµi ®o¹n OG.

Bµi 9(2®) Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn ®êng th¼ng AB. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c

h×nh vu«ng AMCD, BMEF.

a. Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BC.

b. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC. Chøng minh r»ng ba ®iÓm D, H, F th¼ng hµng.

c. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng DF lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M chuyÓn

®éng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh.

d. T×m tËp hîp c¸c trung ®iÓm K cña ®o¹n nèi t©m hai h×nh vu«ng khi M chuyÓn

®éng trªn ®êng th¼ng AB cè ®Þnh.

Bµi 10 (2®): Cho ·xOy kh¸c gãc bÑt vµ mét ®iÓm M thuéc miÒn trong cña gãc. Dùng

®êng th¼ng qua M vµ c¾t hai c¹nh cña gãc thµnh mét tam gi¸c cã diÖn tÝch nhá nhÊt.

……………………………………………………………