Bồi dưỡng Toán 9

Hoµng V¨n Tµi Bµi d¹y BD §éi tuyÓn to¸n th¸ng 8 n¨m 2006. – –

Chuyªn ®Ò:

Áp dông LÝ thuyÕt ®ång d trong

mét sè d¹ng to¸n vÒ phÐp chia hÕt

vµ phÐp chia cßn d.

I) LÝ thuyÕt vÒ ®ång d :

1) §Þnh nghÜa:

NÕu hai sè nguyªn a vµ b khi chia cho c (c ≠ 0) mµ cã cïng sè d th× ta

nãi a ®ång d víi b theo m«®un c; kÝ hiÖu lµ a ≡ b (mod c).

Nh vËy: a ≡ b (mod c) ⇔ a – b chia hÕt cho c.

HÖ thøc cã d¹ng: a ≡ b (mod c) gäi lµ mét ®ång d thøc, a gäi lµ vÕ tr¸i

cña ®ång d thøc, b gäi lµ vÕ ph¶i cßn c gäi lµ m«®un.

2) Mét sè tÝnh chÊt:

KÝ hiÖu a; b; c; d; m; … lµ c¸c sè nguyªn d¬ng (Z+

), ta lu«n cã:

a) TÝnh chÊt 1:

* a ≡ a (mod m);

* a ≡ b (mod m) ⇔ b ≡ a (mod m);

* a ≡ b (mod m) vµ b ≡ c (mod m) th× a ≡ c(mod m);

b) TÝnh chÊt 2: NÕu a ≡ b (mod m) vµ c ≡ d (mod m) th×:

* a ± c ≡ b ± d (mod m);

* ac ≡ bd (mod m);

* NÕu d lµ mét íc chung cña a; b; m th×: a

d

≡

b

d

(mod m

d

);

c) TÝnh chÊt 3:

NÕu a ≡ b (mod m) vµ c ∈ Z+

th× ac ≡ bc (mod mc).

3) Mét sè kiÕn thøc liªn quan:

Trong khi lµm bµi tËp sö dông ®ång d thøc, ta nªn chó ý tíi c¸c tÝnh

chÊt hay dïng sau ®©y:

* Víi mäi a, b ∈ Z+

(a ≠ b) vµ n lµ sè tù nhiªn: an

– bn M a – b;

* Trong n sè nguyªn liªn tiÕp (n ≥ 1) cã mét vµ chØ mét sè chia

hÕt cho n;

* LÊy n + 1 sè nguyªn bÊt k× (n ≥ 1) ®em chia cho n th× ph¶i cã

hai sè khi chia cho n cã cïng sè d; (Theo nguyªn lÝ §irichlet);

===========================================================

Áp dông LÝ thuyÕt ®ång d trong mét sè d¹ng to¸n

vÒ phÐp chia hÕt vµ phÐp chia cßn d.

1