Bộ đề ôn thi vào THPT - có đáp án

Mét sè §Ò luyÖn thi vµo chuyªn To¸n 9

®Ò 1

Bµi 1 (1 ®): Cho : M = x2

+ y2+xy-3x-3y+2011. Víi gi¸ trÞ nµo cña x,y th× M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ

®ã?

Bµi 2 (1 ®): Chøng minh r»ng

1 1 1 ... 2

2 1 3 1 ( 1) n n

+ + + <

+

víi mäi n ∈N*

Bµi 3 (1,5 ®):

Gi¶i ph¬ng tr×nh

a/ 2

x x − + 6 10 + 2

x x − + 6 18 = 6x -5-x2 b/ 2 3 2( 2) 5 1 x x + = +

Bµi 4 (0,5 ®): Chøng minh r»ng x, y, z, x + y + z ®Òu lµ c¸c sè h÷u tØ th× x , y , z còng lµ c¸c

sè h÷u tØ.

Bµi 5 (1,5 ®):

1/ Chøng minh r»ng nÕu mét ®ëng th¼ng kh«ng ®i qua gèc to¹ ®é, c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng

a, c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng b th× ®êng th¼ng ®ã cã d¹ng 1. y

b

+ =

x

a

2/Cho ®êng th¼ng (m – 2)x + (m – 1)y = 1

a/ Chøng minh r»ng ®êng th¼ng lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m.

c/ TÝnh gi¸ trÞ cña m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é O ®Õn ®êng th¼ng lµ lín nhÊt.

Bµi 6 (2,5 ®): Cho tam gi¸c OAB (OA = OB). VÏ ®êng cao OH, AK biÕt OA = a, ·AOH =α .

a/ TÝnh c¸c c¹nh tam gi¸c AKB theo a vµ α .

b/ TÝnh c¸c c¹nh cña c¸c tam gi¸c OKA vµ AKB theo a vµ 2α . Tõ ®ã biÓu diÔn sin2α , cos2α theo sinα ,

cosα .

Bµi 7 (2 ®) :

Cho h×nh vu«ng ABCD. O lµ mét ®iÓm thuäc miÒn trong h×nh vu«ng sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3. TÝnh

sè ®o gãc AOB ?

=============================

®¸p ¸n

Bµi 1 (1 ®): Ta cã: M = (x2

– 2x + 1) + (y2

+ xy + 1) + xy – x – y + 1 + 2008 = (x – 1)2

+ (y – 1)2

+ (x

– 1)(y – 1) + 2008 = (x – 1)2

+ ( 1) 2008

4

3

2

1

2( 1).

4

( 1) 2

2

+ − +

−

+ −

−

y

y

x

y

=

( 1) 2008 2008

4

3

2)

1

( 1) (

2

2



+ − + ≥









 −

− + y

y

x (0,75 ®). VËy M cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2008 khi









⇔ = =

− =

=

−

− +

x y 1.

1 0

0

2

1

1

y

y

x

(0,25 ®)

Bµi 2 (1 ®): §Ó ý r»ng: 











+

= −

+

=

+ 1

1 1

( 1) ( 1)

1

k k

k

k k

k

k k

= 















+

+ 















+

−

1

1 1

1

1 1

k k k k

k < k

















+

= − 















+

−

1

1 1

2

2

.

1

1 1

k k k k k

(0,5®)

Do ®ã : 











< −

2

1

1

1

2

2 1

1

; 















< −

3

1

2

1

2

3 2

1

... ; 















+

< −

+ 1

1

1

1

2

( 1)

1

n n n

Céng c¸c b®t trªn, ta cã: 2

1

1

2 1

( 1)

1

...

3 1

1

2 1

1

<















+

< −

+

+ + +

n n n

(0,5®) (®pcm)

Bµi 3 (1,5 ®):

a) Ta cã VT Kh«ng lín h¬n 4, VP kh«ng nhá h¬n 4 (0,5®), vËy pt tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi hai

vÕ cïng b»ng 4. Tõ ®ã ta t×m ®îc x = 3 (0,5®).

b) Ta cã 2( 2) 5 1 2( 1 1) 5 ( 1)( 1)

2 3 2 2

x + = x + ⇔ x + + x − x + = x + x − x +

§Æt x +1 =a ; x −x +1 =b

2

víi a, b ≥ 0 (0,25®)

§a pt vÒ d¹ng 2(a

2

+ b

2

) = 5 ab ⇔ 4( a + b)

2

= 25ab ⇔ (2a −b)( a −2b) = 0

Gi¶i pt ta t×m ®îc x =

2

5 + 37 vµ x =

2

5 − 37 (0,25®)

Bµi 4 (0,5 ®):

§Æt t = x + y + z ∈ Q, Ta cã: x + y = z - t ⇒ x + y + 2 xy = z + t2 – 2t z

⇒2 xy = - x – y + z + t2

- 2t z ⇒ 4xy = (x + y + z – t2

)

2

+ 4t2

+ 4t (x + y – z – t2

) z

⇒ (x + y + z – t2

)

2

+ 4zt2

– 4xy = 4t (t2

– x –y – z) z (0,25®)

• NÕu t = 0 : x + y + z = 0 ⇒ x = y = z = 0 ⇒ x = y = z = 0 ∈ Q

• NÕu t2

– x – y + z = 0, t ≠ 0: th× 2 xy = - 2t z ⇒ xy + t z = 0

⇒







=

=

0

0

z

xy ⇔

z 0

y 0

x 0











=







=

=

⇒ 







= = =

= = =

y z x t

x z y t

0; 0;

0; 0;

⇒ x , y , z ∈ Q

* NÕu t ( t2

– x –y + z) ≠ 0 z = ∈

− − +

− − + + −

4 ( )

( ) 4 4

2

2 2 2

t t x y z

t x y z zt xy

Q

LËp luËn t¬ng tù, ta suy ra: x , y ∈ Q (0,25®)

Bµi 5 (1,5 ®):

1) (0,5®) Gäi ®êng th¼ng cÇn x¸c ®Þnh lµ y = mx + n.

§êng th¼ng ®i qua ®iÓm (0 ; b) nªn : b = m.0 + n ⇒ n = b.

§êng th¼ng ®i qua ®iÓm (a ; 0) nªn: 0 = m.a + b ⇒ m =

a

b

− (chó ý r»ng a ≠ 0). (0,25®)

§êng th¼ng cÇn x¸c ®Þnh cã d¹ng: y = - 1 1.

b

y

+ hay = − + + =

b

y

a

x

x b

a

b

a

x

tøc lµ (0,25®)

2a) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (1) ®i qua ®iÓm cè ®Þnh N(xo,yo) lµ:

(m – 2)xo + (m – 1)yo = 1 víi mäi m ⇔ mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0 víi mäi m (025®)

⇔ (xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = 0 víi mäi m⇔







=

= − ⇔







+ + =

+ =

1

1

2 1 0

0

o

o

o o

o o

y

x

x y

x y

(0,25®)

VËy c¸c ®êng th¼ng (1) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh N (-1; 1).

b) Gäi A lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (1) víi trôc tung. Ta cã: x = 0 ⇒ y =

1

1

m −

, do ®ã OA =

1

1

m −

.

Gäi B lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (1) víi trôc hoµnh. Ta cã: y = 0⇒x =

2

1

m −

, do ®ã OB = 2

1

m −

.

(0,25®)

Gäi h lµ kho¶ng c¸ch Tõ O ®Õn ®êng th¼ng (1). Ta cã:

2

1

2

1

)

2

3

( 1) ( 2) 2 6 5 2(

1 1 1 2 2 2 2

2 2 2

= + = m − + m − = m − m + = m − + ≥

h OA OB

.

Suy ra h2 ≤ 2. max h = 2 khi vµ chØ khi m =

2

3

. (0,25®)

Bµi 6 (2,5 ®):

Theo Pitago th× AB2

= AK2

+ BK2

= a2

sin22α + a

2

(1 – cos2a2

) = a2 [sin 2 (1 2cos 2 cos 2 )]

2 2 α + − α + α . V×

sin22α + cos22α = 1 nªn AB2

= a2

(1 + 1 – 2cos2α) = 2a2

(1 - cos2α) (0,5 ®)

- So s¸nh gi¸ trÞ cña AK, ta cã asin2α = 2a.sinα. cosα vËy sin2α = 2sinα.cosα (0,25 ®)

- So s¸nh gi¸ trÞ cña BK ta cã: 2a.sin2α. = a(1 – cos2α) hay cos2α = 1 – 2sin2α (0,25 ®)

Bµi 7 (2 ®)

§Ò 2

Bµi 1: (8 ®iÓm)

Cho parabol

1 2

( ) :

3

P y x =

.

1. ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña (P), biÕt c¸c tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iÓm A(2;1)

.

2. Gäi d lµ ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(2;1) vµ cã hÖ sè gãc m. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th×

®êng th¼ng d c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N, khi ®ã t×m quÜ tÝch trung ®iÓm

I cña ®o¹n th¼ng MN khi m thay ®æi.

3. T×m quÜ tÝch c¸c ®iÓm M0 tõ ®ã cã thÓ kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn cña parabol (P) vµ hai

tiÕp tuyÕn nµy vu«ng gãc víi nhau.

Bµi 2: (4®iÓm)

O

A B

K

H

O

a) (1 ®) Ta cã BAK = AOH = α. Tõ tam gi¸c vu«ng OHA, ta cã AH = OAsinα

= asinα vËy AB = 2asinα (0,25 ®), mÆt kh¸c trong tam gi¸c vu«ng AKB th× AK =

AB. cosα suy ra AK = 2a.sinα.cosα (0,25) vµ BK = AB.sinα nªn BK = 2a.sin2α.

(0,5 ®)

b) (1,5®) Víi tam gi¸c OKA : AK = OA sin AOK nªn AK = asin2α . OK

= OAcos AOK nªn OK = acos2α (0,25 ®)

- Víi tam gi¸c AKB ta cã : AK = asin2α mµ BK = OB – OK= a – acos2α

hay BK = a(1 – cos2α) (0,25 ®).

A

B

C

D

O

x

K

Dùng tia Bx n»m trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa ®iÓm O víi bê lµ ®êng th¼ng

BC sao cho xBC = ABO. Trªn tia Bx lÊy ®iÓm K, sao cho BK = BO. Do BOK lµ

tam gi¸c vu«ng c©n nªn BKO = 45o

. Tõ ∆ ABO = ∆ CBK, suy ra KC = OA. §Æt

OA = a v× OA : OB : OC = 1 : 2 : 3 nªn CK = a ; OB = BK = 2a, OC = 3a. Trong

tam gi¸c vu«ng OBK ta cã OK2

= OB2

+ BK2

= 8a2 . V× vËy OK2

+ CK2

= 8a2

+ a2

= 9a2

. MÆt kh¸c OC2

= 9a2

nh vËy, OC2 = OK2 +KC2

. Theo ®Þnh lÝ Pitago ®¶o th×

∆OKC vu«ng t¹i K hay OKC = 90o

. V× CBK= ABO vµ BCK = BAO, h¬n n÷a c¸c

gãc nµy nhän, nªn K thuéc phÇn mÆt ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng th¼ng song

song AB vµ CD.Tõ ®ã BKC = BKO + OKC = 45o

+ 90o

= 135o

. V× BKC =

AOB suy ra AOB = 135o

.

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

2 2 19

7

x y xy

x y xy

 + − = 

 + + = −

Bµi 3: (8 ®iÓm)

Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm bÊt k× thuéc nöa ®êng trßn.

ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC, vÏ c¸c h×nh vu«ng BCDE vµ ACFG. Gäi Ax, By lµ c¸c tiÕp

tuyÕn cña nöa ®êng trßn.

1. Chøng minh r»ng khi C di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn ®· cho th× ®êng th¼ng ED

lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh vµ ®êng th¼ng FG lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh kh¸c.

2. T×m quÜ tÝch cña c¸c ®iÓm E vµ G khi C di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn ®· cho.

3. T×m quÜ tÝch cña c¸c ®iÓm D vµ F khi C di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn ®· cho.

HÕt

§¸p ¸n

Bµi 1 ý Néi dung §iÓm

1. 8,0

1.1 (2,0 ®iÓm)

Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d1 ®i qua A(2; 1) cã d¹ng: y = ax + b vµ 1 = 2a + b,

suy ra b = 1 - 2a, do ®ã d1: y = ax - 2a+1.

0,50

Ph¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iÓm cña d1 vµ (P) lµ:

1 2 2 2 1 3 6 3 0

3

x ax a x ax a = − + ⇔ − + − =

0.50

§Ó d1 lµ tiÕp tuyÕn cña (P) th× cÇn vµ ®ñ lµ:

∆ ='

2

2

9 24 12 0 2

3

a

a a

a

 =

∆ = − + = ⇔ 

 =

 2,0

VËy tõ A(2; 1) cã hai tiÕp tuyÕn ®Õn (P) lµ:

1 2

2 1 : 2 3; :

3 3

d y x d y x = − = −

0,50

1.2 (4,0 ®iÓm)

Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d ®i qua A(2; 1) cã hÖ sè gãc m lµ:

y mx m = + −1 2 0,50

Ph¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iÓm cña d vµ (P) lµ:

1 2 2 2 1 3 6 3 0 (2)

3

x mx m x mx m = − + ⇔ − + − =

0,50

§Ó d c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt th× cÇn vµ ®ñ lµ:

2 2 8 4 9 24 12 0 9 0

3 3

m m m m

  ∆ = − + > ⇔ − + >  ÷  

2

4 4 4 2 0

3 9 3 3

m m

  ⇔ − − > ⇔ − >  ÷  

4

3

4 2

2

3 3 3 (*)

4

2

3

4 2

3 3

m

m

m

m m

m



≥ 



 − > 

 <

⇔ ⇔ 







<  >





 − >  1,5