Biểu diễn đa thức dương dưới dạng tổng bình phương hai đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

CAO HÀ DƯƠNG

BIỂU DIỄN ĐA THỨC DƯƠNG DƯỚI DẠNG

TỔNG BÌNH PHƯƠNG HAI ĐA THỨC

THÁI NGUYÊN, 10/2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

CAO HÀ DƯƠNG

BIỂU DIỄN ĐA THỨC DƯƠNG DƯỚI DẠNG

TỔNG BÌNH PHƯƠNG HAI ĐA THỨC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI

THÁI NGUYÊN, 10/2018

i

Mục lục

Lời cảm ơn 2

Lời nói đầu 3

1 BÀI TOÁN HILBERT THỨ 17 5

1.1. Lịch sử vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Một số kết quả về biểu diễn đa thức không âm . . . . . . . 6

1.2.1. Kết quả của Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2. Ví dụ của Motzkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3. Ví dụ của Robinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4. Ví dụ của Choi-Lam . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.5. Ví dụ của Lax-Lax và Schm¨udgen . . . . . . . . . . 14

1.2.6. Chứng minh của Artin . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BÀI TOÁN HILBERT 17 29

2.1. Về không điểm của các đa thức nhiều biến không âm . . . 29

2.1.1. Không điểm của dạng psd . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.2. Phương pháp ma trận Gram . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.3. Tổng quát hoá của M và S . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.4. Các ví dụ về dạng đối xứng . . . . . . . . . . . . . 32

2.2. Định lý Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Kết luận 36

Tài liệu tham khảo 37

1

Danh mục các ký hiệu, các chữ

viết tắt

psd đa thức nửa xác định dương

pd đa thức xác định dương

sos đa thức biểu diễn được dưới dạng tổng của bình

phương các đa thức

AM − GM bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình

nhân

GCD ước chung lớn nhất