Các dạng biểu diễn của dãy số

1.2 Dãy số

Dãy số được dùng để biểu diễn số liệu và tín hiệu số, cũng như để mô tả hệ xử lý số, do đó trước hết cần nghiên

cứu về các dãy số và các phép toán trên chúng.

1.2.1 Các dạng biểu diễn của dãy số

Dãy số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, đồ thị, hoặc dãy số liệu. Dưới dạng hàm số, dãy

số x(n) chỉ xác định với đối số là các số nguyên n, dãy số không xác định ở ngoài các giá trị nguyên n của đối số.

Ví dụ 1.1 : Dãy số x(n) được biểu diễn bằng

hàm số :

[ ]

[ ] 





∉

∈

=

0 0 3

1 0 3

,

,

( )

Khi n

Khi n

x n

- Biểu diễn dãy số x(n) dưới dạng bảng số liệu

ở bảng 1.1.

Bảng 1.1

Hình 1.6 : Đồ thị dãy x(n)

n -∞ ... -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ... ∞

x(n) 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

- Biểu diễn đồ thị của dãy x(n) trên hình 1.6,

- Biểu diễn dãy x(n) dưới dạng dãy số liệu : ( ) { ... , 0 ,1,1,1,1, 0 , 0 , ... } ↑

x n =

Trong đó ký hiệu ↑ để chỉ số liệu ứng với điểm gốc n = 0.

1.2.2 Phân loại các dãy số

1.2.2a Dãy xác định và dãy ngẫu nhiên

∗ Dãy x(n) xác định là dãy có giá trị biến thiên theo quy luật và có thể biểu diễn được bằng một hàm số toán học.

∗ Dãy x(n) ngẫu nhiên là dãy có giá trị biến thiên ngẫu nhiên và không thể biểu diễn được bằng hàm số toán học.

1.2.2b Dãy tuần hoàn và dãy không tuần hoàn

∗ Dãy xp(n) tuần hoàn là dãy có giá trị lặp lại và thỏa mãn biểu thức : x (n) x (n kN)

p = p +

[1.2-1]

Trong đó, hệ số k có thể nhận giá trị nguyên bất kỳ, hằng số nguyên N được gọi là chu kỳ. Dãy tuần hoàn xp(n) còn

các tham số sau :

- Tần số lặp lại :

N

f

1

= [1.2-2]

- Tần số góc :

N

f

π

ω π

2

= 2 . = [1.2-3]

∗ Dãy x(n) không tuần hoàn là dãy không tồn tại một số N hữu hạn để giá trị của nó được lặp lại và thỏa mãn biểu thức

[1.2-1]. Tuy nhiên, có thể coi dãy không tuần hoàn là dãy tuần hoàn có chu kỳ N = ∞.

1.2.2c Dãy hữu hạn và dãy vô hạn

∗ Dãy x(n) hữu hạn là dãy có số mẫu N < ∞ . Dãy x(n) hữu hạn có N mẫu được ký hiệu là x(n)N.

∗ Dãy x(n) vô hạn là dãy có vô hạn mẫu. Khoảng xác định của dãy vô hạn có thể là n ∈ (- ∞ , ∞) ; n ∈ (0 , ∞) ; hoặc

n ∈ (- ∞ , 0).

1.2.2d Dãy một phía và dãy hai phía

∗ Dãy x(n) là dãy một phía nếu n ∈ (0 , ∞) hoặc n ∈ (- ∞ , 0).

∗ Dãy x(n) là dãy hai phía nếu n ∈ (- ∞ , ∞).

Ví dụ 1.2 : - Dãy ∑

−

=

−

=

1

0

1

( ) 2

N

k

k

x n là dãy một phía hữu hạn có độ dài N .

- Dãy ∑=−

−

=

N

k N

k

x (n) 2 2

là dãy hai phía hữu hạn, độ dài L = 2N + 1.

- Dãy ∑

∞

=

−

=

0

3

( ) 2

k

k

x n là dãy một phía vô hạn.

- Dãy ∑

∞

=−∞

−

=

k

k

x (n) 2 4

là dãy hai phía vô hạn.

1.2.2e Dãy chẵn và dãy lẻ

∗ Dãy x(n) là dãy chẵn nếu x(n) = x(-n) . Dãy chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung, nên còn được gọi là dãy đối xứng.

∗ Dãy x(n) là dãy lẻ nếu x(n) = - x(-n) . Dãy lẻ có đồ thị phản đối xứng qua gốc toạ độ, nên còn được gọi là dãy phản

đối xứng.

1.2.2f Dãy thực và dãy phức

∗ Dãy x(n) thực là dãy hàm số thực. Hầu hết các dãy biểu diễn tín hiệu số và hệ xử lý số đều là dãy thực.

11

1 2 3

1

- 1 0 4

x ( n )

n