Biến đổi Fourier phân và ứng dụng giải phương trình khuếch tán đối với toán tử vi phân phân

®¹i häc th¸i nguyªn

Tr-êng ®¹i häc khoa häc

NguyÔn ®¨ng ®µi

BiÕn ®æi fourier ph©n vµ øng dông

Gi¶i ph-¬ng tr×nh khuÕch t¸n ®èi

Víi to¸n tö vi ph©n ph©n

luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

th¸i nguyªn - 2012

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

®¹i häc th¸i nguyªn

Tr-êng ®¹i häc khoa häc

NguyÔn ®¨ng ®µi

BiÕn ®æi fourier ph©n vµ øng dông

Gi¶i ph-¬ng tr×nh khuÕch t¸n ®èi

Víi to¸n tö vi ph©n ph©n

Chuyªn ngµnh: To¸n øng dông

M· sè: 60 46 01 12

luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: TS. NguyÔn V¨n Ngäc

th¸i nguyªn - 2012

2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN ĐĂNG ĐÀI

BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỐI

VỚI TOÁN TỬ VI PHÂN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN ĐĂNG ĐÀI

BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỐI

VỚI TOÁN TỬ VI PHÂN PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN VĂN NGỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

i

Mục lục

Mở đầu 1

1 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa 5

1.1 Không gian Lizorkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa . . . . . . . . . . . 6

1.3 Đạo hàm cấp phân và toán tử tích phân phân . . . . . . 8

1.4 Biến đổi Fourier phân của đạo hàm cấp phân . . . . . . 11

2 Phương trình khuếch tán đối với toán tử vi phân cấp

phân 14

2.1 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Toán tử vi phân cấp phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình khuếch tán phân

theo biến thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Phương trình khuếch tán phân với các biến không gian

- thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Phương trình khuếch tán phân và các quá trình với thời

gian ngẫu nhiên khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.1 Chuyển động Brownian lặp được tạo ra bởi phương

trình khuếch tán phân . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.2 Nghiệm rõ ràng của phương trình khuếch tán

phân với ν = 1/3, ν = 2/3, và ν = 4/3 . . . . . . 39

Kết luận 47

5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn