Biến dạng Chaotic của toán tử hợp thành trên không gian Hardy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU HÀ

BIẾN DẠNG CHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH

TRÊN KHÔNG GIAN HARDY

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số: 60.46.01

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu

Thái Nguyên - 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mục lục

Chương 1. HÀM CHỈNH HÌNH, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ KHÔNG

GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Khái niệm về hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Công thức tích phân Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3. Định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4. Nguyên lý môđun cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1. Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2. Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1. Không gian L

p

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2. Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3. Tính đối ngẫu của không gian H

p

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.4. Biến dạng biên của tích phân Poisson-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Chương 2. BIẾN DẠNG CHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG

GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2. Tiêu chuẩn hypercyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Toán tử hợp thành Chaotic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2. Chứng minh định lý 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Áp dụng kết quả của định lý 2.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

i

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỞ ĐẦU

Cho đĩa đơn vị mở D := {z ∈ C : |z| < 1} , ký hiệu H

2

(D) là không gian

Hardy của các hàm f chỉnh hình trên D với chuẩn

k f k = lim

r→1−





1

2π

Z

2π

0

f



reiθ



2

dθ





1

/2

.

Giả sử ψ là tự đồng cấu chỉnh hình của D. Khi đó toán tử hợp thành Cψ :

H

2

(D) → H

2

(D) được định nghĩa Cψ f = f ◦ψ, là một toán tử tuyến tính bị

chặn trên H

2

(D). Nếu ψ không có điểm cố định trong D thì ψ có một hoặc hai

điểm cố định trên ∂D. Ta gọi ψ là parabolic nếu nó chỉ có một điểm biên cố

định và là hyperbolic nếu nó có hai điểm biên cố định, với γ là một số phức.

Luận văn trình bày kết quả sau:

1. Nếu ψ là tự đẳng cấu hyperbolic của D và λ > 1 là đạo hàm tại điểm đẩy

cố định của ψ. Khi đó bội vô hướng của toán tử hợp thành γCψ là chaotic

trên H

2

(D) khi và chỉ khi λ

−

1

/2 < |γ| < λ

1

/2

2. Nếu ψ là tự đẳng cấu parabolic của D. Khi đó γCψ là chaotic trên H

2

(D)

khi và chỉ khi |γ| = 1.

3. Nếu ψ là tự đẳng cấu của D, nó có một điểm cố định trong D. Khi đó γCψ

không là chaotic trên H

2

(D) với mọi γ ∈ C.

Đó là kết quả trong bài báo "Chaotic behavior of composition operators on the

Hardy space" của Takuya Hosokawa về việc nghiên cứu biến dạng chaotic của

toán tử hợp thành trên không gian Hardy H

2

(D) thông qua việc phân loại điểm

dính trên biên của dãy trọng lặp. Luận văn gồm 2 chương:

• Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức sử

dụng cho việc chứng minh chương sau, như khái niệm hàm chỉnh hình,

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn