BĐT cosi cho cap 2 va 3

Chuyên đ B i d ng ề ồ ưỡ H c sinh Gi i Toán THCS ọ ỏ Bất đẳng

thức Cauchy

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI (CAUCHY)

Bất đẳng thức Côsi cho hai số: Cho hai số a b, 0 ≥ . Ta có:

+ Dạng 1:

2

a b ab +

≥

+ Dạng 2: a b ab + ≥ 2

+ Dạng 3:

2

2

a b ab   +

 ÷ ≥

 

Dấu “=” xảy ra khi a b =

Bất đẳng thức Côsi cho ba số: Cho hai số a b c , , 0 ≥ . Ta có:

+ Dạng 1:

3

3

a b c abc + + ≥

+ Dạng 2: 3

a b c abc + + ≥ 3

+ Dạng 3:

3

3

a b c abc   + +  ÷ ≥

 

Dấu “=” xảy ra khi a b c = =

Bất đẳng thức Côsi cho n số: Cho dãy số 1 2 3 , , ,..., 0 n

a a a a ≥ . Ta có:

+ Dạng 1: 1 2

1 2

...

..

n n

n

a a a

a a a

n

+ + + ≥

+ Dạng 2: 1 2 1 2 ... ..

n

n n

a a a n a a a + + + ≥

+ Dạng 3: 1 2

1 2

...

..

n

n

n

a a a

a a a

n

  + + +  ÷ ≥

 

Dấu “=” xảy ra khi 1 2 ...

n

a a a = = =

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG

 CMR: 2

2

a b a b ab ab +

+ ≥ ⇔ ≥

 CMR: a b c ab bc ca a b c + + ≥ + + ∀ > , . , 0

 CMR: 2 2 2 a b c ab bc ca a b c + + ≥ + + ∀, , ,

 CMR: ( )

2 2 2 2 2 , , , a b c a b c a b c + + ≥ + ∀

 CMR: 2, , 0 a b a b

b a

+ ≥ ∀ >

 Cho a b, 0 > . CMR:

1 1 2

a b ab

+ ≥

 CMR:

1 1 4 , , 0 a b

a b a b

+ ≥ ∀ >

+

 CMR: 2 2 a b ab bc ca + + ≥ + + 1

Biên so n: Lê H u Lu t ạ ữ ậ Trang -1-