bản tóm tắt khóa luận tốt nghiệp môn Hình học vi phan

Tr­êng §¹i häc Hång §øc

Khoa Khoa häc tù nhiªn

L­u V¨n TiÕn

®a t¹p Riemann hai chiÒu

Khãa luËn tèt nghiÖp ®¹i häc s­ ph¹m to¸n

chuyªn nghµnh: h×nh häc vi ph©n

GVHD: TH.s – gvc ®ång kh¾c so¹n

®¬n vÞ c«ng t¸c: khoa khoa häc tù nhiªn

Thanh hãa, th¸ng 5 n¨m 2009

Khãa luËn ®­îc tr×nh bµy theo hÖ thèng tõ kh¸i niÖm, m« t¶,

c¸ch biÓu thÞ vÒ ®a t¹p Riemann hai chiÒu ®Õn ®Þnh tÝnh cña nã

vµ ®­îc ph©n thµnh 2 phÇn:

PhÇn I. C¬ së lý thuyÕt

Ch­¬ng I. §a t¹p Riemann hai chiÒu

§1. §a t¹p Riemann hai chiÒu

§2. D¹ng liªn kÕt vµ ®é cong Gauss cña ®a t¹p Riemann hai

chiÒu

§3. §¹o hµm cña tr­êng vÐct¬ däc mét cung tham sè

Ch­¬ng II. Cung tr¾c ®Þa trªn ®a t¹p Riemann hai chiÒu

§1. §é cong tr¾c ®Þa cña mét cung vµ cung tr¾c ®Þa trªn ®a

t¹p Riemann hai chiÒu

§2. TÝnh chÊt ng¾n nhÊt cña cung tr¾c ®Þa

§3. §Þnh lÝ Gauss-Bonet

PhÇn II. Mét sè bµi tËp minh häa

PHÇN I: C¥ Së Lý THUYÕT

CH¦¥NG I

§a t¹p Riemann hai chiÒu

§1. §a t¹p Riemann hai chiÒu

1. §a t¹p hai chiÒu trong kh«ng gian ¥clÝt .

1.1 §Þnh nghÜa.

Cho S lµ mét tËp con kh¸c rçng cña . NÕu víi mçi ®iÓm

®Òu tån t¹i h×nh cÇu më sao cho

lµ m¶nh h×nh häc th× S ®­îc gäi lµ ®a t¹p

hai chiÒu. Khi ®ã, mçi ®­îc gäi lµ mét tham sè hãa ®Þa

ph­¬ng vµ ®­îc gäi lµ mét b¶n ®å ®Þa ph­¬ng.

Nh­ vËy, ®a t¹p hai chiÒu S lµ hîp cña c¸c b¶n ®å ®Þa ph­¬ng

(hay cßn gäi ®a t¹p hai chiÒu S lµ hîp cña ¶nh c¸c kho¶ng

më hai chiÒu mµ mçi tËp ¶nh lµ mét b¶n ®å ®Þa ph­¬ng ).

p

r

n E

( ) p

U

p

S B p,r = U ,

p∈S B( p,r) , r > 0

( ) p p

U ,r

n E

§1. §a t¹p Riemann hai chiÒu

1. §a t¹p hai chiÒu trong kh«ng gian ¥clÝt .

1.1 §Þnh nghÜa.

Cho S lµ mét tËp con kh¸c rçng cña . NÕu víi mçi ®iÓm

®Òu tån t¹i h×nh cÇu më sao cho

lµ m¶nh h×nh häc th× S ®­îc gäi lµ ®a t¹p hai

chiÒu. Khi ®ã, mçi ®­îc gäi lµ mét tham sè hãa ®Þa ph­¬ng vµ

®­îc gäi lµ mét b¶n ®å ®Þa ph­¬ng.

Nh­ vËy, ®a t¹p hai chiÒu S lµ hîp cña c¸c b¶n ®å ®Þa ph­¬ng (hay

cßn gäi ®a t¹p hai chiÒu S lµ hîp cña ¶nh c¸c kho¶ng më hai

chiÒu mµ mçi tËp ¶nh lµ mét b¶n ®å ®Þa ph­¬ng ).

p

r

n E

( ) p

U

p

S B p,r = U ,

p∈S

( ) p p

U ,r

n E

§1. §a t¹p Riemann hai chiÒu

1. §a t¹p hai chiÒu trong kh«ng gian ¥clÝt .

1.1 §Þnh nghÜa.

Cho S lµ mét tËp con kh¸c rçng cña . NÕu víi mçi ®iÓm

®Òu tån t¹i h×nh cÇu më sao cho

lµ m¶nh h×nh häc th× S ®­îc gäi lµ ®a t¹p hai

chiÒu. Khi ®ã, mçi ®­îc gäi lµ mét tham sè hãa ®Þa ph­¬ng vµ

®­îc gäi lµ mét b¶n ®å ®Þa ph­¬ng.

Nh­ vËy, ®a t¹p hai chiÒu S lµ hîp cña c¸c b¶n ®å ®Þa ph­¬ng (hay

cßn gäi ®a t¹p hai chiÒu S lµ hîp cña ¶nh c¸c kho¶ng më hai

chiÒu mµ mçi tËp ¶nh lµ mét b¶n ®å ®Þa ph­¬ng ).

n E

p∈S

n E

1.2 Tiªu chuÈn nhËn biÕt ®a t¹p hai chiÒu trong .

* Tiªu chuÈn 1.

S lµ ®a t¹p hai chiÒu khi vµ chØ khi víi mçi ®iÓm cã mét l©n

cËn më U cña p trong S lµ mét m¶nh h×nh häc víi tham sè

hãa kiÓu ®å thÞ :

U lµ tËp më trong , lµ hµm kh¶ vi trªn U.

* Tiªu chuÈn 2.

XÐt ¸nh x¹:

§Æt . NÕu th× S lµ ®a

t¹p hai chiÒu.

R

2 ϕ

( x, y) r( x, y) ( x, y, (x, y))

r : U E

3

= ϕ

→



( )

3

F : V → R V ⊂ E

( x, y,z)  F( x, y,z)

= ( ) ≠ φ

−

S F p

1

rank (F

x

′

,F

y

′

,F

z

′) =1

n

E