Bài toán HIT đối với đại số đa thức năm biến và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN KHẮC TÍN

BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ ĐA THỨC

NĂM BIẾN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

BÌNH ĐỊNH, NĂM 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN KHẮC TÍN

BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ ĐA THỨC

NĂM BIẾN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

MÃ SỐ: 62.46.01.04

Phản biện 1: ..................................................................................

Phản biện 2: ..................................................................................

Phản biện 3: ..................................................................................

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS. NGUYỄN SUM

BÌNH ĐỊNH, NĂM 2017

Mục lục

Lời cam đoan iv

Lời cảm ơn v

Mở đầu 1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 10

1.1 Đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Cấu trúc A-môđun của đại số đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Hàm µ và véctơ trọng của đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Đơn thức chấp nhận được và đơn thức hit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Một số đồng cấu và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Chương 2. Một số vấn đề về bài toán hit đối với đại số đa thức 21

2.1 Tính đẳng cấu của đồng cấu Kameko lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Bài toán hit đối với đại số đa thức năm biến tại một số dạng bậc . . . 24

2.2.1 Trường hợp d = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2 Trường hợp d = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.3 Trường hợp d = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Chương 3. Ứng dụng của bài toán hit cho đồng cấu chuyển đại

số thứ năm của Singer 43

3.1 Giả thuyết của Singer về đồng cấu chuyển đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Chứng minh Định lý 3.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1 Trường hợp d = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.2 Trường hợp d = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

ii

3.2.3 Trường hợp d = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Chứng minh Hệ quả 3.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Kết luận 61

Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án 62

Tài liệu tham khảo 63

Phụ lục 69

iii

Lời cam đoan

Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng

dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sum. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu

của tôi. Các kết quả trong Luận án là trung thực được các đồng tác giả cho

phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó.

Tác giả,

Nguyễn Khắc Tín.

iv

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy tôi PGS.TS. Nguyễn Sum. Thầy

đã tận tình hướng dẫn tôi từ những bước đi đầu tiên trong nghiên cứu, khi tôi

làm luận văn thạc sỹ và giờ đây là luận án tiến sĩ, thầy luôn tạo cho tôi một

môi trường làm việc cởi mở, chân tình và đầy ấm cúng. Hơn thế nữa, như một

người cha, thầy luôn động viên, uốn nắn tôi để tôi hoàn thiện hơn trong cuộc

sống cũng như trong nghiên cứu khoa học và đặc biệt là sự quan tâm giúp đỡ

về mặt vật chất lẫn tinh thần để cho tôi an tâm trong suốt quá trình học tập

và nghiên cứu của mình.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu; Phòng Đào

tạo sau đại học; Khoa Toán-Trường Đại học Quy Nhơn, cùng các Thầy giáo,

Cô giáo đã giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian

học tập và nghiên cứu tại trường.

Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu-Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành

phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho tôi đi học. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn

chân thành đến các đồng nghiệp trong Bộ môn Toán, Khoa Khoa học Ứng dụng

đã gánh vác công việc của tôi trong suốt thời gian tôi đi làm nghiên cứu sinh

tại trường Đại học Quy Nhơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn NCS. Liên Vương Lâm và các bạn bè gần xa đã

thăm hỏi, giúp đỡ tôi rất nhiều trong ba năm qua. Xin cảm ơn Cô Kim Phụng

đã dành cho tôi những lời khuyên chân tình, những lời động viên, khích lệ tinh

thần trong suốt thời gian tôi thực hiện luận án này.

Cuối cùng, tôi xin dành tình cảm đặc biệt của mình gửi đến tất cả những

người thân thương trong gia đình tôi, những người luôn bên cạnh động viên, an

ủi, chia sẻ mọi khó nhọc cùng tôi; đặc biệt là sự vất vả, hy sinh to lớn của vợ

và con gái tôi đã gánh vác mọi công việc gia đình, tạo mọi điều kiện tốt nhất

có thể để tôi chuyên tâm học tập.

Tác giả

Nguyễn Khắc Tín.

v

Mở đầu

Một trong những công cụ cơ bản được sử dụng để nghiên cứu bài toán phân

loại đồng luân của các không gian tôpô đó là các toán tử đối đồng điều được

Steenrod xây dựng. Các toán tử đối đồng điều được sinh bởi các phép biến đổi

tự nhiên bậc i

Sqi

: H

n

(X, F2) −→ H

n+i

(X, F2),

trong đó X là không gian tôpô và H∗

(X, F2) đối đồng điều kì dị của X với

hệ số trên trường F2 có 2 phần tử và n, i là các số nguyên không âm tùy ý.

Các toán tử Sqi được Steenrod xây dựng trong [38] và được gọi là bình phương

Steenrod bậc i hay toán tử Steenrod bậc i.

Cấu trúc của tập hợp các toán tử đối đồng điều được Serre [58] làm rõ vào

năm 1952. Serre chứng minh rằng, với phép cộng thông thường và phép hợp

thành các ánh xạ, các toán tử Steenrod sinh ra tất cả các toán tử đối đồng điều

ổn định. Đại số các toán tử đối đồng điều ổn định với hệ số trên trường F2 được

gọi là đại số Steenrod modulo 2 và được kí hiệu là A. Khi đó, với mỗi không

gian tôpô X, H∗

(X, F2) là một A-môđun.

Như vậy, đại số Steenrod có thể được định nghĩa một cách thuần túy đại số

như là đại số thương của F2-đại số phân bậc, kết hợp, tự do sinh bởi các ký

hiệu Sqi bậc i với i là số nguyên không âm, theo iđêan hai phía sinh bởi quan

hệ Sq0 = 1 và các quan hệ Adem

SqaSqb =

X

[a/2]

j=0

b − 1 − j

a − 2j

!

Sqa+b−jSqj

, 0 < a < 2b.

Ký hiệu Pk = H∗

((RP

∞)

k

) là đại số đối đồng điều modulo 2 của tích trực

tiếp k không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều RP

∞. Khi đó, Pk đẳng cấu với một

đại số đa thức phân bậc F2[x1, x2, . . . , xk] với k biến, trong đó mỗi biến xj có

bậc bằng 1.

Cấu trúc A-môđun của Pk được xác định tường minh bởi công thức

Sqi

(xj ) =







xj

, i = 0,

x

2

j

, i = 1,

0, i > 1,

và công thức Cartan

Sqn

(xy) = Xn

i=0

Sqi

(x)Sqn−i

(y),

với x, y ∈ Pk.

Một trong những bài toán mà chúng tôi quan tâm là bài toán tìm tập sinh

cực tiểu của đại số đa thức Pk được xét như môđun trên đại số Steenrod A.

Bài toán này được gọi là bài toán hit đối với đại số đa thức. Nếu xét F2 như

một A-môđun tầm thường thì bài toán hit tương đương với bài toán tìm một

cơ sở của F2-không gian véctơ phân bậc

F2⊗APk

∼= Pk/A

+Pk

trong đó A+ là iđêan của A sinh bởi tất cả các toán tử Steenrod bậc dương.

Bài toán này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peterson [27, 28], Singer [36],

Wood [54], Priddy [30]. . . những người đã chỉ ra mối liên hệ của bài toán hit

với một số bài toán cổ điển trong lý thuyết đồng luân như lý thuyết đồng biên

của các đa tạp, lý thuyết biểu diễn modular của các nhóm tuyến tính, dãy phổ

Adams đối với đồng luân ổn định của mặt cầu và bài toán phân tích ổn định

các không gian phân loại của nhóm hữu hạn.

Trong [27], Peterson đã đưa ra giả thuyết rằng, như một môđun trên đại

số Steenrod, đại số đa thức Pk được sinh bởi các đơn thức bậc n thỏa mãn

α(n + k) 6 k, trong đó α(n) là số hệ số 1 trong khai triển nhị phân của n và

chứng minh điều này với k 6 2. Giả thuyết này được Wood [54] chứng minh

một cách tổng quát vào năm 1989. Đây là một công cụ cơ bản đối với bài toán

xác định tập sinh cực tiểu của A-môđun Pk. Sau đó kết quả này được phát

triển xa hơn bởi Singer [36] và Silverman [33, 34].

Đến nay, tích tenxơ F2⊗APk đã được xác định tường minh với k = 1, 2 bởi

Peterson, với k = 3 bởi Kameko [22, 23]. Trường hợp k = 4 được xác định

2

hoàn toàn bởi N. Sum [39, 42, 44]. Trong trường hợp tổng quát tại một số dạng

bậc nào đó, bài toán được sự quan tâm nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong và

ngoài nước (chẳng hạn như: Boardman [2], Bruner-Hà-Hưng [3], Carlisle-Wood

[4], Crabb-Hubbuck [5], Giambalvo-Peterson [11], Hưng-Nam [15, 16], Hưng￾Peterson [17], Janfada-Wood [20, 21], Mothebe [25], T. N. Nam [56], Phúc-Sum

[29], Repka-Selick [32], Silverman [33], Silverman-Singer [35], Singer [37], N.

Sum [40, 41, 44], Walker-Wood [51, 52, 53], Wood [54, 55] và một số tác giả

khác). Tuy nhiên, các kết quả đạt được vẫn còn hạn chế, ngay cả trong trường

hợp k = 5 với sự hỗ trợ của máy tính điện tử.

Ký hiệu GLk là nhóm tuyến tính tổng quát cấp k trên trường F2. Nhóm này

tác động tự nhiên lên đại số đa thức Pk bằng các phép thế biến tuyến tính (xem

Dickson [10]). Vì các tác động của A và GLk trên Pk giao hoán với nhau nên

có một tác động cảm sinh của GLk trên F2⊗APk.

Một công cụ khác được sử dụng để nghiên cứu bài toán hit là đồng cấu của

Kameko Sqf

0

∗

: F2⊗APk −→ F2⊗APk. Đồng cấu này là một đồng cấu GLk￾môđun cảm sinh bởi một ánh xạ F2-tuyến tính φ : Pk −→ Pk và được xác định

như sau:

φ(x) =







y, nếu x = x1x2 . . . xky

2

,

0, các trường hợp khác ,

với mọi đơn thức x ∈ Pk. Tuy φ không phải là một đồng cấu A-môđun nhưng

ta có các hệ thức sau: φSq2j = Sqjφ, φSq2j+1 = 0 với mọi số nguyên không

âm j. Với n là một số nguyên dương, ta ký hiệu

µ(n) = min{u ∈ Z : α(n + u) ≤ u}.

Kameko đã chứng minh trong [22] kết quả sau (định lý này cũng được đánh số

là Định lý 2.1.1).

Định lý 1 (Kameko [22]). Cho m là một số nguyên dương. Nếu µ(2m+k) = k

thì

(Sqf

0

∗

)(k,m)

: (F2⊗APk)2m+k −→ (F2⊗APk)m

là một đẳng cấu của các GLk-môđun.

3