BÀI TOÁN HIT CỦA PETERSON TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC VÀ ỨNG DỤNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐẶNG VÕ PHÚC

BÀI TOÁN HIT CỦA PETERSON

TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐẶNG VÕ PHÚC

BÀI TOÁN HIT CỦA PETERSON

TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 62 46 01 04

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Phản biện 1: PGS. TS. Lê Minh Hà

Phản biện 2: TS. Phan Hoàng Chơn

Phản biện 3: PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. NGUYỄN SUM

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017

Lời cam đoan

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng

dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sum. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu

của tôi. Các kết quả trong luận án là trung thực, được đồng tác giả là thầy hướng

dẫn của tôi cho phép sử dụng khi đưa vào luận án và chưa từng được ai công bố

trước đó.

Tác giả

Đặng Võ Phúc

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâu

sắc nhất đến Thầy hướng dẫn là PGS.TS. Nguyễn Sum. Thầy rất nghiêm khắc

nhưng mẫu mực, Thầy không chỉ hướng dẫn một cách tận tình, định hướng, giúp

đỡ tác giả vượt qua được những khó khăn trong những bước đi đầu tiên làm

nghiên cứu sinh mà còn sự quan tâm giúp đỡ về mặt vật chất lẫn tinh thần của

Thầy trong cuộc sống để tác giả hoàn thành luận án này một cách tốt nhất.

Tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học

Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán cùng quý Thầy Cô giáo giảng

dạy lớp nghiên cứu sinh Toán Đại số và Lý thuyết số khóa 2 đã tận tình giúp đỡ

và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả được học tập và nghiên cứu khoa học

tại Trường đại học Quy Nhơn.

Tác giả xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến gia đình, bạn bè gần xa, đặc

biệt là các bạn NCS. Trần Đình Phụng, NCS. Dư Thị Hòa Bình và NCS. Lưu Thị

Hiệp đã luôn sát cánh động viên, chia sẻ giúp đỡ rất nhiều cho tác giả, để tác giả

vượt qua được những biến cố về sức khỏe và có thêm động lực hoàn thành tốt

nhất chương trình nghiên cứu sinh của mình.

Tác giả

Đặng Võ Phúc

i

Mục lục

Mục lục i

Bảng một số ký hiệu iii

Mở đầu 1

Chương 1. Một số kiến thức cơ sở 11

1.1 Cấu trúc đại số Steenrod mod 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Tác động của đại số Steenrod trên đại số đa thức Pk . . . . . . . . 13

1.3 Một số hàm số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Đồng cấu Kameko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Quan hệ thứ tự giữa các đơn thức và đơn thức chấp nhận được . . 18

1.6 Tiêu chuẩn đơn thức hit của Singer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7 Một số kết quả về bài toán hit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chương 2. Bài toán hit đối với đại số đa thức tại bậc (k − 1)(2d − 1) 26

2.1 Một số đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Chứng minh Định lý 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Chương 3. Bài toán hit đối với đại số đa thức năm biến tại một số

dạng bậc 40

3.1 Chứng minh Định lý 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Chứng minh Định lý 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Chương 4. Ứng dụng của bài toán hit cho đồng cấu chuyển đại số

ii

thứ năm của Singer 74

4.1 Đồng cấu chuyển đại số và giả thuyết của Singer . . . . . . . . . . . 74

4.2 Chứng minh Định lý 4.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3 Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Kết luận và kiến nghị 87

Danh mục các công trình liên quan đến luận án 89

Tài liệu tham khảo 90

Phụ lục A 96

A.1 Các đơn thức chấp nhận được bậc 4(2d − 1) trong P5 . . . . . . . . 96

A.2 Các đơn thức chấp nhận được bậc 6 trong P5 . . . . . . . . . . . . 106

A.3 Các đơn thức chấp nhận được bậc 17 trong P5 . . . . . . . . . . . . 107

A.4 Các đơn thức chấp nhận được bậc 18 trong P5 . . . . . . . . . . . . 112

A.5 Các đơn thức chấp nhận được bậc 39 trong P5 . . . . . . . . . . . . 115

iii

Bảng một số ký hiệu

F2

: Trường hữu hạn có hai phần tử.

Pk : Đại số đa thức của k biến x1, x2, . . . , xk trên trường F2.

(Z/2)k

: Không gian véctơ k chiều trên trường F2,

2-nhóm Abel sơ cấp hạng k.

B(Z/2)k

: Không gian phân loại của (Z/2)k

.

GLk : Nhóm tuyến tính tổng quátgồm các tự đẳng cấu của (Z/2)k

.

H∗(B(Z/2)k

, F2) : Đồng điều kỳ dị của B(Z/2)k

, với hệ số trên F2.

H∗

(B(Z/2)k

, F2) : Đối đồng điều kỳ dị của B(Z/2)k

, với hệ số trên F2.

A : Đại số Steenrod mod 2.

TorA

∗,∗

(F2, F2) : Đồng điều của A , với hệ số trên F2.

Ext∗,∗

A

(F2, F2) : Đối đồng điều của A , với hệ số trên F2.

P H∗(B(Z/2)k

, F2) : Không gian con của H∗(B(Z/2)k

, F2) gồm

tất cả các phần tử bị triệt tiêu bởi tác động

của mọi toán tử Steenrod bậc dương.

Nk : Tập hợp tất cả các số nguyên dương không vượt quá k.

Nk : Tập hợp tất các các cặp (i; I), với I = (i1, i2, . . . , ir) ⊆ Nk,

1 6 i < i1 < i2 < . . . < ir 6 k, 0 6 r < k.

XI

: Đơn thức x1 . . . xˆi1

. . . xˆir

. . . xk =

Q

i∈Nk\I

xi

,

với I = (i1, i2, . . . , ir) ⊆ Nk.

X{i}

: Đơn thức x1 . . . xˆi

. . . xk trong Pk với 1 6 i 6 k.

X∅

: Đơn thức x1x2 . . . xk trong Pk.

X : Đơn thức x1x2 . . . xk−1 trong Pk−1.

αi(n) : Hệ số thứ i > 0 trong khai triển nhị phân

của số nguyên dương n.

α(n) : Số các hệ số 1 trong khai tiển nhị phân của n.

µ(n) : Số min{m ∈ N| α(n + m) 6 m}.

|S| : Lực lượng của tập hợp S.

1

Mở đầu

Ký hiệu H•

(X, F2) là đối đồng điều kỳ dị của không gian tôpô X, lấy hệ số

trên trường nguyên tố F2, có hai phần tử. Vào năm 1947, Steenrod [40] xây dựng

các toán tử đối đồng điều mà ngày nay mang tên ông, tác động tự nhiên lên

H•

(X, F2):

Sqk

: H

•

(X, F2) → H

•+k

(X, F2),

trong đó k là số nguyên không âm bất kỳ. Trong nhiều trường hợp, các toán

tử này là một công cụ hữu hiệu để nhận biết sự khác nhau về kiểu đồng luân

của các không gian tôpô. Chẳng hạn, chúng ta có thể thấy rằng hai không gian

CP

4/CP

2 và S

6 ∨ S

8 mặc dù có cùng vành đối đồng điều nhưng không tương

đương đồng luân (hay không cùng kiểu đồng luân) bởi vì toán tử Sq2

tác động

tầm thường trên nhóm đối đồng điều H2

(S

6 ∨ S

8

, F2) nhưng không tầm thường

trên H2

(CP

4/CP

2

, F2).

Trong quá trình nghiên cứu đối đồng điều của các không gian Eilenberg-Mac

Lane, Serre [70] đã chỉ ra rằng với phép cộng thông thường và phép hợp thành

của các ánh xạ, các toán tử Steenrod Sqk

sinh ra tất cả các toán tử đối đồng điều

ổn định. Đại số sinh bởi các toán tử Steenrod được gọi là đại số Steenrod mod 2,

ký hiệu là A . Cấu trúc của đại số này còn được khảo sát như là đại số thương

của một F2-đại số kết hợp tự do, phân bậc, sinh bởi các ký hiệu Sqk

, k > 0 chia

cho iđêan hai phía sinh bởi tập tất cả các phần tử có dạng:

Sqk

⊗F2 Sqm

+

X

06t6[k/2]



m − 1 − t

k − 2t



Sqk+m−t

⊗F2 Sqt

, 1 6 k < 2m và Sq0

+ 1,

trong đó, ký hiệu [k/2] là phần nguyên của k/2 và ￾m

k

là hệ số nhị thức được tính

theo mod 2. Khi đó, các phần tử trong trong đại số A là Sqk

:= [Sqk

], với [Sqk

]

là lớp trong A có đại diện là Sqk

. Vì thế, toán tử Steenrod Sq0

là toán tử đồng

nhất và các toán tử Sqk

(với k > 0) thỏa mãn các quan hệ Adem [2] như sau:

SqkSqm =

X

06t6[k/2]



m − 1 − t

k − 2t



Sqk+m−tSqt

, với 0 < k < 2m.

Sau đó, đại số Steenrod được nhiều tác giả nghiên cứu chuyên sâu và trở thành

một công cụ quan trọng để giải quyết bài toán phân loại kiểu đồng luân của cá

2

không gian tôpô, một trong những bài toán trung tâm của Tôpô đại số hiện nay.

Từ việc nghiên cứu bài toán này đã dẫn tới một bài toán rất khó trong lý thuyết

đồng luân ổn định, đó là tính toán tường minh đối đồng điều (mod 2) của đại số

Steenrod, H∗,∗

(A , F2) := Ext∗,∗

A

(F2, F2), nó là một F2-đại số song phân bậc-giao

hoán và là trang E2 của dãy phổ Adams [1] hội tụ về thành phần 2-xoắn của

nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu π

S

∗

(S

0

). Cấu trúc của đại số này mặc dù đã

được nhiều tác giả nghiên cứu sâu sắc gần nửa thế kỷ, tuy nhiên cho đến nay vẫn

rất khó để nắm bắt được nó.

Vào năm 1989, Singer [38] đã cố gắng sử dụng công cụ lý thuyết biểu diễn

modular của các nhóm tuyến tính để nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod,

ông thiết lập một đồng cấu đại số mà ngày nay nó được gọi là đồng cấu chuyển

hạng k (hay thứ k) của Singer:

ϕk : TorA

k,k+∗

(F2, F2) → (F2 ⊗A H

∗

(B(Z/2)k

, F2))GLk

,

từ đồng điều (mod 2) của đại số A đến không gian con của F2⊗A H∗

(B(Z/2)k

, F2)

gồm tất cả các lớp bất biến dưới tác động thông thường của nhóm tuyến tính tổng

quát GLk := GL(k, F2). Ở đây, (Z/2)k

là 2-nhóm Abel sơ cấp hạng k xem như

F2-không gian véctơ k chiều và B(Z/2)k

là không gian phân loại của nó. Đồng

cấu đối ngẫu

T rk : F2 ⊗GLk P H∗(B(Z/2)k

, F2) → Extk,k+∗

A

(F2, F2)

cũng được gọi là đồng cấu chuyển của Singer. Chú ý rằng P H∗(B(Z/2)k

, F2) =

(F2⊗A H∗

(B(Z/2)k

, F2))∗

là không gian con của đại số đồng điều H∗(B(Z/2)k

, F2)

gồm tất cả các phần tử bị triệt tiêu đối với tác động của mọi toán tử Steenrod

bậc dương. Singer đã chỉ ra trong [38] rằng T rk là một đẳng cấu với k 6 2 và

tại một số bậc với k = 3, 4. Trong trường hợp hạng năm, ông chứng minh T r5

không là toàn cấu tại bậc 9. Các kết quả này của Singer đã chỉ ra giá trị không

tầm thường của đồng cấu chuyển. Vì vậy, nó được kỳ vọng là một công cụ hữu

ích để mô tả đối đồng điều của đại số Steenrod, Extk,∗

A

(F2, F2). Đặc biệt, trong

[38], Singer đã đưa ra giả thuyết sau đây.

Giả thuyết 4.1.1 (Singer [38]). Đồng cấu T rk là một đơn cấu, với mọi số nguyên

dương k.

Giả thuyết này được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà Tôpô đại số (xem

3

Boardman [3], Bruner-Hà-Hưng [5], Hưng [14], Hà [12], Nam [69], Hưng-Quỳnh

[17], Chơn-Hà [9, 10, 11], Minami [23], Quỳnh [34], Sum [47, 49, 50, 51], Sum-Tín

[52] và một số tác giả khác). Công trình [3] của Boardman năm 1993 đã chỉ ra giả

thuyết của Singer cũng đúng với k = 3, cụ thể Boardman chứng minh T r3 cũng là

một đẳng cấu. Gần đây, N. H. V. Hưng và các cộng sự đã xác định hoàn toàn ảnh

của T r4 (xem Bruner-Hà-Hưng [5], Hưng [14], Hà [12], Nam [69], Hưng-Quỳnh

[17]). Đáng chú ý, N. H. V. Hưng chứng minh trong [14] rằng với bất kỳ k > 5

có vô số bậc mà tại đó T rk không là đẳng cấu. Tuy nhiên, ông không khẳng định

được T rk là một đơn cấu. Vì vậy, giả thuyết của Singer cho đến nay vẫn còn để

ngỏ.

Để chứng minh hoặc phủ định giả thuyết của Singer thì việc nắm rõ cấu trúc

của tích tensor F2 ⊗A H∗

(B(Z/2)k

, F2) là một trong những yếu tố quyết định. Vì

vậy, việc giải quyết giả thuyết của Singer có mối liên hệ mật thiết với bài toán

xác định tường minh một hệ sinh tối tiểu của F2-đại số phân bậc

Pk := H

∗

(B(Z/2)k

, F2) ∼= F2[x1; x2; . . . ; xk],

được xét như là một môđun trên đại số Steenrod A , trong đó ký hiệu F2[x1; . . . ; xk]

là F2-đại số đa thức của k-biến x1, x2, . . . , xk, mỗi biến có bậc 1. Cấu trúc A -

môđun trái (không ổn định) của đại số Pk được xác định tường minh bởi công

thức:

Sqm(xt) =







xt nếu m = 0,

x

2

t nếu m = 1,

0 nếu m > 1,

và công thức Cartan [67]: Sqm(fg) = P

06t6m

Sqt

(f)Sqm−t

(g), với f, g là các đa

thức thuần nhất bất kỳ trong Pk. Nếu xét F2 như là một A -môđun tầm thường

thì bài toán được quy về tìm một cơ sở của F2-không gian véctơ phân bậc

Pk/A

+.Pk = F2 ⊗A Pk =

M

n>0

(F2 ⊗A Pk)n,

trong đó (F2 ⊗A Pk)n := (Pk)n/

￾

(Pk)n ∩ A +.Pk

, với (Pk)n là F2-không gian con

của Pk gồm các đa thức thuần nhất bậc n. Ngày nay, bài toán này được gọi là

bài toán "hit" đối với đại số đa thức. Peterson [28] là tác giả đầu tiên nghiên cứu

bài toán này vào năm 1987. Ông đã đưa ra giả thuyết rằng (F2 ⊗A Pk)n = 0

nếu α(n + k) > k, trong đó ký hiệu α(n) là số các chữ số 1 trong khai triển nh

4

phân của n. Giả thuyết này được ông chứng minh cho trường hợp k 6 2. Sau

đó, Wood [64] chứng minh cho trường hợp tổng quát vào năm 1989. Sau các công

trình này, bài toán hit thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều tác giả

trong và ngoài nước (xem Boardman [3], Bruner-Hà-Hưng [5], Carlisle-Wood [6],

Crabb-Hubbuck [8], Hà [12], Hưng [13], Hưng-Nam [15, 16], Kameko [18, 19],

Minami [23], Mothebe [25, 26], Nam [68, 69], Repka-Seilck [35], Silverman [36],

Silverman-Singer [37], Singer [39], Walker-Wood [58, 59, 60], Wood [64], Sum

[43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50], Tín [54, 55, 56], Tín-Sum [57] và một số tác giả

khác).

Có thể nói bài toán hit là một bài toán mang tính thời sự bởi những ứng dụng

quan trọng của nó. Cụ thể hơn, bài toán này không những là một công cụ hữu

ích để nghiên cứu ảnh của đồng cấu chuyển của Singer mà nó còn được ứng dụng

để nghiên cứu một số bài toán kinh điển trong lý thuyết đồng luân như lý thuyết

cobordism của các đa tạp thể hiện qua công trình của Peterson [29]; bài toán phân

tích ổn định không gian phân loại của các 2-nhóm Abel sơ cấp qua công trình của

Priddy [33]; lý thuyết biểu diễn modular của các nhóm tuyến tính qua các công

trình của Wood [66], Walker-Wood [59]. Cho đến nay, bài toán hit mới giải tường

minh cho trường hợp k 6 4. Trong trường hợp tổng quát, nó vẫn là một bài toán

mở.

Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán hit của Peterson;

từ đó trên cơ sở sử dụng các kết quả của bài toán này, chúng tôi nghiên cứu kiểm

chứng giả thuyết của Singer cho trường hợp k = 5 tại một số bậc. Một cách cụ

thể, chúng tôi tập trung nghiên cứu cấu trúc của không gian véctơ F2 ⊗A Pk, với

k > 5, tại một số dạng bậc và ứng dụng các kết quả này để kiểm chứng giả thuyết

của Singer về đồng cấu chuyển thứ năm T r5, tại các bậc tương ứng.

Như chúng tôi đã trình bày ở trên, bài toán hit mới giải quyết hoàn toàn cho

số biến k 6 4. Cụ thể hơn, trường hợp k 6 2 đã được tính toán tường minh trong

công trình [28] của Peterson. Trường hợp k = 3 là kết quả của Kameko thực hiện

trong Luận án [18] tại trường Đại học Johns Hopkins vào năm 1990. Đặc biệt,

trong công trình này Kameko đưa ra một giả thuyết về một cận trên của số chiều

không gian véctơ (F2 ⊗A Pk)n chỉ phụ thuộc vào số biến của đại số đa thức Pk,

cụ thể là dim(F2 ⊗A Pk)n 6

Q

16i6k

(2i − 1), với n là số nguyên dương tùy ý. Giả

5

thuyết này được Kameko chứng minh là đúng đối với số biến k 6 3. Năm 2007,

N. Sum [43] giải quyết trọn vẹn bài toán hit cho trường hợp k = 4 trong một bản

thảo dài 240 trang. Công trình này sau đó được rút gọn lại và công bố chính thức

vào năm 2015 (xem Sum [48]). Dựa vào kết quả này, giả thuyết của Kameko vẫn

đúng với k = 4. Tuy nhiên, giả thuyết này không còn đúng khi k > 5; kết quả

này đã được N. Sum chứng minh đầy đủ và công bố trong các công trình [44, 45].

Một trong những công cụ hữu hiệu để tính toán bài toán hit cũng như nghiên

cứu đồng cấu chuyển của Singer là đồng cấu của Kameko Sqf

0

∗

: (F2 ⊗A Pk)k+2d →

(F2 ⊗A Pk)d, với d là một số nguyên dương tùy ý. Đồng cấu này được cảm sinh

từ một F2-đồng cấu ψ : Pk −→ Pk xác định như sau:

ψ(x) =







u nếu x = x1x2 . . . xku

2

,

0 các trường hợp khác,

với mọi đơn thức x ∈ Pk. Ngoài công cụ này, hàm số học sau đây cũng được ứng

dụng để giải quyết bài toán hit

µ(n) = min

r ∈ N : n =

P

16t6r

(2dt − 1), dt > 0, 1 6 t 6 r



= min

r ∈ N : α(n + r) 6 r



,

trong đó, n là một số nguyên dương tùy ý.

Chú ý rằng, tác động của các đại số A và GLk trên Pk là giao hoán với nhau.

Vì vậy, không gian véctơ (F2⊗A Pk) cũng có cấu trúc là một GLk-môđun. Kameko

đã chứng minh trong [18], nếu µ(n) = k thì n − k là một số chẵn và đồng cấu

Sqf

0

∗

: (F2 ⊗A Pk)n −→ (F2 ⊗A Pk) n−k

2

là một đẳng cấu các GLk-môđun. Từ các tính chất sơ cấp của hàm µ, ta thấy

rằng với mỗi số nguyên không âm m, tồn tại số nguyên t > 0 sao cho µ(k(2d −

1) + 2dm) = k, với mọi d > t. Do đó, từ kết quả của Kameko, suy ra rằng đồng

cấu lặp

(Sqg0

∗

)

d−t

: (F2 ⊗A Pk)k(2d−1)+2dm −→ (F2 ⊗A Pk)k(2t−1)+2tm (0.1)

là một phép đẳng cấu các GLk-môđun với mọi d > t. Tuy nhiên, giá trị của t là

chưa xác định được cụ thể. Trong công trình [14], N. H. V. Hưng đã chỉ ra rằng