Bài tập giải sẵn giải tích 1: tóm tắt lý thuyết và chọn lọc

TRẨN BÌNH

II+ - TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CHỌN LỌC

II* PHỤ CHƯƠNG CÁC ĐẾ THI HỌC KỲ I

CÁC NĂM 2003 - 2007

N H À X U Ấ T BẢN

K H O A H Ọ C A /À TH U Ậ T

TRẨN BÌNH

BÀI TẬP GIẢI SẴN

GIẢI TÍCH I

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CHỌN LỌC

P H Ụ C H Ư Ơ N G : C Á C Đ Ề THI H Ọ C K Ỳ I C Á C N Ă M 2 0 0 3 - 2 0 0 7

In lần thứ tư có sửa chữa và bổ sung

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT

HÀ NỘI

LỜI NÓI ĐẦU

Sau khi bộ giáo trình GIẢI TÍCH (2 tập) của rác giả do Nhà xuất

bản Khoa học và Kỹ thuật ấn hành (1998 - 2000), nhiều độc giả đã đề

nghị viết tiếp bộ Bài tập giải tích giải sẵn có phần tóm tắt lý thuyết

như một s ổ tay toán học giải tích cho sinh viên kỹ tlìiiật và kỹ sư, dựa

trên bộ giáo trình GIẢI TÍCH.

Đ ể đáp ứng yêu cầu đó nhằm nâng cao chất lượng đào tạo trong

hiện tại và tương lai, tác giả dã soạn bộ bài tập n à \ (Tập 1 (II): Gidi

rích I (II, III), ứng với các nội dung học ở học kỳ I (II, III).

Plìần bài tập, tác giá đã chọn lọc các bài từ dề, trung bình đến

khó, đại diện clìo các loại rương ứng với các phần lý thuyết theo

chương trình toán giải tích hiện tại. Những bài khó có đánh dấu *

nhằm bồi dưỡng thêm cho sinh viên (nhất là các sinh viên khá, giỏi).

Cuối sách có phần phụ chương: Các đề thi Giải tícli học ký I các năm

2003 - 2007 cùa Đại học Bách khoa đ ể sinh viên tham khảo.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, nhất là

PGS. TS. Dương Quốc Việt đã đọc rất kỹ bản tháo và cho nhiều ý kiến

quý báu.

Vì sách mới xuất bán, không tránli kliòi những thiếu sót, rất mong

bạn đọc cho lìliững V kiến chỉ giáo.

Xin chân thành cảm ƠI1.

Hà Nội tháng 5 năm 2005

TÁC GIẢ

3

LỜI NÓI ĐẦU

MỤC LỤC

Trang

3

C h ư ơ n g I. SỐ THỰC - G IỚ I H Ạ N C Ủ A D À Y SỐ THỰC 11

§ l ằ K h á i n i ệ m cơ b ản 11

1.1. Ký h i ệ u l o g i q u e 11

1.2. Tập hợp 12

1.3. Ánh xạ 12

1.4. Phương pháp quy nạp T o án học 12

1.5. Nhị thức Nevvton 13

1.6. Đ ả n g thức và bất đ ả n g thức cần d ù n g 13

BÀI TẬP 14

§2 . T ập hợp cá c số thự c 18

BÀI TẬP 20

§ 3. D ã y số thực - Gi ới hạn 25

3.1. Định nghĩa 25

3.2. Tính chất và phép toán 26

3.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới han 26

BÀI TẬP 27

5

Chương 2. HÀM s ố MỘT BIẾN s ố 46

§ 1. K h á i niệm cơ bản 46

1.1. Định nghĩa 46

1 .2 ệ C ác hàm số sơ cấp cơ bản 47

BÀI TẬP 49

§2. Giới hạn của hàm số

2.1. Định nghĩa 63

2.2. Tính chất và phép toán 64

2.3. Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) 65

2.4. Các giới hạn và công thức tương đương thông dụng 66

2.5. Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 67

BÀI TẬP 67

§3. Hàm liên tục 89

3.1. Định nghĩa 89

3 .2 . C ác phép to án về h à m liên tục - Sự liên tục 90

của hàm sơ cấp

3.3. Các định lý về hàm liên tục trong một đoạn 90

3.4. Hàm liên tục đều 9 1

BÀI TẬP 91

C h ư ơ n g 3. Đ Ạ O H À M - VI P H Â N - ÁP D Ụ N G 105

§1. Đ ị n h n g h ĩ a - T ín h c h ấ t - Q u y tắc t ín h 105

1.1. Đạo hàm 105

1.2. Vi phân 10 5

1.3. Tính chất 106

1.4. Quy tác tính 106

1.5. Bảng đ ạo hàm và vi phán cơ b ả n lOk

6

1.6. Đạo hàm và vi phân cấp cao

1.7. Công thức thông dụng 108

BÀI TẬP 109

§2. Các định lý về hàm khả vi 146

2.1. Các định lý trung bình 146

2.2. Công thức Taylor và Maclaurin 147

BÀI TẬP 149

§ 3 . K h ả o sát h à m sô' y = f (x ) 168

3.1. Chiều biến thiên 168

3.2. Cực trị 168

3.3. Bề lồi (lõm ) - Đ iể m uốn 169

3.4. Tiệm cận của đổ thị hàm số 170

3.5. Sơ đồ k hảo sát và vẽ dồ thị cùa y = f(x) 171

BÀI TẬP 171

§ 4 . K h ả o sát h à m số ch o th e o t h a m sô' và t r o n g to ạ độ 21 8

độc cực

4.1. Hàm số cho theo tham sô 218

4.2. Hàm sô cho theo toạ độ độc cực 218

B a T t ÄP 220

Chương 4. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 245

§1. Khái niệm cơ bản 245

1.1. Nguyên hàm 245

1.2. Tích phân bất định 245

1.3. Tính chất 245

1.4. Bảna tích phân cơ bản 246

1.5. Hai phươna pháp tính cơ bản 248

7

BÀI TẬP 248

§2. Tích phân các hàm hữu tỳ 270

2.1. Phương pháp chung 270

2.2 . P h ư ơn g p h áp O s t r o g r a d s k i 27 1

BÀI TẬP 271

§3. Tích phân các hàm vô tỷ và lượng giác 286

m r 1 2 8 6

„ , _ _ r fax + b V fax + b V 3 .1 . D ạ n g I = Í R X, ---- -— , ----— dx

J l^cx + d j ^cx + d j

3.2 . D ạ n g I = J x m(a + bxn)pdx (vi phân nhị t h ứ c ) 2 8 6

3.3 . D ạ n g I = |R (x ,V a x 2 +b x +c)dx

3.4. D ạng I = |R(sinxcos x)dx 288

3.5 . D ạ a g I = j sinv Xcos“ xdx 288

BÀI TẬP 289

Chương 5. T ÍC H P H Â N XÁC Đ ỊN H 314

§1. Khái niệm cơ bản 3 1 4

1.1. Định nghĩa 3 1 4

1.2. Điều kiện khả tích 3 1 4

1.3. Ý n g h ĩ a h ìn h h ọ c và cơ học 3 1 5

1.4. Tính chất 3 Ị 5

BÀI TẬP 316

§ 2 . Đ ạ o h à m th eo c ậ n - C ô n g thức N e w t o n - L e i b n i z - 329

Các phương pháp tính cơ bản

2.1. Đạo hàm theo cận trên 329

8

2.2 . C ô n g thứ c N e w t o n - L e i b n i z 329

2.3. Phương pháp tích phân từng phần 330

2.4. Phương pháp dổi biến sô 330

BÀI TẬP 331

§3. Áp dụng của tích phân

3.1. Tính diên tích phảng 351

3.2. Tính dộ dài đường cong 352

3.3. Tính thể tích 353

3.4. Tính diện tích mạt tròn xoay 354

BÀI TẬP 355

§4. Tích phân suy rộng 390

4.1. Định nghĩa 390

4 . 2 . T i ê u c h u ẩ n h ội tụ c ủ a tích p h â n suy r ộ n g l o ạ i 1 391

4.3. T iêu ch u ẩ n hội tụ của tích phân suy rộng loại 2 392

BÀI TẬP 393

Chương 6. HÀM s ố NHIỀU BIẾN 410

§ 1. K h ô n g g i a n v e c t e u r n c h i ề u R n 4 1 0

1.1. Định nghĩa. 410

1.2. T ậ p h ợp inở và đ ó n g t ro n g R n. 4 1 0

§ 2 . K h á i n i ệ m c ơ b ản - Đ ạ o h àm và vi p h â n c ủ a h àm 411

nhiều biến

2.1. Đ ịnh ng h ĩa 41 1

2 . 2 ệ G i ớ i h ạ n và liên tục 412

2.3. Đạo hàm riêng. 412

2.4 . Sự k h ả vi - vi p h â n to àn p h ần 41 3

2.5. Đạo hàm của hàm hợp 413

♦

\)

2.6. Đạo hàm của hàm ẩn 414

2.7. Đạo hàm và vi phân cấp cao 414

BÀI TẬP 415

§3. Công thức T a y lo r - Cực trị

3.1. Công thức Taylor 444

3.2. Đ ịnh n g h ĩa cực trị - Đ iều kiện cần 445

3.4. Cực trị của hàm ẩn 446

3.5. Cực trị có điều kiện 446

3.6. Bài toán tìm giá trị lớn (bé) nhất 447

BÀI TẬP 447

Phụ c h ư ơ n g . C Á C ĐỀ T H I G I Ả I T Í C H H Ọ C KỲ I 4 8 0

2002 - 20 0 5 C Ủ A Đ Ạ I H Ọ C B Á C H K H O A

Tài liệu tham khdo 535

10

CHUONG 1

SỐ THỰC - GIỚI HẠN CỦA DÃY s ố THựC • • ẵ

§1. KHÁI NIỆM C ơ BẢN

1.1. Ký hiệu logique

Xét A, B, c, ... là các mệnh dề toán học:

A (không A) (m ệnh để phủ định của A)

A & B (A và B) ( m ệ n h dề hộ i)

A V B (A h o ặ c B) ( m ệ n h đề t u y ể n )

A => B (A k é o t h e o B, n ế u A thì B, ...) ( m ệ n h để kéo t h e o ,

điểu kiện đề)

A <=> B (A t ư ơ n g d ư ơ n g với B: A => B & B => A) ( m ệ n h dề

tương đương)

Vx P(x) (với mọi X, P(x)) (mệnh để khái quát)

3x P(x) (tồn tại hay có một X, P(x)) (mệnh để tồn tại)

A « A (quy luật phủ định của phủ định)

(A => B . B => C) => (A => C) (q u y luật b ác c ầ u )

A => B c=> B => A (q u y luật phản đảo )

Vx p(x) <=> 3x p(x)

3x p(x) Vx p(x)

(quy luật đối ngẫu)

11

1.2. Tập họp: A, B ,...

X e A (x e A) (x t h u ộ c A (X k h ô n g th u ộ c A ))

x: phần tử của A

A c B (A b a o h à m tiOng B: X e A => X e B)

A = B (A b à n g B: A c B & B c A)

A ^ B (A hợp B:xeA^Bc=>xeAvxeB)

A r> B (A g i a o B:xeAoB<=>xeA&xeB)

A \ B (A t rừ B: X e A & X e B)

A c = X \ A (p h ầ n bù c ủ a A ), X: tập cố định

A = A, . A 2 ... A n (tập h ợp tích: ( x , , x 2, x n) € A <=> X,

e A , , X, e A , , x n e A n). A: tích D e c a r t e s .

0: tập hợp trống (rỗng)

1.3. Ánh xạ

f : X —» Y

(q uy lu ậ t tư ơng ứng: Vx e X, ứng vói m ộ t p h ầ n tử d u y n h ấ t y

e Y)

y = f( x) (ảnh củ a X £ X q u a ánh xạ f)

f : đ ơn án h ( t o à n án h ) (p hư ơ n g trìn h f(x) = y, Vy 6 Y có

nhiều nhất một nghiệm (có nghiệm) trong X.

f : s o n g á n h (vừa là đơn án h vừa là to àn án h ) .

f ' 1 : X = f ‘(y) (ánh xạ ngược)

f . g : z = g [ f ( x ) ] (á n h xạ hợp).

1.4. Phưong pháp quy nạp toán học

C h o m ệ n h dề p p h ụ th u ộ c n : n e N = { 1, 2, 3, n,

Nếu P(l) đúng và từ giả thiết P(n) đúng ta chứng minh đươc

P(n+1) đúng thì P(n) đúng Vn € N.

12

1.5. Nhị thức Newton

n! = 1 . 2 . 3 ... n (n giai thừ a hay giai th ừ a n, n G N).

A nk = n (n - 1 )(n - 2) ... (n - k + 1) (số c h ỉ n h hợp k h ô n g lặp

c h ậ p k c ủ a n p h ầ n tử, Itiỗi c h ỉ n h hợp k h ô n g lạp c h ậ p k củ a n phần

tử là m ỗ i n h ó m k p h ần tử lấy từ n p hần tử đó sao ch o các n h ó m

đó khác nhau vì bản thân các phần tử hoặc vì thứ tự các phần tử

và mỗi phần tử có mạt không quá một lần trong mỗi nhóm đó).

A k C* = —— (s ô tổ hơp c h â p k c ủ a n p h ầ n tử, m ỗ i tổ h ơp c h â p k

n!

của 11 phần tử là một ch ỉn h hợp không lặp chập k của n phần tử

không kể thứ tự).

0! = 1 ( q u y ư ớ c ),

V = n! ■

n ( n - k ) ì k! (n - k)ì

c ° =C" = 1

CÏ = c r k

k-1 I k _ /--1 k

n-1 * ~ n - l - n

Nhị thức Newton:

(X + a)" = ¿ c knx n- ka k = c ° x n + c l x

k=0

ă~n ẵa + ... +

+ c„kx n"ka k + . . . + C " a n

1.6. Đẳng thức và bất đang thức cần dùng

n -, n(n + l) 1°) 1 + 2 + 3 + ... + n = —v '

2

n .2 -.2 2 n(ll + 1X211 + 1)

2°) I + 2- + ... + n =

6

13

4°)

5°)

6°)

7°)

8°)

9°)

10°)

3°)

11°)

1 2 °)

s-> ^ J x ìx 2. . x a (Cauchy)

l 3 + 2 3 + ... + n 3 = (1 + 2 + ... + n ) 2

X, + x 2 +... + X

11 Ỹ ( n V _5_ ^

¿ x , y B < ¿ X ?

V 1=1 / V i=l / \ 1=1 / i=l ) \ i=l J\>= I

X,, y 4: tuỳ ý ( C a u c h y - B o u n i a k o v s k i )

(1 + x , ) ( l + x 2) ... (1 + x n) > 1 + X, + x 2 + ... + XD

X, cùng dấu, >-l(Bernoulli)

(1 + x ) D > 1 + nx, n > 1, X > -1

/ \

n

n

n + 1

n

< n! < n > 1

l 2 J

s i n ^ x , < ^ s i n x , , 0 < X, < 71, i = 1, 2, n

Í=1 Í=1 ^

sinx + sin2x + ... + sinnx =

. n +1 . n

sin------ x s i n —X

2 2

. X sin —

2

cosx + cos2x + ... + cosnx =

n + 1 n

cos— — x.sin —X

2 2

. X sin —

2

1 „ _ sin(2n + l)x — 4- c o s 2 x + ... + co s 2 n x = — — -----—

2 2 sin X

BÀI TẬP

1. Bàng phương pháp qu\ nạp, chứng minh:

1) n n+l > (n + 1)" n > 3

14

2) X! . x 2 ... x n = 1 => X| + x ; + ... x n > n

X, > 0 , i = 1 , 2 ............ n

3) 5 . 2 3n'2 + 3 3- 1 c h i a hết ch o 19

1 1 1 n

4) SD = a r c t g —+ a r c t g — + ... + a r c t g - ^ - = a r c t g

2 8 2n n + 1

B ài giải

1) n = 3: 3-,+1 > (3 + l ) 3 đ ú n g

G iả sử: n ntl > (n + 1)" đ ú n g , n h â n hai vế bất đ ả n g thức này

(n + l)n+2 với ------—— ta được: n-t-1 n n+l

(n + l ) n+- >

n “

ỵ(n+l)

% n+1

2(n+l)

n+1

mặt khác: ^ ------ > (n + 2 )D+1, vì

n ”Ỷ|

(n + l ) 2ln + " - n D+l(n + 2 ) n+1 =

= ( n 2 + 2n + l ) n+l - ( n 2 + 2 n ) n+l > 0

Vậ y (n + l ) n+- > (n + 2 ) n+'

2 ) n = 1, t ừ X, = 1, ta c ó X, > 1: d ú n g

G iả sử đ iều k hảng định đúng với n = k.

X c t XỊ, X x k, X^+Ị ^ 0 V íì X, . X, ... Xj. . x k+1 — 1.

Có thể xảy ra hai trường hợp: hoặc X, = x : = ... x k = x k+1 = 1

khi đó: X, + X; + ... + x k + x k+| > k + 1 là đ ú n g , hoặc tr o n « các sô

dó có m ộ t sô k h á c 1, c h ả n g h ạ n x k > 1 khi dó phải có ít n h ấ t m r t

sô khác , ch ảng hạn: x k+| < 1.

Bây giờ xét k số:

X,, x : , x k.,, x k.x k + 1

Theo giả thiết quy nạp:

Do đó:

X| + x 2 + . . . + x k + x k+l > k - x kx k+v + x k + x k+1

“ k + 1 + x k( 1 - Xk+|) - (1 ■ x k+l)

= k + 1 + ( x k - 1)(1 - x k+i) > k + 1

(Chú ý: Dấu = chỉ xảy ra khi và chỉ khi X| = x 2 = ... = x n = 1).

3) n = 1: 5 . 2 3 12 + 3 3 Ễ-1 = 10 + 9 = 1 9 : đ ú n g

G i ả sử n = k: 5 . 2 3k'2 + 33k l chia hết cho 19. Khi đó:

5. 2 3(k+1)-2 + 3 3<k+ễ,‘1 = 8.5. 2 3k' 2 + 27 . 3 3k l

= 8(5 . 2 3k' 2 + 3 3k l) + 19 . 3 Jk l, th e o giả th i ế t q uy

nạp, tổng này chia hết cho 19.

X, + x 2 + ... + x k., + x kx k+i £ k

4) n = 1: s, = a r c t g —ỉ— = a r c t g —: đ ú n g

1 + 1 2

G i ả sử Sn = a r c t g : đ ú n g

n +1

Xé t Sn+| = a r c t g — + a r c t g

1

n + 1 2(n + l)2

n 1

n + 1 2(n + 1)2

= arctg ------------—------— = arctg

n 1

n + 1’ 2(n + 1)2

II +1

1 - - - n+2

a + b X (arctga + arctgb = a rc tg --------)

1 - a b

Vậy công thức đúng Vn 6 N.

2. Chứng minh

X, + x , + ... + X I---------------

1) —------—---------- > ! ự x , . x : ..jín , X, > 0

16