Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Ii

ThS. NGUYỄN THỊ LỤC (Chủ biên)

KS. THÂN VĂN NGỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017

SøC BÒN VËT LIÖU II

1

THS. NGUYỄN THỊ LỤC, KS. THÂN VĂN NGỌC

BÀI GIẢNG

SỨC BỀN VẬT LIỆU II

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017

2

3

LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay, các ngành công trình giao thông và cơ khí phải giải quyết nhiều

bài toán cơ học phức tạp, đòi hỏi các kĩ sư phải biết nhiều kiến thức rộng hơn,

nhìn nhận và giải quyết những bài toán phức tạp có liên quan đến kiến thức đàn

hồi, lí thuyết dẻo… Các đối tượng nghiên cứu ngoài những thanh thẳng được đề

cập trong bài giảng Sức bền vật liệu 1, chúng ta còn gặp những vật thể đàn hồi

khác như: các thanh cong, thanh hay dầm làm việc ngoài miền đàn hồi, dầm trên

nền đàn hồi... Mỗi vấn đề là một chuyên đề sẽ được nghiên cứu trong quyển bài

giảng Sức bền vật liệu 2. Trong môn học Sức bền vật liệu 2 cũng đề cập đến những

vấn đề trên ở một khối lượng nhất định để trình bày những kiến thức cơ bản và

tối thiểu nhằm giúp các bạn sinh viên có thể tìm hiểu các vấn đề đó mà trong quá

trình học tập và trong công tác có thể gặp phải.

Trong quá trình biên soạn bài giảng này đã nhận được sự giúp đỡ tận tình

của các giảng viên trong Bộ môn và trong Khoa để chúng tôi có thể hoàn thiện

bài giảng, dù có cố gắng vẫn không tránh khỏi những thiếu sót về nội dung cũng

như hình thức, rất mong nhận được sự đóng góp của quý độc giả theo địa chỉ Bộ

môn Cơ sở kỹ thuật Khoa Cơ điện và Công trình.

Xin chân thành cảm ơn!

Nhóm tác giả

4

5

Chương 1

UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI

1.1. Khái niệm chung

Trong môn sức bền vật liệu 1, khi nghiên cứu thanh chịu lực phức tạp phần

thanh bị uốn ngang và kéo (nén) đồng thời, ta đã giả thiết biến dạng do các tác

dụng thành phần gây ra là bé, vì vậy các tác dụng được coi là độc lập, không ảnh

hưởng lẫn nhau. Do đó, giả thiết này ta đã có thể áp dụng phương pháp cộng tác

dụng. Trong thực tế, khi thanh bị uốn ngang đồng thời bị kéo (nén) có biến dạng

lớn (do thanh có độ mảnh lớn) thì hai tác dụng ảnh hưởng lẫn nhau, vì vậy không

thể áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng tức là nguyên lý cộng tác dụng được áp

dụng để tính trong bài toán này.

Do đó, khi tính độ cong của thanh bị uốn ta phải xét thêm ảnh hưởng của

lực kéo (nén) khi tính toán mômen uốn và lực cắt.

Ở chương này, chúng ta nghiên cứu thanh có độ mảnh tương đối lớn chịu

uốn ngang phẳng và chịu nén đúng tâm ở đầu thanh, gọi là uốn ngang và uốn dọc

đồng thời. Nếu uốn ngang làm cho thanh bị uốn cong về một phía nào đó thì lực

nén ở đầu thanh tạo mômen phụ làm tăng thêm mômen uốn ở các mặt cắt ngang.

Điều này làm thanh chịu lực bất lợi hơn so với trường hợp giả thiết thanh vẫn

thẳng. Trái lại, nếu lực ở đầu thanh là lực kéo thì mômen phụ lại làm giảm mômen

do uốn ngang. Chính vì vậy, ở chương này ta chỉ quan tâm đến trường hợp lực ở

đầu thanh là lực nén.

Như vậy, thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời là thanh chịu tác dụng

của các thành phần gây ra uốn theo phương vuông góc với trục thanh và thành

phần gây ra uốn dọc trục thể hiện như trên hình 1.1a.

1

1

y

y

z

0 A

A'

A

O

H×nh 1.1

R1

B

P

a)

b)

R2 R3

R1

B

P

l

R2 R3

Hình 1.1. Dầm chịu uốn ngang uốn dọc đồng thời

6

1.2. Các thành phần nội lực của thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời

Giải sử ta có một thanh AB chịu uốn ngang do các lực ngang R1, R2, R3 và

uốn dọc P đồng thời chịu lực như hình 1.1a. Dưới tác dụng của các lực làm cho

thanh AB biến dạng, đến lúc nào đó thanh sẽ ở vị trí cân bằng mỗi đường cong A/

B thể hiện độ võng.

Để xác định nội lực ta dùng phương pháp mặt cắt, xét mặt cắt (1.1) như

hình 1.1b, viết phương trình cân bằng tại điểm tâm O của mặt cắt ta có:

1 1

0

( ) 1 0 1 0

0

0

. ( ) 0 . ( )

z z z

y y y

F x z x z

F N P N P

F Q Q

M M R z P y y M R z P y y

R R

     

  

        

 

 

    

   

(1.1)

Trong đó:

-

0

y

là độ võng ban đầu tại đầu tự do, do các lực dọc và lực ngang gây ra;

- yz là độ võng tại mặt cắt đang xét.

Đặt:

* M R z

x



1

.

Biểu thức mômen (1.1) có thể viết dưới dạng:

*

0

( ) M M P y y x x z

  

(1.2)

Với: -

* Mx

: Mômen uốn do thành phần lực ngang gây ra uốn ngang phẳng;

- Mx

: Mômen của cả hệ gồm lực dọc P và lực ngang Ri.

* Mx

trong vế phải của (1.2) là lượng mômen do lực ngang gây ra.

P y y  z  0 

là lượng mômen do lực dọc gây ra, lượng này tăng nhanh khi lực dọc và lực ngang

tăng, vì thế bài toán này được gọi là bài toán uốn ngang và uốn dọc đồng thời. Nó

có hai điểm khác trước đây:

1- Chuyển vị có ảnh hưởng đến trị số của nội lực (vì nó làm dời chuyển

điểm đặt lực khá lớn);

2- Nội lực không tỷ lệ bậc nhất với ngoại lực vì y(z) là hàm của P và R1, R2, R3

nên số hạng thứ hai trong phương trình (1.2) không tỷ lệ bậc nhất với P được.

z Nz Mx

H×nh 1.2

R1

P

1

1

y

y

z

0 A'

A

O

z

Qy

Hình 1.2. Các thành phần nội lực trên mặt

cắt

7

Một cách chặt chẽ hơn, ta nói lực dọc ở các mặt cắt không còn là không đổi

và bằng lực P nữa vì mọi mặt cắt đã xoay đi. Tuy vậy, lực dọc tính một cách chính

xác không sai nhiều so với P nên người ta vẫn xem lực dọc là bằng giá trị lực P:

N P z

  .

Trên mỗi mặt cắt, ứng suất pháp do lực dọc NZ và mômen uốn M(z) gây ra

có giá trị tuyệt đối lớn nhất tại thớ biên chịu nén bằng:

max 

z x x

z

x x

N M P M

F W F W

      (1.3)

Hay:

 

 

*

0

[ ]

max z x x z

z

x x

N M P M P y y

F W F W



 

     (1.4)

Chú ý: Người ta chỉ tính uốn ngang và uốn dọc đồng thời khi dầm dài có tỷ

số l/h > 12 (với h là chiều cao mặt cắt ngang của dầm, l là chiều dài).

Như vậy, uốn ngang uốn dọc đồng thời trong bài toán phẳng trong mặt

phẳng (zOy) có 3 thành phần nội lực: Mx, Qy, Nz.

1.3. Phương trình vi phân đường đàn hồi của thanh chịu uốn ngang và uốn

dọc đồng thời

Như đã giới thiệu ở chương thanh chịu uốn đường đàn hồi là đường cong

của dầm sau khi bị ngoại lực tác dụng nó có dạng như hình 1.3 và có phương trình

như sau:

,,

.

Mx

y

E Jx

 

Thay biểu thức (1.2) ta được:

*

0 ,, ( )

. .

x x z

x x

M M P y y

y

E J E J

 

    (1.5)

Ta thành lập phương trình vi phân của mômen uốn bằng cách đạo hàm hai

lần liên tiếp phương trình (1.2) ta được:

2 2 * 2

2 2 2

d M d M d y x x z P

dz dz dz

  (1.6)

Trong chương uốn ta có mối liên hệ vi phân giữa lực phân bố, lực cắt và

mômen như sau:

2

2

x

x

d y M

dz EJ

 

và

2

2

z

d M

q

dz



 . (1.7)

l

R2

§-êng ®µn håi

A B

Hình 1.3. Đường đàn h

H×nh 1.3

ồi của dầm

8

Thay (1.6) vào (1.7), ta được:

2

2

x

x

x

d M P

q M

dz EJ

  . (1.8)

Đặt:

2

x

P

EJ

 

 Phương trình (1.8) có thể được viết lại:

2

2

2

.

x

x

d M M q

dz

   .

Hay:

2 ''

EJ

( )

.

x

IV q z

y y     . (1.9)

Công thức (1.9) là phương trình vi phân không thuần nhất của thanh chịu

uốn ngang và uốn dọc đông thời. Nghiệm của phương trình có hai nghiệm phân

biệt:

*

z z

y y y   . (1.10)

Trong đó:

- .sin .cos z

z

y A z B z C D      

là nghiệm phương trình thuần nhất;

-

*

z

y

là nghiệm riêng của phương trình có vế phải.

1.4. Tính độ võng của thanh chịu uốn ngang uốn dọc đồng thời bằng phương

pháp gần đúng

Giả sử có hai dầm giống nhau đặt trên hai gối tựa, có chiều dài l và chịu tải

trọng đối xứng. Một dầm chỉ chịu tải trọng các lực ngang (hình 1.4a) và một dầm

ngoài lực ngang còn có thêm lực dọc P tác dụng vào đầu khớp di động (hình 1.4b).

Đường đàn hồi của hai dầm có tính chất đối xứng và có thể xem dạng

đường đàn hồi là hình sin. Do đó, phương trình đường đàn hồi của hai dầm được

lập dưới đây.

Dầm a Dầm b

- Phương trình vi phân:

2

*// *

2

sin( )z

y f

l l

 

 

- Mômen:

*

2

2

*

2

2

*

. .

.

x x

.sin z x z EJ y

l

f

l

z

EJ

l

M

  

 

- Phương trình vi phân:

sin( )

2

2

//

l

z

l

y f 



 

- Mômen:

x x x z EJ y

l

f

l

z

EJ

l

M . .

.

.sin 2

2

2

2

  

 

l

q

f * A B

P

H×nh 1.4

b)

l

q

f * A B

a)

Hình 1.4. Độ võng của dầm chịu uốn

9

Mà

*

. M M P y x x z

  .

→

2 2

*

2 2 . . . M EJ y EJ y P y x x z x z z l l

 

  

→

*

2

2

1

.

z

z

x

y

y

P

EJ

l







.

Ta thấy biểu thức

2

2

.

x

th

EJ P

l





là biểu thức ơle đã gặp trong chương uốn dọc

thanh thẳng nên ta có:

*

1

z

z

th

y

y

P

p





. (1.11)

Vậy biểu thức (1.11) là công thức xác định chuyển vị của hệ thanh chịu uốn

ngang và uốn dọc đồng thời.

Trong đó:

+ y*z: Độ võng do lực ngang R gây ra uốn ngang. Được xác định trong môn

sức bền vật liệu 1 (phương pháp tích phân, phương pháp năng lượng…);

+ P là lực dọc trục;

+

2

2

( . )

x

th

EJ P

l







: Lực tới hạn trong công thức ơle về ổn định của thanh chịu

nén đúng tâm.

Chú ý: Nếu thay đổi dạng liên kết 2 đầu thanh thì các hệ số tính ở chương

ổn định SB1.

Ở đây ta cần phân biệt sự khác nhau giữa lực tới hạn P0

th trong uốn dọc (ổn

định) với lực tới hạn Pth trong uốn ngang và uốn dọc đồng thời.

Lực tới hạn trong thanh chịu nén đúng tâm P0

th trong ổn định được tính theo

Jmin (mặt cắt có mômen quán tính nhỏ nhất).

H×nh 1.5    

P P P P

Hình 1.5. Các dạng liên giữa hai đầu thanh và hệ số liện kết

10

Còn lực tới hạn trong thanh chịu uốn ngang và uốn dọc Pth được tính theo

mặt có chứa mômen. Thí dụ: Nếu MX(z) nằm trong mặt phẳng yOz thì ta dùng

mômen quán tính đối với trục Ox là Jx.

1.5. Ứng suất và bài toán kiểm tra bền

1.5.1. Công thức tính ứng suất

Từ công thức (1.2) thay vào biểu thức (1.3) ta có một cách tính ứng suất:

 

*

x x z 0

max

x x

P M P M P y y

F W F W



 

      (1.12)

Công thức (1.12) công thức xác định ứng suất thông qua việc xác định Mx

theo phương pháp mặt cắt đã nói ở trên, ta gọi là phương pháp gần đúng thứ nhất.

Mà ta có:

*

1

z

z

th

y

y

P

p





. (1.13)

Lấy đạo hàm hai vế của phương trình (1.13) nhân vào 2 vế với một lượng

(-EJx) ta được:

*,,

,, ( )

1

z

x z x

th

y

EJ y EJ P

P

  



.

Theo phương trình vi phân đường đàn hồi thì ta được:

*

1

x

x

th

M

M

P

p





(1.14)

Theo công thức (1.2) (phương pháp gần đúng 1) ta có:

*

0

( ) M M P y y x x z

  

Đạo hàm (1.10), ta được công thức gần đúng để tính lực cắt Q(z)

*

1

x y

y y

th

dM Q

Q Q

dz P

P

  



(1.15)

Thay biểu thức (1.10) vào biểu thức (1.2) trên ta có thể tính ứng suất:

*

1

1

x x

max

x x

th

P M P M

F W F W P

P



   

          

   

(1.16)

Công thức (1.16) xác định ứng suất thông qua việc xác định Mx theo

phương trình của độ võng, ta gọi là phương pháp gần đúng thứ hai.

11

1.5.2. Điều kiện bền

Để kiểm tra bền cho thanh chịu uốn ngang uốn dọc đồng thời ta cũng so

sánh giữa ứng suất lớn nhất tính được trong thanh với ứng suất cho phép của vật

liệu theo biểu thức (1.17) như sau:

   max    0

(1.17)

Từ hai cách tính ứng suất theo phương pháp như trên ta có hai phương pháp

so sánh:

- Theo phương pháp gần đúng thứ nhất:

 

 

*

max x x z 0

x x

P M P M P y y

F W F W

 

 

    

           

(1.18)

- Theo phương pháp gần đúng thứ hai:

 

max max

*

1

1

x

x

th

P M

F W P

P

    



           

(1.19)

Khi bài toán có xét đến hệ số an toàn n (hệ số tải trọng) thì công thức kiểm

tra bền có dạng:

- Theo phương pháp gần đúng thứ nhất:

 

*

max * . max

max .

1

z

x

x

th

nP n n y

M P

F W P

n

P

     



           

(1.20)

- Theo phương pháp gần đúng thứ hai:

 

*

max max

1

X

x

th

nP n M

F W P

n

P

    



           

(1.21)

1.5.3. Các bài toán

Cũng giống như trong các bài toán thanh chịu kéo (nén) đúng tâm hay thanh

chịu uốn thuần túy thì ta cũng có 4 dạng bài toán chính như sau:

- Bài toán kiểm tra bền;

- Bài toán chọn kích thước mặt cắt;

- Bài toán xác định hệ số tải trọng cho phép (n);

- Bài toán tìm tải trọng.

Sau đây là một số ví dụ điển hình để biết cách vận dụng công thức và tính toán:

12

1.6. Ví dụ

Ví dụ 1.1:Cho dầm có tiết diện mặt cắt ngang là hình vuông, chịu tác dụng

của lực như hình 1.6a. Cho E = 104

, Mpa = 103 kN/cm2

..Hãy xác định độ võng tại

C và xác định ứng suất lớn nhất trong dầm?

Bài giải:

1. Xác định độ võng tại C

Để xác định độ võng tại C ta áp dụng công thức (1.11):

th p

P

C yz C

z

y





1

( )

*

- Tìm các thông số với:

+ Mômen quán tính đối với trục ox:

 

3 4

4

. 8,5 435,0052

12 12 x y

b h J J cm    

+ Mômen chống uốn của mặt cắt ngang:

435,0052 102,35

/2 8,5/2

x

x

J

W

h

  

(cm)

H×nh 1.6

A a=1,4m B

R=0,48kN

b=2,5m

P=10kN

8,5cm 8,5cm

0,17kN 0,31kN

(MR)

0,43kN.m

(Mk

)

0,987kN.m

Pk=1®v

Hình 1.6. Biểu đồ mô men uốn tính chuyển vị