Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
bài giảng hình học 12
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
NGUYỄN TÀI CHUNG
BÀI GIẢNG HÌNH HỌC 12
Mục lục
Lời nói đầu 3
1 Khối đa diện và thể tích của chúng 4
1.1 Khái niệm về khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện . 4
1.3 Phép vị tự và sự đồng dạng của các khối đa diện. Các khối đa diện đều 4
1.4 Thể tích của khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Tóm tắt lí thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Một số hệ thức lượng trong tam giác thường dùng. . . . . . . . 5
1.4.3 Một số dạng toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.4 Bài tập ôn-luyện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón 28
2.1 Mặt cầu, khối cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Tóm tắt lí thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Một số dạng toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3 Bài tập ôn luyện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Khái niệm về mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Mặt trụ, hình trụ và khối trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Mặt nón, hình nón và khối nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Phương pháp tọa độ trong không gian 40
3.1 Hệ tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.1 Tóm tắt lí thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.2 Một số dạng toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.3 Bài tập ôn-luyện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 Tóm tắt lí thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1
MỤC LỤC MỤC LỤC
3.2.2 Một số dạng toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.3 Bài tập ôn luyện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Phương trình đường thẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.2 Một số dạng toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.3 Bài tập ôn luyện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 Một số bài toán cực trị trong không gian Oxyz. . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải toán hình học
không gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.1 Tóm tắt lí thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.2 Một số bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2
Lời nói đầu
Đây là tập bài giảng Hình học 12 mà tôi đã giảng dạy cho các em học sinh lớp 12 theo
học chương trình nâng cao và luyện thi Đại học trong năm học 2008-2009 và năm học
2009-2010. Tập bài giảng này được soạn theo cấu trúc của Sách giáo khoa Hình học 12
chương trình nâng cao, có đôi khi thay đổi chút ít cho hợp lí hơn. Do đó các em học
sinh cũng như các thầy cô giáo dạy toán có thể sử dụng tài liệu này theo đúng như trình
tự trong sách giáo khoa, theo phân phối chương trình. Phần lí thuyết trình bày ngắn
gọn nhưng đủ dùng, phần bài tập được phân loại theo phương pháp giải. Hệ thống bài
tập phong phú, được tuyển chọn từ các đề thi Đại học và các đề Dự bị Đại học trong
những năm gần đây và đề thi Đại học năm 2010 vừa rồi.
Tập bài giảng Hình học 12 này có 3 chương. Chương 1 viết về Khối đa diện và thể
tích của chúng. Chương 2 viết về Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón. Chương 1 và chương 2
sẽ nằm trong đề thi Đại học ở câu IV (phần Chung) chiếm 1 điểm. Chương 3 viết về
Phương pháp toạ độ trong không gian. Chương 3 sẽ nằm trong đề thi Đại học ở cả hai
câu, đó là câu VIa2 (phần riêng chương trình chuẩn) chiếm 1 điểm và câu VIb2 (phần
riêng chương trình nâng cao) chiếm 1 điểm. Chú ý rằng nhiều khi bài toán ở câu IV
(bài toán hình học không gian tổng hợp) lại được giải bằng cách toạ độ hoá, thuộc kiến
thức của chương 3.
3
Chương 1
Khối đa diện và thể tích của chúng
1.1 Khái niệm về khối đa diện
1.2 Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các
khối đa diện
1.3 Phép vị tự và sự đồng dạng của các khối đa diện. Các khối
đa diện đều
4
Chương 1. Khối đa diện và thể tích của chúng. Nguyễn Tài Chung.
1.4 Thể tích của khối đa diện
1.4.1 Tóm tắt lí thuyết.
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật.
V = abc (a, b, c là các kích thước của khối hộp chữ nhật).
2. Thể tích của khối chóp.
V =
1
3
Sđáy.h (h là chiều cao của khối chóp).
3. Thể tích của khối lăng trụ.
V = Sđáy.h (h là chiều cao của khối lăng trụ).
Định nghĩa 1. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác
đều và các cạnh bên bằng nhau.
1.4.2 Một số hệ thức lượng trong tam giác thường dùng.
Định lí. Nếu tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, trung tuyến AM thì ta
có các hệ thức sau
(1) AM =
1
2
BC ; (2) BC2 = AB2 + AC2
;
(3) AH2 = BH.HC ;
(4) AB2 = BH.BC (AC2 = CH.CB) ;
(5) AH.BC = AB.AC (= 2S∆ABC) ;
(6) 1
AH2
=
1
AB2
+
1
AC2
.
Định lí đảo. Nếu tam giác ABC có đường cao AH với H thuộc cạnh BC ; trung
tuyến AM và thoả mãn một trong sáu hệ thức trên thì tam giác đó vuông tại A.
Định lí côsin trong tam giác. Trong ∆ABC với BC = a, AC = b, AB = c ta có
a
2 = b
2 + c
2 − 2bc cos A ; b
2 = c
2 + a
2 − 2ca cos B ; c
2 = a
2 + b
2 − 2ab cos C.
.
1.4.3 Một số dạng toán.
Dạng 1. Tính thể tích của khối đa diện.
Phương pháp.
• Dựa vào yêu cầu bài toán và các công thức ở phần tóm tắt lí thuyết để lập công thức.
• Tính các đại lượng chưa biết trong công thức.
• Thêm bớt các khối đa diện để áp dụng công thức.
1.4. Thể tích của khối đa diện 5
Chương 1. Khối đa diện và thể tích của chúng. Nguyễn Tài Chung.
Bài tập 1 (Tốt nghiệp THPT-2009-Phần Chung). Cho hình chóp S.ABC có mặt
bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
BAC [ = 1200
, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Giải. Hình chiếu của SB và SC trên (ABC) là AB
và AC, mà SB = SC nên AB = AC. Ta có
BC2 = 2AB2 − 2AB2
cos 1200
⇔ a
2 = 3AB2 ⇔ AB =
a
√
3
.
SA2 = a
2 −
a
2
3
⇒ SA =
a
√
2
√
3
.
S∆ABC =
1
2
AB.AC.sin1200 =
1
2
a
2
3
√
3
2
=
a
2
√
3
12
.
V =
1
3
a
√
2
√
3
a
2
√
3
12
=
a
3
√
2
36
(đvtt).
Bài tập 2 (Tốt nghiệp THPT 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBD)
và mặt phẳng đáy bằng 600
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Đáp số.
Giải. Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên VS.ABCD =
1
3
SA.SABCD =
a
2
3
.SA. Gọi
O là giao điểm của AC và BD. Khi đó
BD⊥SA
BD⊥AO ⇒ BD⊥SO.
Ta có
(SBD) ∩ (ABCD) = BD
AO ⊂ (ABCD), AO⊥BD
SO ⊂ (SBD), SO⊥BD.
Suy ra góc giữa mặt
phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy là SOA [ = 600
. Xét tam
giác vuông SAO, ta có tan SOA [ =
SA
AO. Suy ra
SA = AO.tan 600 =
AC
2
.
√
3 =
a
√
6
2
.
Vậy VS.ABCD =
1
3
SA.SABCD =
a
2
3
.SA =
a
2
3
.
a
√
6
2
=
a
3
√
6
6
.
Bài tập 3. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C
0
có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a
và A0A = A0B = A0C = 2a. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C
0
.
Giải. Gọi O là hình chiếu vuông góc của A0
trên (ABC). Vì A0A = A0B = A0C
1.4. Thể tích của khối đa diện 6
Chương 1. Khối đa diện và thể tích của chúng. Nguyễn Tài Chung.
nên các tam giác vuông A0OA, A0OB, A0OC bằng
nhau. Do đó OA = OB = OC, hay O là tâm
của tam giác đều ABC. Gọi J là trung điểm BC,
ta có OA =
2
3
AJ =
a
√
3
3
. Vì A0O⊥(ABC) nên
∆A
0AO vuông tại O. Do đó ta có
A0O2 = A0A2 − OA2 =
11a
2
3
.
Suy ra A0O =
a
√
11
√
3
. Thể tích khối lăng trụ là
V = S∆ABC.A0O =
a
2
√
3
4
.
a
√
11
√
3
=
a
3
√
11
4
.
Bài tập 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a,
AD = 2a và ABC [ = 600
. Biết SA⊥(ABCD) và SC = 2a. Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABCD.
Giải. Ta có BC = 2a. Sử dụng định lí Côsin vào ∆ABC
ta có
AC2 = AB2 + BC2 − 2AB.BC. cos 600 = 5a
2 − 2a
2 = 3a
2
.
Suy ra AC = a
√
3. Vì SA⊥(ABCD) nên ∆SAC vuông tại
A. Do đó
SA2 = SC2 − AC2 = a
2 ⇒ SA = a.
Thể tích khối chóp là
V =
1
3
.SABCD.SA =
1
3
.2SABC.a =
2
3
.
1
2
.BA.BC.sin600
.a =
1
3
.2a
3
.
√
3
2
=
a
3
√
3
3
.
Bài tập 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đường cao SO =
a
√
6
3
, các cạnh bên
hợp với mặt đáy (ABC) những góc bằng nhau là α sao cho sin α =
√
6
3
.
a) Chứng minh rằng S.ABC là tứ diện đều.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của tứ diện đó.
Đáp số. Stp = a
2
√
3, VSABC =
a
3
√
2
12
.
Giải.
a) Theo giả thiết có ∆ABC là tam giác đều và SA = SB = SC. Ta có OA, OB, OC là
1.4. Thể tích của khối đa diện 7