B-Splines và ứng dụng trong thiết kế hình học

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM HỒNG QUÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên - 2015

B-SPLINES VÀ ỨNG DỤNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM HỒNG QUÂN

B-SPLINES VÀ ỨNG DỤNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC

Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH

Mã số: 60 48 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC

GS-TS. ĐẶNG QUANG Á

Thái Nguyên - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

3

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Công nghệ thông tin ngày càng phát triển và đồ họa máy tính là một

lĩnh vực công nghệ phát triển rất nhanh. Đồ họa đã đƣợc áp dụng rộng rãi

trong nhiều lĩnh vực khác nhau từ khoa học, công nghệ, y tế, kỹ thuật đến giải

trí...

Đồ họa máy tính phát triển dựa trên các kết quả của hình học họa hình,

hình học vi phân cùng với nhiều kết quả toán học khác đặc biệt bao gồm đại

số và giải tích. Hiện nay, với sự phát triển của phần cứng máy tính, đồ họa

cũng phát triển nhanh hơn, tuy vậy nền tảng của nó vẫn là cơ sở mô hình hóa

hình học. Có nhiều bài toán đặt ra trong đồ họa máy tính. Một trong

những bài toán cơ bản của nó là xử lý các đƣờng cong và mặt cong.

B-splines là một dạng đƣờng cong và mặt cong trong mô hình hóa hình

học đã đƣợc nhiều tác giả trên thế giới nghiên cứu.

Đề tài này tìm hiểu về B-splines và xây dựng một ứng dụng trong bài

toán thiết kế hình học. Đây là việc làm có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.

2. Đối tƣợng nghiên cứu

Cơ sở mô hình hóa hình học, Phƣơng pháp sinh đƣờng cong và mặt

cong nhờ các điểm điều khiển, B -splines, Ứng dụng B- splines trong đồ

họa

3. Phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung tìm hiểu lý thuyết về splines, B-splines và ứng dụng.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

 Tìm hiểu các kiến thức cơ sở về hình học đƣờng cong và mặt cong, các

phép biến đổi tọa độ trong không gian 2D và 3D.

 Tìm hiểu lý thuyết về splines, B-splines sinh đƣờng cong và mặt cong

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

4

 Từ những kết quả lý thuyết B-splines xây dựng ứng dụng cho bài toán

trong thiết kế hình học 2D và 3D.

 Cài đặt thuật toán và ứng dụng.

5. Những nội dung nghiên cứu chính

 Tìm hiểu các kiến thức tổng quan về mô hình hóa hình học.

 Tìm hiểu lý thuyết đƣờng cong B-splines và mặt cong B-splines.

 Tìm hiểu về các bài toán dựng hình.

 Ứng dụng B-splines vào các bài toán mô hình hóa hình học.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Phƣơng pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến của các thầy cô trong lĩnh

vực đồ họa, đảm bảo toán học cho máy tính và hệ thống tính toán và các lĩnh

vực có liên quan.

- Thu thập, nghiên cứu tài liệu từ các giáo trình, bài báo, tạp chí, bài giảng.

- Phƣơng pháp thực nghiệm: Cài đặt ứng dụng bằng ngôn ngữ

MATLAB.

7. Ý nghĩa khoa học của đề tài

Kết quả nghiên cứu của đề tài là đƣa ra 1 ứng dụng cụ thể của B-splines

trong bài toán mô hình hóa hình học. Bên cạnh đó, đề tài cũng đã tổng hợp

đƣợc các kết quả nghiên cứu cơ bản của hình học vi phân và phép biến đổi

hình học sử dụng trong mô hình hóa hình học, đặc biệt là các kết quả về B￾splines.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

5

CHƢƠNG 1. LÝ THUYẾT MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC

Chƣơng này trình bày về các kết quả cơ bản của hình học vi phân và phép

biến đổi hình học đƣợc sử dụng trong mô hình hóa hình học. Lý thuyết

về đƣờng cong, mặt cong và các phép biến đổi tọa độ trong không gian 2D,

3D.

1.1. Cơ sở của mô hình hóa hình học

1. 1. 1. Các phép biến đổi hình học trong không gian 2D và 3D

Tất cả các phép biến hình trong ĐHMT và mô hình hóa hình học đều

dựa trên 3 hình thức biến đổi tọa độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ

lệ và quay [3].

Xét điểm P'(x', y') là vị trí của điểm P(x, y) sau phép biến đổi tọa độ. Tọa

độ (x', y') của điểm P' tƣơng ứng với vector dịch chuyển t(tx, ty) (Hình 1.1a),

hệ số tỷ lệ s(sx, sy) (Hình 1.1b); góc xoay θ ngƣợc chiều quay kim đồng hồ

(Hình 1.1c) đƣợc xác định nhƣ sau:

x' = x + tx; y' = y + ty (1.1)

x' = sxx; y' = syy (1.2)

x' = xcosθ – ysinθ; y' = xsinθ + ycosθ (1.3)

Hình 1.1: Phép biến đổi tọa độ 2D

Phép biến đổi tọa độ 3D là mở rộng của phép biến đổi tọa độ 2D. Tọa độ

P(x,y)

P’(x’,y’

)

ty

tx

y

x

o

P(x,y)

P’(x’,y’

)

y

x

o

P(x,y)

P’(x’,y’)

r

y

x

o

r

α

θ

a b c

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

6

(x', y', z') của điểm P(x, y, z) sau phép biến đổi tọa độ 3D, tƣơng ứng

với vector dịch chuyển t(tx, ty, tz); hệ số tỷ lệ s(sx, sy, sz) đƣợc xác định nhƣ

sau:

x' = x + tx; y' = y + ty; z' = z + tz (1.4)

x' = sx.x ; y' = sy.y; z = sz

.z (1.5)

Cũng giống nhƣ trƣờng hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch

chuyển 3D (1.4) và phép lấy tỷ lệ (1.5) dƣới dạng tích ma trận bởi vector tọa

độ đồng nhất Ph, P'h, ma trận biến đổi T và S.

P'h = PhT (1.6)

P'h = PhS (1.7)

trong đó: Ph = (x y z 1) ; P'h = (x' y' z 1).

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 x y z

T

t t t

 

 

  

 

     

;

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 1

x

y

z

s

s

S

s

 

 

  

 

   

Đối với phép quay 3D, việc xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong

không gian là rất khó, do vậy phép quay quanh trục bất kỳ thƣờng đƣợc qui

về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ tọa độ nhƣ trong Bảng 1.1:

Phép quay cơ bản X' Y' Z'

Quanh trục x x' = x y' = ycosθ - zsinθ z' = ysinθ + zcosθ

Quanh trục y x' = zsinθ + xcosθ y' = y z' = zcosθ + xsinθ

Quanh trục z x' = xcosθ + ysinθ y' = xsinθ + ycosθ z' = z

Bảng 1.1: Phép quay 3D quanh các trục tọa độ

Khi đó ma trận biến đổi đồng nhất R đối với phép quay 3D có giá trị nhƣ

sau (đặt s = sinθ; c = cosθ;):