B-Splines và ứng dụng trong đồ họa máy tính

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ép\\

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CNTT&TT

Nguyễn Thanh Hải

B-SPLINE VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH

Chuyên ngành: Khoa học máy tính

Mã số: 60 48 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH KHOA HỌC MÁY TÍNH

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. ĐẶNG QUANG Á

Thái Nguyên - 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan :

Những nội dung trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng

dẫn trực tiếp của PGS. TS. Đặng Quang Á.

Mọi tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng tên tác

giả, tên công trình, thời gian, địa điểm công bố.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1

1. Đặt vấn đề ................................................................................................ 1

2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................... 1

3. Hướng nghiên cứu của đề tài................................................................... 1

4. Những nội dung nghiên cứu chính .......................................................... 2

5. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 2

6. Ý nghĩa khoa học của đề tài..................................................................... 2

Chƣơng 1 Lý thuyết mô hình hóa hình học.................................................. 3

1.1. Cơ sở của mô hình hóa hình học .......................................................... 3

1.1.1. Các phép biến đổi tọa độ 2D.......................................................... 3

1.1.2. Phép biến đổi đồng nhất................................................................. 4

1.1.3. Các phép biến đổi tọa độ 3D.......................................................... 4

1.1.4. Phép ánh xạ .................................................................................... 6

1.1.5. Khung tọa độ .................................................................................. 8

1.2. Đường cong – Curve ............................................................................ 9

1.3. Mặt cong - Surface ............................................................................. 13

1.3.1. Biểu diễn mặt cong....................................................................... 13

1.3.2. Mô hình hóa các mặt cong ........................................................... 14

Chƣơng 2 Đƣờng cong, mặt cong B-Spline................................................. 16

2.1. Thuật toán Casteljau ........................................................................... 16

2.2. Đường cong và mặt cong Bezier........................................................ 18

2.2.1. Đường cong Bezier ...................................................................... 19

2.2.2. Mặt cong Bezier ........................................................................... 23

2.3. Đường cong B-Spline ......................................................................... 25

2.3.1. Đánh giá đường cong Bezier........................................................ 25

2.3.2. Đường cong B-Spline................................................................... 27

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2.3.2.1. Hàm cơ sở B-Spline............................................................... 27

2.3.2.2. Tính chất của đường cong B-Spline ...................................... 29

2.3.2.3. Đường cong B-Spline đều và tuần hoàn................................ 30

2.3.2.4. Đường cong B-Spline không tuần hoàn................................. 32

2.3.2.5. Đường cong B-Spline hữu tỷ không đều ............................... 32

2.4. Mặt cong B-Spline.............................................................................. 34

Chƣơng 3 Ứng dụng B-Spline mô hình hóa các vật thể 3D ...................... 35

3.1. Bài toán mô hình hóa các vật thể 3D.................................................. 35

3.2. Phép nội suy và mịn hóa đường cong ................................................ 36

3.2.1. Nối điểm một chiều...................................................................... 37

3.2.2. Xấp xỉ hóa hai chiều..................................................................... 38

3.3. Tìm điểm kiểm soát cho đường cong B-Spline.................................. 38

3.4. Vẽ một số đối tượng 3D ..................................................................... 39

3.4.1. Vẽ quả táo..................................................................................... 39

3.4.2. Vẽ lọ hoa ...................................................................................... 44

3.4.3. Vẽ máy bay................................................................................... 46

3.4.4. Giao diện chương trình chính....................................................... 50

KẾT LUẬN.................................................................................................... 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 52

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

DANH SÁCH HÌNH VẼ

Hình 1.1: Phép biến đổi tọa độ 2D.................................................................... 3

Hình 1.2: Phép biến đối tọa độ dưới hình thức hệ tọa độ chuyển động............ 9

Hình 1.3: Biểu diễn đường tròn đơn vị ........................................................... 11

Hình 1.4: Mô hình bề mặt kẻ .......................................................................... 14

Hình 1.5 Mô hình mặt tròn xoay..................................................................... 15

Hình 1.6: Mô hình mặt trượt ........................................................................... 15

Hình 2.1: Thuật toán Casteljau cho ba điểm................................................... 17

Hình 2.2: Đường cong Bezier bậc 1, 2, 3........................................................ 20

Hình 2.3: Mặt cong Bezier.............................................................................. 25

Hình 2.4: Các thành phần của đa thức riêng phần .......................................... 26

Hình 2.5: Đường cong B-Spline ..................................................................... 29

Hình 2.6: Mặt cong B-Spline .......................................................................... 34

Hình 3.1 Phép nối điểm và mịn hóa đường cong............................................ 37

Hình 3.2 Xác định đa giác kiểm soát của đường cong B-Spline qua một số

điểm đã biết nằm trên đường cong.................................................................. 38

Hình 3.3: Biểu diễn quả táo............................................................................. 44

Hình 3.4: Biểu diễn lọ hoa .............................................................................. 45

Hình 3.5: Biểu diễn máy bay .......................................................................... 49

Hình 3.6: Giao diện chương trình chính ......................................................... 50

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

DANH SÁCH CÁC BẢNG

Bảng 1.1: Phép quay 3D quanh các trục tọa độ ................................................ 5

Bảng 2.1: Vector nút đều ................................................................................ 31

Bảng 2.2: Vector nút của đường cong B-Spline bậc 2,3,4 không tuần hoàn.. 32