Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Áp dụng các định lý về giá trị trung bình để giải và sáng tạo một số bài toán sơ cấp
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–
NGUYỄN MINH HUY
ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
ĐỂ GIẢI VÀ SÁNG TẠO MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2018
Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN
Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI
Phản biện 1:
.................................................
Phản biện 2:
.................................................
Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày
28 tháng 01 năm 2018
Có thể tìm hiểu luận văn tại
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cùng với khái niệm giới hạn, tính liên tục và tính khả vi của hàm số là
những kiến thức cơ sở quan trọng trong giải tích. Trong chương trình toán
ở trung học phổ thông, tính chất liên tục và khả vi của hàm số được áp
dụng vào nhiều dạng toán khác nhau, ví dụ như các bài toán chứng minh
sự tồn tại nghiệm của phương trình ở lớp 11 hay giải các phương trình mũ
và phương trình logarit ở lớp 12.
Các định lý về giá trị trung bình như Định lý Rolle, Định lý Lagrange,
Định lý Cauchy và tính đơn điệu của hàm số thường được sử dụng trong
nhiều bài toán ở các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố, quốc gia hay
quốc tế về các dạng toán như chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải
phương phương trình, hệ phương trình, v.v.. Vì thế một nghiên cứu về các
định lý về giá trị trung bình bao gồm lý thuyết cơ bản, các dạng bài tập
và các phương pháp giải bài toán là nhu cầu cần thiết của giáo viên phổ
thông. Vì vậy đây là một trong những lí do mà tôi chọn đề tài nghiên cứu
các định lý về giá trị trung bình.
Một trong những yêu cầu khi ra đề thi là các câu hỏi phải mới và không
được lấy từ bất kỳ nguồn tham khảo nào. Điều này đòi hỏi người ra đề phải
có kỹ năng sáng tạo ra các bài toán mới. Các đề thi học sinh giỏi cũng
thường có các câu hỏi, bài toán cần áp dụng các định lý về giá trị trung
bình để giải. Vì thế, bên cạnh kiến thức và kỹ năng giải các bài toán thông
qua các định lý về giá trị trung bình, kỹ năng sáng tạo các bài toán mới
áp dụng định lý Rolle, định lý Lagrange, định lý Cauchy cũng là một yêu
2
cầu không thể thiếu đối với giáo viên. Đây cũng là lí do để tôi chọn đề tài
nghiên cứu cho mình.
Với mong muốn nâng cao kiến thức, kỹ năng giải và sáng tạo các bài
toán bằng cách áp dụng các định lý về giá trị trung bình, tôi quyết định
chọn đề tài : “Áp dụng các định lý về giá trị trung bình để giải
và sáng tạo một số bài toán sơ cấp” cho luận văn thạc sĩ của mình.
Luận văn tập trung vào việc hệ thống lại kiến thức về tính liên tục và tính
khả vi của hàm số, các Định lý Roll, Định lý Lagrange, Định lý Cauchy,
phân loại các dạng bài toán và các phương pháp giải bài toán. Luận văn
cũng trình bày một số cách để sáng tạo ra các bài toán mới dựa trên các
định lý về giá trị trung bình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Trên cơ sở hệ thống lại các kiến thức về các định lý về giá trị trung
bình và các phương pháp giải trong các tài liệu tham khảo khác nhau, luận
văn trình bày, tổng hợp, sắp xếp lại lý thuyết về tính liên tục, tính khả vi
của hàm số, các Định lý Rolle, Định lý Lagrange, Định lý Cauchy và các
phương pháp giải cho các bài toán liên quan đến các định lý về giá trị trung
bình. Luận văn cũng tập trung vào nghiên cứu một số cách thức sáng tạo
ra các bài toán dựa trên các định lý về giá trị trung bình.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Tính liên tục, tính khả vi của hàm số một biến.
- Các định lý về giá trị trung bình.
- Các phương pháp giải các dạng toán áp dụng các định lý về giá trị
trung bình.
3
- Các phương pháp sáng tạo ra các bài toán mới về áp dụng các định
lý về giá trị trung bình.
4. Phạm vi nghiên cứu
Tính liên tục, tính khả vi của hàm số, các định lý về giá trị trung bình;
các phương pháp giải và sáng tạo các bài toán dựa trên các định lý về giá
trị trung bình.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Nghiên cứu các tài liệu tham khảo về lớp hàm một biến.
+ Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá và tổng hợp.
+ Phương pháp giải đã có cho các dạng bài toán: chứng minh đẳng
thức, bất đẳng thức, tồn tại nghiệm, giải phương trình.
+ Phương pháp sáng tạo ra các bài toán mới dựa trên bài toán gốc.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và thực tiễn. Có thể sử dụng luận
văn như là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán, giáo viên phổ
thông giảng dạy toán và các đối tượng quan tâm đến các định lý về giá trị
trung bình và các dạng bài tập áp dụng.
7. Cấu trúc luận văn
Luận văn có cấu trúc như sau
Mở đầu
Chương 1: Tổng quan về hàm số liên tục và hàm số khả
vi
4
1.1 Định nghĩa hàm số thực một biến
1.2 Tính liên tục của hàm số
1.3 Tính khả vi của hàm số
1.4 Các định lý về giá trị trung bình
Chương 2: Sử dụng các định lý giá trị trung bình để giải
các bài tập toán sơ cấp
2.1 Chứng minh sự tồn tại và biện luận số nghiệm của phương trình
2.2 Giải phương trình
2.3 Chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức
Chương 3: Sáng tạo các bài toán dựa trên các định lý về
giá trị trung bình
3.1 Sáng tạo các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm.
3.2 Sáng tạo các bài toán bất đẳng thức
Kết luận
Tài liệu tham khảo
5
CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, tác giả nhắc lại một số kiến thức cơ bản, chẳng hạn
như giới hạn, hàm số thực một biến, tính liên tục, tính khả vi của hàm số và
các định lý về giá trị trung bình. Các khái niệm, định nghĩa trong chương
này chủ yếu được tham khảo ở [4], [7], [8], [10], [14].
1.1. Định nghĩa hàm số thực một biến
Định nghĩa 1.1.1. Cho ∅ 6= X, Y ⊂ R. Quy tắc f đặt tương ứng mỗi
số thực x ∈ X với một và chỉ một số thực y ∈ Y được gọi là một hàm số
thực một biến, kí hiệu là
f : X → Y
x 7→ y = f(x).
1.2. Tính liên tục của hàm số
1.2.1. Giới hạn của hàm số
Định nghĩa 1.2.1. (Giới hạn của hàm số) Cho hàm số f xác định
trên khoảng I của tập số thực R. Cố định điểm x0 ∈ R (bao hàm cả trường
hợp x0 ∈ I). Ta nói rằng số thực l là giới hạn của hàm số f khi x dần đến
x0 và viết
lim
x→x0
f(x) = l hoặc f(x) → l khi x → x0
nếu với mỗi số dương ε cho trước bất kì, tồn tại một số dương δ sao cho
(∀x ∈ I) 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − l| < ε.
Định nghĩa 1.2.2. (Giới hạn bên phải, bên trái) Cho hàm số f
xác định trên khoảng I của tập số thực R. Ta nói rằng số thực L là giới
6
hạn bên phải của hàm số f khi x dần đến x0 từ bên phải nếu với mỗi số
dương ε bất kì, tồn tại một số dương δ sao cho
(∀x ∈ I), 0 < x − x0 < δ ⇒ |f(x) − L| < ε.
Kí hiệu: lim
x→x0
+
f(x) = L hoặc f(x0
+) = L.
Tương tự, ta gọi L là giới hạn bên trái của hàm số f khi x dần đến
x0 từ bên trái nếu với mỗi số dương ε bất kì, tồn tại một số dương δ sao
cho
(∀x ∈ I), 0 < x0 − x < δ ⇒ |f(x) − L| < ε
Kí hiệu: lim
x→x0
−
f(x) = L hoặc f(x0
−) = L.
1.2.2. Hàm số liên tục
Định nghĩa 1.2.3. Cho hàm số f xác định trên khoảng I của tập số thực
R, f : I → R và x0 ∈ I. Ta nói rằng hàm f liên tục tại điểm x0 nếu với
mỗi số ε > 0 bất kì, tồn tại một số δ > 0 sao cho
(∀x ∈ I), |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε.
Nếu hàm f liên tục tại mọi điểm x0 ∈ I thì ta nói f liên tục trên
khoảng I.
Nếu f không liên tục tại x0, ta nói f gián đoạn tại x0.
Quay trở lại định nghĩa giới hạn của hàm số, ta có thể phát biểu sự
liên tục của hàm f tại x0 như sau:
Cho hàm f : I → R và x0 ∈ I. Khi đó hàm f liên tục tại điểm x0
khi và chỉ khi:
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Định nghĩa 1.2.4. Hàm số f được gọi là liên tục bên phải tại x0 ∈ I
nếu
lim
x→x0
+
f(x) = f(x0).
7
Hàm số f được gọi là liên tục bên trái tại x0 ∈ I nếu
lim
x→x0
−
f(x) = f(x0).
Định lí 1.2.5. Điều kiện cần và đủ để hàm f liên tục tại điểm x0 ∈ I
là nó liên tục đồng thời bên phải và bên trái tại x0, tức là:
lim
x→x0
+
f(x) = lim
x→x0
−
f(x) = lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Định nghĩa 1.2.6. Cho hàm f xác định trên [a; b]. Ta nói rằng f liên
tục trên [a; b] nếu f liên tục trên khoảng (a; b) và
lim
x→a+
f(x) = f(a), lim
x→b−
f(x) = f(b).
1.2.3. Một số định lý về hàm liên tục
Định lí 1.2.7. (Weierstrass I). Nếu hàm f : [a; b] → R xác định
và liên tục trên đoạn [a; b] thì f bị chặn trên đoạn đó, tức là tồn tại các
hằng số m, M ∈ R sao cho
m 6 f(x) 6 M, ∀x ∈ [a; b] .
Định lí 1.2.8. (Weierstrass II). Nếu hàm f : [a; b] → R xác định
và liên tục trên đoạn [a; b] thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
trên [a; b], tức là tồn tại x1, x2 ∈ [a; b] sao cho
f(x1) = M = max
x∈[a;b]
f(x);
f(x2) = m = min
x∈[a;b]
f(x).
Định lí 1.2.9. (Bolzano - Cauchy I). Nếu f(x) xác định, liên tục
trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao
cho f(c) = 0.
Định lí 1.2.10. (Bolzano - Cauchy II). Nếu f(x) xác định, liên
tục trên [a; b] và f(a) = A 6= f(b) = B thì f(x) nhận giá trị trung
gian giữa A và B. Tức là, với mọi γ nằm giữa A và B thì luôn tồn tại
điểm c ∈ [a; b] sao cho f(c) = γ.
8
1.3. Tính khả vi của hàm số
1.3.1. Định nghĩa đạo hàm
Định nghĩa 1.3.1. Cho f là một hàm số xác định trên khoảng (a; b) và
một điểm x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm x0, và được kí
hiệu là f
0
(x0).
f
0
(x0) = lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
.
Hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 được gọi là khả vi tại điểm x0.
Định nghĩa 1.3.2. (Đạo hàm của hàm số trên một khoảng) Cho
hàm số f xác định trên tập I, trong đó I là một khoảng hoặc là hợp của
những khoảng nào đó. Ta nói rằng f có đạo hàm trên I nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm x ∈ I. Khi đó hàm số
f
0
: I → R
x 7→ f
0
(x)
được gọi là đạo hàm của hàm số f trên I.
1.3.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp
tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0(x0; f(x0)).
Chú ý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của
đồ thị hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)) có phương trình là:
y = f
0
(x0)(x − x0) + f(x0).
9
1.4. Các định lý về giá trị trung bình
1.4.1. Cực trị của hàm số và định lý Fermat
Định nghĩa 1.4.1. Cho hàm số f : X → R xác định trên X ⊂ R và
một điểm x0 ∈ X.
x0 được gọi là một điểm cực đại (địa phương) của hàm số f nếu tồn
tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ X và
f(x) < f(x0) với mọi x ∈ (a; b)\ {x0} .
Khi đó, f(x0) được gọi là giá trị cực đại (địa phương) của hàm f.
x0 được gọi là một điểm cực tiểu (địa phương) của hàm số f nếu tồn
tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ X và
f(x) > f(x0) với mọi x ∈ (a; b)\ {x0} .
Khi đó, f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu (địa phương) của hàm f.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực
đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f
đạt cực trị tại điểm x0.
Định lí 1.4.2. (Định lý Fermat) Nếu hàm số f : (a; b) → R xác
định trên (a; b), đạt cực trị tại điểm x0 và khả vi tại x0 thì f
0
(x0) = 0.
1.4.2. Định lý Rolle
Định lí 1.4.3. (Định lý Rolle) Nếu f là hàm liên tục trên đoạn
[a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b), đồng thời f(a) = f(b) thì tồn
tại c ∈ (a; b) sao cho f
0
(c) = 0.
Ý nghĩa hình học. Nếu các điều kiện của Định lý Rolle được thỏa
mãn thì trên đồ thị của hàm số y = f(x),∀x ∈ [a; b] tồn tại điểm