500 Bài toán bất đẳng thức chọn lọc

500

Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

♦♦♦♦♦

Vĩnh Long, Xuân Mậu Tý, 2008

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang

2

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

♦♦♦♦♦

1. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1

2

a b b c c a + − + + − + + − ≥ .

Komal

2. [ Dinu Serbănescu ] Cho a b c , , 0,1 ∈( ). Chứng minh rằng

abc a b c + − − − < (1 1 1 1 )( )( ) .

Junior TST 2002, Romania

3. [ Mircea Lascu ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng

minh rằng

3

b c c a a b a b c

a b c

+ + + + + ≥ + + + .

Gazeta Matematică

4. Nếu phương trình 4 3 2 x ax x bx + + + + = 2 1 0 có ít nhất một nghiệm thực, thì

2 2 a b + ≥8.

Tournament of the Towns, 1993

5. Cho các số thực x y z , , thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2

x y z + + =1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức

3 3 3

x y z xyz + + −3 .

6. Cho a b c x y z , , , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z + + =1. Chứng minh

rằng

ax by cz xy yz zx ab bc ca a b c + + + + + + + ≤ + + 2 ( )( ) .

Ukraine, 2001

7. [ Darij Grinberg] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2

9

4

a b c

b c c a a b a b c

+ + ≥

+ + + + +

.

8. [ Hojoo Lee ] Cho a b c , , 0 ≥ . Chứng minh rằng

4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 a a b b b b c c c c a a a a bc b b ca c c ab + + + + + + + + ≥ + + + + + 2 2 2 .

Gazeta Matematică

9. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 2 . Chứng minh rằng

3 3 3 a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + .

JBMO 2002 Shortlist

10. [ Ioan Tomescu ] Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng

( )( )( )( )

4

1

1 3 8 9 6 7

xyz

x x y y z z

≤

+ + + +

.

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang

3

Gazeta Matematică

11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

a b c + + =1. Chứng minh rằng

( ) ( )

2 2 2 3 3 3 5 6 1 a b c a b c + + ≤ + + + .

12. [ Mircea Lascu ] Cho 1 2 , ,...,

n

x x x ∈ ℝ , n a ≥ > 2, 0 sao cho

2

2 2 2

1 2 1 2 ... , ...

1

n n

a

x x x a x x x

n

+ + + = + + + ≤

−

.

Chứng minh rằng

2

0, , 1, 2,..., i

a

x i n

n

 

∈ =      

.

13. [ Adrian Zahariuc ] Cho a b c , , 0,1 ∈( ). Chứng minh rằng

1

4 4 4

b a c b a c

b c c a c a a b a b b c

+ + ≥

− − −

.

14. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≤1. Chứng minh rằng

a b c a b c

b c a

+ + ≥ + + .

15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a b c x y z , , , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều

kiện a x b y c z a b c x y z + ≥ + ≥ + + + = + + , . Chứng minh rằng

ay bx ac xz + ≥ + .

16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

abc =1. Chứng minh rằng

3 6 1

a b c ab bc ca

+ ≥

+ + + +

.

Junior TST 2003, Romania

17. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng

3 3 3 2 2 2

2 2 2

a b c a b c

b c a b c a

+ + ≥ + + .

JBMO 2002 Shortlist

18. Cho 1 2 , ,..., 0, 3 n

x x x n > > thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1 n

x x x = . Chứng minh rằng

1 1 2 2 3 1

1 1 1 ... 1

1 1 1 n n x x x x x x x x

+ + + >

+ + + + +

.

Russia, 2004

19. [ Marian Tetiva ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa ñiều kiện 2 2 2

x y z xyz + + + = 2 1.

Chứng minh rằng

a) 1

,

8

xyz ≤

b) 3

,

2

x y z + + ≤

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang

4

c) 3 2 2 2

,

4

xy yz zx x y z + + ≤ ≤ + +

d) 1

2

2

xy yz zx xyz + + ≤ + .

20. [ Marius Olteanu ] Cho 1 2 5 x x x , ,..., ∈ ℝ sao cho 1 2 5 x x x + + + = ... 0. Chứng minh rằng

1 2 5 cos cos ... cos 1 x x x + + + ≥ .

Gazeta Matematică

21. [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

x y z xyz + + = . Chứng minh rằng

2 2 2

xy yz zx x y z + + ≥ + + + + + + 3 1 1 1 .

22. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho x y z , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x y z , , 1 >− .

Chứng minh rằng

2 2 2

2 2 2

1 1 1 2

1 1 1

x y z

y z z x x y

+ + + + + ≥

+ + + + + +

.

JBMO, 2003

23. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng

2 2 2

2

a b b c c a

b c c a a b

+ + + + + ≥

+ + +

.

24. Cho a b c , , 0 ≥ thỏa mãn ñiều kiện ( )

4 4 4 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a + + ≤ + + 2 . Chứng minh

rằng

( )

2 2 2 a b c ab bc ca + + ≤ + + 2 .

Kvant, 1988

25. Cho 1 2 , ,..., 0, 2 n

x x x n > > thỏa mãn ñiều kiện

1 2

1 1 1 1

...

1998 1998 1998 1998 n

x x x

+ + + =

+ + +

.

Chứng minh rằng

1 2...

1998

1

n

n

x x x

n

≥

−

.

Vietnam, 1998

26. [Marian Tetiva ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2

x y z xyz + + = .

Chứng minh rằng

a) xyz ≥ 27,

b) xy yz zx + + ≥ 27 ,

c) x y z + + ≥9 ,

d) xy yz zx x y z + + ≥ + + + 2 9 ( ) .

27. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z + + = 3 . Chứng minh rằng

x y z xy yz zx + + ≥ + + .