322_Toán cao cấp

Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp

Chương I: Phép tính vi phân hàm một biến

1.1. Hàm số và giới hạn của hàm số:

1.1.1. Hàm số:

Định nghĩa: Cho X là một tập con của tập số thực ¡ . Một hàm số xác định trên X là

một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm x X∈ với một giá trị duy nhất f(x) ∈¡ .

Ký hiệu: f : X → ¡

x y f (x) a =

X được gọi là tập xác định của hàm số f.

Tập hợp { f (x) x X∈ } được gọi là tập giá trị của hàm số f.

Đồ thị của hàm số:

Cho hàm số f có tập xác định X. Tập hợp tất cả các điểm ( x,f x( ) ) với x X∈ được gọi

là đồ thị của hàm số f.

Hàm số đơn điệu:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b).

■ Nếu ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ∀ ∈ < ⇒ < x , x a, b , x x f x f x thì f được gọi là hàm số tăng

trên khoảng (a, b).

■ Nếu ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ∀ ∈ < ⇒ > x , x a, b , x x f x f x thì f được gọi là hàm số giảm

trên khoảng (a, b).

Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

Cho hàm số xác định trên tập hợp X.

■ f được gọi là hàm số chẵn nếu x X x X

f ( x) f (x)

∀ ∈ ⇒ − ∈ 

 − =

■ f được gọi là hàm số lẻ nếu x X x X

f ( x) f (x)

∀ ∈ ⇒ − ∈ 

 − = −

1

Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy, còn đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc

tọa độ.

1.1.2. Giới hạn của hàm số một biến:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) có thể trừ ra điểm

( ) 0

x a, b ∈ . Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là A khi x tiến tới 0

x nếu với mọi dãy

{ x a,b \ x n 0 } ⊂ ( ) { } , n 0

n

lim x x

→∞

= ta đều có ( ) n

n

lim f x A →∞

=

Ký hiệu: ( )

0

0

x x

lim f x A 0, 0,0 x x f (x) A →

= ⇔ ∀ε > ∃δ > < − < δ ⇒ − < ε

Các phép toán về giới hạn:

Cho f(x), g(x) là hai hàm số có giới hạn khi 0

x x → . Khi đó:

[ ]

0 0 0 x x x x x x

i) lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)

→ → →

± = ±

[ ]

0 0 0 x x x x x x

ii) lim f (x)g(x) lim f (x).lim g(x)

→ → →

=

( )

0

0 0

0

x x

x x x x

x x

lim f (x) f (x) iii) lim lim g(x) 0

g(x) lim g(x)

→

→ →

→

= ≠

[ ]

x x0

0 0

lim g(x)

g(x )

x x x x

iv) lim f (x) lim f (x) →

→ →

  =

 

Một số giới hạn cơ bản:

a) Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp và x0 thuộc miền xác định của nó thì:

( )

0

0

x x

lim f (x) f x

→

=

b) x

x

lim e

→+∞

= +∞ ,

x

x

lim e 0

→−∞

=

c) x 0 x

lim ln x , lim ln x

→ + →+∞

= −∞ = +∞

d)

0

x x

lim c c

→

=

e)

x 0

sinx lim 1

x

→

=

2

Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp

f)

x

x 0

e 1 lim 1

x

→

−

=

g)

x

x

1

lim 1 e

x

→ ∞

 

+ =    

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:

a)

2

x 2x 1

x

lim e− + +

→ ∞

b) ( )

1

x

x

lim 1 sinx

→ ∞

+ c)

x 0

sin5x lim

x

→

Giải

Ta có:

a)

2

x 2x 1

x

lim e 0 − + +

→∞

=

b) ( ) ( ) ( )

x

sinx sinx lim 1 1 1 x x

x sin x sin x

x x x

lim 1 sinx lim 1 sinx lim 1 sinx e

→ ∞

→ ∞ → ∞ → ∞

    + = + = + =        

c)

x 0 x 0 x 0

sin5x sin5x sin5x lim lim 5. 5lim 5.1 5

x 5x 5x → → →

   

= = = =        

1.2. Vô cùng bé, vô cùng lớn:

1.2.1. Vô cùng bé:

Định nghĩa: Hàm α( x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi 0

x x → nếu ( )

0

x x

lim x 0

→

α = .

Cho α( x) , β( x) là hai VCB khi 0

x x → . Giả sử tồn tại ( )

( )

0

x x

x

lim A

x

→

α

=

β

♦Trường hợp 1: Nếu A = 1 thì α( x) , β( x) là hai VCB tương đương. Ký

hiệu: α β ( x x ) : ( ) khi 0

x x → .

♦ Trường hợp 2: Nếu A , A 1, A 0 ∈ ≠ ≠ ¡ thì α( x) , β( x) là hai VCB

cùng cấp.

♦ Trường hợp 3: Nếu A = 0 thì VCB α( x) gọi là cấp cao hơn VCB β( x)

khi 0

x x → . Ký hiệu: α = β ( x O x ) ( ( ) ) khi 0

x x → .

3