Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
20 đề thi đại học 2011 và đáp án chi tiết pptx
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
1
20 ñề thi ñại học và ñáp án chi tiết
ðỀ 1
I. PHẦN CHUNG
Câu 1: ( 2 ñiểm) Cho hàm số ( ) m m Cm
y x (2 m )2 x 5 5
4 2 2
= + − + − +
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 1.
2, Với những giá trị nào của m thì ñồ thị ( Cm) có ñiểm cực ñại và ñiểm cực tiểu, ñồng thời các
ñiểm cực ñại và ñiểm cực tiểu lập thành một tam giác ñều.
Câu 2: ( 2 ñiểm) 1, Giải phương trình: ( )
2
1
1+ cos x 1( + cos 2x)(1+ cos3x) =
2, Giải hệ phương trình:
+ − + =
− − + + + − + =
− +
− +
log ( )5 log ( )4 1
2log ( 2 )2 log ( 2 )1 6
1 2
2
1 2
y x
xy x y x x
x y
x y
Câu 3: ( 2 ñiểm ) 1, Tính tích phân: ( ) ∫
−
=
1
3
1
4
3
1
3
dx
x
x x
I .
2, Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc . Chứng minh rằng:
( ) 1
( ) ( )
3 3
4 4
3 3
4 4
3 3
4 4
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
ca c a
c a
bc b c
b c
ab a b
a b
C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é §Òc¸c Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng
tr×nh: 2x + y + z −1 = 0 vµ ®−êng th¼ng ( d) cã ph−¬ng tr×nh:
+ + =
− − =
2 2 0
2 2 0
y z
x y
1, T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ( d) vµ (P). TÝnh sè ®o gãc t¹o bëi ( d) vµ (P).
2, ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) ®i qua A, (∆) n»m trong (P) sao cho gãc t¹o bëi hai ®−êng
th¼ng (∆) vµ ( d) b»ng 450
.
II. PhÇn riªng ( ThÝ sinh chØ lµm mét trong hai phÇn)
C©u 5A: ( 2 ®iÓm ) ( Dµnh cho THPT kh«ng ph©n ban)
1, ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua hai ®iÓm A( 2;5 ), B9 4; 1) vµ tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng cã
ph−¬ng tr×nh: 3x − y + 9 = 0 .
2, Víi n lµ sè nguyªn d−¬ng, chøng minh hÖ thøc: ( ) ( ) ( )
n
n
n
n n n C
n
C C n C 2
2 2 2
2 1
2
+ 2 + ... + =
C©u 5B: ( 2 ®iÓm) ( Dµnh cho THPT ph©n ban)
1, Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x log ( ) x 1 log 4x
4
1
log ( )3
2
1
2
8
2
+ + 4 − = .
2, Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S. ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a, chiÒu cao còng b»ng a. Gäi E, K lÇn
l−ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AD vµ BC. TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.
EBK.
ðÁP ÁN ðỀ 1
I. PhÇn chung
C©u 1: ( 2 ®iÓm) Cho hµm sè ( ) m m Cm
y x (2 m )2 x 5 5
4 2 2
= + − + − +
1, Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m = 1.
2, Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ®å thÞ ( Cm) cã ®iÓm cùc ®¹i vµ ®iÓm cùc tiÓu, ®ång thêi c¸c
®iÓm cùc ®¹i vµ ®iÓm cùc tiÓu lËp thµnh mét tam gi¸c ®Òu.
§k ®Ó ( Cm) cã 3 ®iÓm cùc trÞ lµ m < 2. C¸c ®iÓm cùc trÞ cña ( Cm) lµ
A( ;0 m − 5m + 5);B(− 2 − m 1; − m);C( 2 − m 1; − m)
2
2
§¸p sè: 3 m = 2 − 3
C©u 2: ( 2 ®iÓm) 1, Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( )
2
1
1+ cos x 1( + cos 2x)(1+ cos3x) =
§−a ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:
16
1
2
3
.cos .cos
2
cos
2
=
x
x
x
Sö dông c«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng gi¶i hai ph−¬ng tr×nh:
4
1
2
3
.cos .cos
2
cos =
x
x
x
vµ
4
1
2
3
.cos .cos
2
cos = −
x
x
x
Ta ®−îc c¸c hä nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®_ cho lµ: x m ( ) k m Z
k
x = + = ± + 2 , ∈
3
2
;
4 2
π
π π π
2, Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
+ − + =
− − + + + − + =
− +
− +
log ( )5 log ( )4 1
2log ( 2 )2 log ( 2 )1 6
1 2
2
1 2
y x
xy x y x x
x y
x y
§K
> − ≠ −
− < < ≠
;2 1
4 ,1 0
y y
x x
§−a ph−¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ vÒ d¹ng: log 2( ) log (1 ) 2 1−x + y + 2+ y − x =
§Æt log 2( )
1
t y = −x + , t×m ®−îc t = 1, kÕt hîp víi ph−¬ng tr×nh thø hai cña hÖ,®èi chiÕu víi ®iÒu
kiÖn trªn, t×m ®−îc nghiÖm (x; y) = (− 1;2 ) .
C©u 3: ( 2 ®iÓm ) 1, TÝnh tÝch ph©n: ( ) ∫
−
=
1
3
1
4
3
1
3
dx
x
x x
I .
§−a I vÒ d¹ng: ∫
= −
1
3
1
3
3
1
2
1
1 .
1
dx
x x
I . Dïng ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè, ®Æt 1
1
2
= −
x
t
§¸p sè: I = 6.
2, Cho c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c tho¶ m_n ab + bc + ca = abc . Chøng minh r»ng:
( ) 1
( ) ( )
3 3
4 4
3 3
4 4
3 3
4 4
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
ca c a
c a
bc b c
b c
ab a b
a b
Tõ a + b ≥ a b + ab ⇒ (a + b ) ≥ a + a b + b + ab = (a + b )(a + b)
4 4 3 3 4 4 4 3 4 3 3 3
2 .
VËy ( )
= +
+
≥
+
+
ab a b
a b
ab a b
a b 1 1
2
1
2
3 3
4 4
.
T−¬ng tù cho c¸c bÊt ®¼ng thøc cßn l¹i, suy ra ®pcm.
C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é §Òc¸c Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng
tr×nh: 2x + y + z −1 = 0 vµ ®−êng th¼ng ( d) cã ph−¬ng tr×nh:
+ + =
− − =
2 2 0
2 2 0
y z
x y
1, T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ( d) vµ (P). TÝnh sè ®o gãc t¹o bëi ( d) vµ (P).
§¸p sè. 1) ( ) ( )
0 A ;0;1 − ;1 ∠ d (, P) = 30 .
2, ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) ®i qua A, (∆) n»m trong (P) sao cho gãc t¹o bëi hai ®−êng
th¼ng (∆) vµ ( d) b»ng 450
.
Hai ®−êng th¼ng tho¶ m_n ®Ò bµi cã ph−¬ng tr×nh:
( ) ( )
5 3 3
1
2 3 1 3
1
; :
5 3 3
1
2 3 1 3
1
:
1 2
+
+
=
− −
=
− −
−
∆
−
+
=
− +
=
− +
−
∆
x y z x y z
3
II. PhÇn riªng ( ThÝ sinh chØ lµm mét trong hai phÇn)
C©u 5A: ( 2 ®iÓm ) ( Dµnh cho THPT kh«ng ph©n ban)
1. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua hai ®iÓm A( 2;5 ), B(4; 1) vµ tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng cã
ph−¬ng tr×nh: 3x − y + 9 = 0 .
Hai ®−êng trßn tho¶ m_n ®Ò bµi cã ph−¬ng tr×nh:
( ):( 1) ( 2) 10; ( ):( 17) ( 10) 250 2 2
2
2 2
C1
x − + y − = C x − + y − =
2, Víi n lµ sè nguyªn d−¬ng, chøng minh hÖ thøc: ( ) ( ) ( )
n
n
n
n n n C
n
C C n C 2
2 2 2
2 1
2
+ 2 + ... + =
§Æt S lµ vÕ tr¸i hÖ thøc cÇn chøng minh, l−u ý 1
0
= =
n Cn Cn
vµ n k
n
k Cn C
−
= ta thÊy:
2 ( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) 1
2 2 1
2 2
2 1 n
n
n
S = n Cn + n Cn + + n Cn + n C
−
Tõ ( x) ( x) ( x) x R
n n n
1+ 1+ = 1+ ,∀ ∈
2
. So s¸nh hÖ sè cña n
x trong khai triÓn nhÞ thøc Newton cña
( ) ( )
n n
1+ x 1+ x vµ ( )
n
x
2
1+ ta suy ra: ( ) ( ) ... ( ) ( ) 2 2
2 2 2
2 1 n
n
n Cn + Cn + + Cn = C
Tõ (1) vµ (2) cã ®pcm.
C©u 5B: ( 2 ®iÓm) ( Dµnh cho THPT ph©n ban)
1, Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x log ( ) x 1 log 4x
4
1
log ( )3
2
1
2
8
2
+ + 4 − = .
§k x > 0 vµ x ≠ 1. §−a ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng log (x )3 log x 1 log (4x) 2 + + 2 − = 2
.
XÐt hai kh¶ n¨ng 0 < x < 1 vµ x > 1, ®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn ta t×m ®−îc hai nghiÖm cña ph−¬ng
tr×nh lµ:
x = −3 + 2 3 vµ x = 3.
2, Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S. ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a, chiÒu cao còng b»ng a. Gäi E, K lÇn
l−ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AD vµ BC. TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.
EBK.
§¸p sè:
8
a 29 R = .
ðỀ 2
Câu 1: Cho hàm số y = 2 3
2
x
x
−
−
có ñồ thị là (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số trên.
2) Tìm trên (C) những ñiểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A,
b sao cho AB ngắn nhất
Câu 2:
1/.Giải phương trình: 2 2sin( ).cos 1
12
x x π − =
2/.Giải hệ phương trình:
3 3 3
2 2
8 27 18 (1)
4 6 (2)
x y y
x y x y
+ =
+ =
Câu 3:
1) Tính tích phân I =
2
2
6
1
sin sin
2
x x dx
π
π
∫ ⋅ +
2) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:
(m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1)
4
Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
3 3 3
1
8 1 8 1 8 1
a b c
c a b
+ + ≥
+ + +
Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600
, ABC và SBC là các tam giác ñều
cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (SAC).
Phần riêng:
1.Theo chương trình chuẩn:
Câu 6a: Cho ∆ ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình (∆ ) 2x +y –1 =0;
khoảng cách từ C ñến (∆ ) bằng 2 lần khoảng cách từ B ñến (∆). Tìm A, C biết C thuộc trục tung.
Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai ñường thẳng :
(d1) 1 3 2
1 1 2
x + − y z+
= = ; (d2)
1 2
2 ( )
1
x t
y t t
z t
= +
= + ∈
= +
. Viết phương trình tham số của ñường thẳng ∆
nằm trong mp(P) và cắt cả 2 ñường thẳng (d1) , (d2)
2.Theo chương trình nâng cao:
Câu 6b: Cho ∆ ABC có diện tích bằng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G ∈ (d) 3x –y –8 =0.
tìm bán kinh ñường tròn nội tiếp ∆ ABC.
Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho ñường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng:
(P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x2
+y2
+z2
+4x –6y +m =0.
Tìm tất cả các giá trị của m ñể (S) cắt (d) tại 2 ñiểm MN sao cho MN= 8.
ðÁP ÁN ðỀ 2
Câu 1: Cho hàm số y = 2 3
2
x
x
−
−
có ñồ thị là (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số trên.
2) Tìm trên (C) những ñiểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A,
B sao cho AB ngắn nhất
Gọi M(xo; 0
0
2 3
2
x
x
−
−
)∈ (C) .
Phương trình tiếp tuyến tại M: (∆) y =
2
0 0
2 2
0 0
2 6 6
( 2) ( 2)
x x x
x x
− − +
+
− −
(∆ ) ∩ TCð = A (2; 0
0
2 2
2
x
x
−
−
)
(∆ ) ∩ TCN = B (2x0 –2; 2)
0
0
2 (2 4; )
2
AB x
x
− = −
−
uuur
⇒ AB = 2
0 2
0
4 4( 2) 2 2
( 2)
cauchy
x
x
− +
−
≥
⇒ AB min = 2 2 ⇔ 0 3 (3;3)
1 (1;1) o
x M
x M
= →
= →
Câu 2:
1) Giải phương trình: 2 2sin( ).cos 1
12
x x π − =
5
phương trình ⇔ 2(cosx–sinx)(sinx– 3 cosx)=0 ⇔ 3
( )
4
x k
k
x k
π π
π π
= +
∈
= +
2).Giải hệ phương trình:
3 3 3
2 2
8 27 18 (1)
4 6 (2)
x y y
x y x y
+ =
+ =
(1) ⇒ y ≠ 0
Hệ ⇔
3
3 3
3
2
2
8 18 27 3 (2 ) 18
4 6 1 3 3 2 . 2 3
x x
y y
x x
x x y y y y
+ = + = ⇔
+ =
+ =
ðặt a = 2x; b = 3
y
. Ta có hệ:
3 3 18 3
( ) 3 1
a b a b
ab a b ab
+ = + = ⇔
+ = =
→ Hệ ñã cho có 2 nghiệm 3 5 6 3 5 6 ; , ;
4 4 3 5 3 5
− + + −
Câu 3:
1) Tính tích phân I =
2
2
6
1
sin sin
2
x x dx
π
π
∫ ⋅ +
I =
2
2
6
3
cos (cos )
2
π
π
− − ⋅ ∫ x d x . §Æt
3
cos cos
2
x u = ⋅
⇒ I ∫
= ⋅
2
4
2
sin
2
3
π
π
udu = ( ) 3
2
16
π +
2) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:
(m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1)
ðk x ≥ 0. ñặt t = x ; t ≥ 0
(1) trở thành (m–3)t+(2-m)t2
+3-m = 0 ⇔
2
2
2 3 3
1
m t t
t t
− + =
− +
(2)
Xét hàm số f(t) =
2
2
2 3 3
1
t t
t t
− +
− +
(t ≥ 0)
Lập bảng biến thiên
(1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ≥ 0 ⇔ 5 3
3
≤ ≤ m
Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
3 3 3
1
8 1 8 1 8 1
a b c
c a b
+ + ≥
+ + +
3 2 2 8 1 (2 1)(4 2 1) 2 1
cauchy
c c c c c + = + − + ≤ + ⇒ 2
8 1 3 2 1
a a
c c
≥
+ +
6
Tương tự, 2 2 3 3
;
8 1 8 1 2 1 2 1
b b c c
a b a b
≥ ≥
+ + + +
Ta sẽ chứng minh: 2 2 2 1 (1)
2 1 2 1 2 1
a b c
c a b
+ + ≥
+ + +
Bñt(1) ⇔ 4(a3
b
2
+b3
a
2
+c3
a
2
) +2(a3
+b3
+c3
)+2(ab2
+bc2
+ca2
)+( a+b+c) ≥
≥ 8a2
b
2
c
2
+4(a2
b
2
+b2
c
2
+c2
a
2
) +2 (a2
+b2
+c2
)+1 (2)
Ta có: 2a3
b
2
+2ab2
≥ 4a2
b
2
; …. (3)
2(a3
b
2
+b3
a
2
+c3
a
2
) ≥ 2.3. 3 5 5 5 a b c =6 (do abc =1)(4)
a
3
+b3
+c3
≥ 3abc =3 = 1 +2 a2
b
2
c
2
(5)
a
3
+a ≥ 2a2
; …. (6)
Công các vế của (3), (4), (5), (6), ta ñược (2).
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600
, ABC và SBC là các tam giác ñều
cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (SAC).
Gọi M là trung ñiểm của BC và O là hình chiếu của S lên AM. Suy ra:
SM =AM = 3
2
a
; 0 AMS = 60 và SO ⊥ mp(ABC)
⇒ d(S; BAC) = SO = 3
4
a ⇒ V(S.ABC) =
3
1 3
( ). 3 16
a
dt ABC SO =
Mặt khác, V(S.ABC) = 1
( ). ( ; ) 3
dt SAC d B SAC
∆SAC cân tại C có CS =CA =a; SA = 3
2
a ⇒ dt(SAC) =
2
13 3
16
a
Vậy d(B; SAC) = 3 3
( ) 13
V a
dt SAC =
Phần riêng:
1.Theo chương trình chuẩn:
Câu 6a: Cho ∆ ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình (∆ ) 2x +y –1 =0;
khoảng cách từ C ñến (∆ ) bằng 2 lần khoảng cách từ B ñến (∆). Tìm A, C biết C thuộc trục tung.
Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của B, C lên (∆).
M là ñối xứng của B qua ∆ ⇒ M ∈ AC và M là trung ñiểm của AC.
(BH): x –2y + 3 =0 → H( )
1 7;
5 5
− → M ( )
7 4;
5 5
−
BH = 3 5
5
⇒CI = 6 5
5
; C∈ Oy ⇒ C(0; y0) ⇒
0 7
o 5
y
y
=
= −
C(0; 7) ⇒ A ( )
14 27 ;
5 5
− − ∉(∆)→loại
(0; –5) ⇒ A( )
14 33 ;
5 5
− ∈(∆)→ nhận.
Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai ñường thẳng :
(d1) 1 3 2
1 1 2
x + − y z+
= = ; (d2)
1 2
2 ( )
1
x t
y t t
z t
= +
= + ∈
= +
. Viết phương trình tham số của ñường
thẳng ∆ nằm trong mp(P) và cắt cả 2 ñường thẳng (d1) , (d2)
7
(P) ∩ (d1) = A(1;1;2); (P) ∩ (d2) = B(3;3;2)→ (∆)
1 2
1 2 ( )
2
x t
y t t
z
= −
= − ∈
=
2.Theo chương trình nâng cao:
Câu 6b: Cho ∆ ABC có diện tích bằng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G ∈ (d) 3x –y –8 =0.
tìm bán kinh ñường tròn nội tiếp ∆ ABC.
C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) = 5 2
2
a b S ABC
AB
− − ∆ =
⇒
8(1)
5 3
2(2)
a b
a b
a b
− =
− − = ⇔
− =
Trọng tâm G ( )
5 5 ;
3 3
a b + − ∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3)
(1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = 3
2 65 89
S
p
=
+ +
(2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ 3
2 2 5
S r
p
= =
+
Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho ñường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng:
(P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x2
+y2
+z2
+4x –6y +m =0.
Tìm tất cả các giá trị của m ñể (S) cắt (d) tại 2 ñiểm MN sao cho MN= 8.
(S) tâm I(-2;3;0), bán kính R= 13 ( 13) − = < m IM m
Gọi H là trung ñiểm của MN ⇒ MH= 4 ⇒ IH = d(I; d) = − − m 3
(d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1;2)
r
⇒ d(I; d) =
;
3
u AI
u
=
r uur
r
Vậy : − − m 3 =3 ⇔ m = –12( thỏa ñk)
ðỀ 3
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm)
Câu I. (2,0 ñiểm) Cho hàm số y = x − (3 m + )1 x + 9x − m
3 2
, với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho ứng với 1 m = .
2. Xác ñịnh m ñể hàm số ñã cho ñạt cực trị tại 1 2
x , x sao cho x1 − x2 ≤ 2 .
Câu II. (2,0 ñiểm)
1. Giải phương trình: )
2
2sin(
sin cos
sin 2
cot
2
1 π
= +
+
+ x
x x
x
x .
2. Giải phương trình: 2log 3( )1 1 log3 2( )1 5 5
x − + = x + .
Câu III. (1,0 ñiểm) Tính tích phân ∫
+
+
=
5
1
2
3 1
1
dx
x x
x
I .
Câu IV. (1,0 ñiểm) Cho hình lăng trụ tam giác ñều ' ABC.A'B'C có ).0 AB = ,1 CC'= m (m >
Tìm m biết rằng góc giữa hai ñường thẳng AB' và BC' bằng 0
60 .
Câu V. (1,0 ñiểm) Cho các số thực không âm x, y,z thoả mãn 3 2 2 2
x + y + z = . Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
8
x y z
A xy yz zx
+ +
= + + +
5
.
B. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần a, hoặc b).
a. Theo chương trình Chuẩn:
Câu VIa. (2,0 ñiểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ , Oxy cho tam giác ABC có )6;4( A ,
phương trình các ñường thẳng chứa ñường cao và trung tuyến kẻ từ ñỉnh C lần lượt là
2x − y +13 = 0 và 0 6x −13y + 29 = . Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
2. Trong không gian với hệ toạ ñộ , Oxyz cho hình vuông MNPQ có )4 M ;3;5( − ),1 P ;3;2( − .
Tìm toạ ñộ ñỉnh Q biết rằng ñỉnh N nằm trong mặt phẳng .0 (γ :) x + y − z − 6 =
Câu VIIa. (1,0 ñiểm) Cho tập E = { 6,5,4,3,2,1,0 }. Từ các chữ số của tập E lập ñược bao nhiêu
số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số ñôi một khác nhau?
b. Theo chương trình Nâng cao:
Câu VIb. 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ , Oxy xét elíp ) (E ñi qua ñiểm )3 M (− ;2 − và có
phương trình một ñường chuẩn là .0 x + 8 = Viết phương trình chính tắc của ). (E
2. Trong không gian với hệ toạ ñộ , Oxyz cho các ñiểm )2;3;0( A ),0;0;1( B ),0;1;0( C và mặt
phẳng .0 (α :) x + 2y + 2 = Tìm toạ ñộ của ñiểm M biết rằng M cách ñều các ñiểm A, và B, C
mặt phẳng ). (α
Câu VIIb. (1,0 ñiểm) Khai triển và rút gọn biểu thức n
1 x 1(2 x) ... n 1( x)
2
− + − + + − thu ñược ña
thức n
n P(x) = a + a x +...+ a x 0 1
. Tính hệ số 8
a biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn
C C n n n
1 7 1
2 3
+ = .
ðÁP ÁN ðỀ 3
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm)
Câu I. (2,0 ñiểm) Cho hàm số y = x − (3 m + )1 x + 9x − m
3 2
, với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho ứng với 1 m = .
Víi m = 1 ta cã 6 9 1
3 2
y = x − x + x − .
* TËp x¸c ®Þnh: D = R
* Sù biÕn thiªn
• ChiÒu biÕn thiªn: ' 3 12 9 (3 4 )3
2 2
y = x − x + = x − x +
Ta cã
<
>
> ⇔
1
3
' 0
x
x
y , y'< 0 ⇔ 1 < x < 3 .
Do ®ã:
+ Hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (−∞ )1, vµ ,3( + ∞).
+ Hàm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng ,1( ).3
• Cùc trÞ: Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x =1 vµ y = y )1( = 3 CD ; ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 3 vµ
y = y )3( = −1 CT .
9
• Giíi h¹n: = −∞ = +∞
→−∞ →+∞
y y
x x
lim ; lim .
• B¶ng biÕn thiªn:
• §å thÞ:
§å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm ,0( − )1 .
2.Xác ñịnh m ñể hàm số ñã cho ñạt cực trị tại 1 2
x , x sao cho x1 − x2 ≤ 2 .
Ta cã ' 3 (6 )1 .9
2
y = x − m + x +
+) Hµm sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiÓu t¹i 1 2
x , x
⇔ ph−¬ng tr×nh y'= 0 cã hai nghiÖm pb lµ 1 2
x , x
⇔ Pt (2 )1 3 0
2
x − m + x + = cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ 1 2
x , x .
< − −
> − +
⇔ ∆ = + − > ⇔
1 3
1 3
' ( )1 3 0
2
m
m
m )1(
+) Theo ®Þnh lý Viet ta cã x1 + x2 = (2 m + );1 x1
x2 = .3 Khi ®ã
2 ( ) 4 4 4( 1) 12 4
2
1 2
2
x1 − x2 ≤ ⇔ x1 + x2 − x x ≤ ⇔ m + − ≤
( )1 4 3 1 )2(
2 ⇔ m + ≤ ⇔ − ≤ m ≤
Tõ (1) vµ (2) suy ra gi¸ trÞ cña m lµ − 3 ≤ m < −1− 3 vµ −1+ 3 < m ≤ .1
Câu II. (2,0 ñiểm)
1. Giải phương trình: )
2
2sin(
sin cos
sin 2
cot
2
1 π
= +
+
+ x
x x
x
x .
§iÒu kiÖn: sin x ≠ ,0 sin x + cos x ≠ .0
Pt ®_ cho trë thµnh 2cos 0
sin cos
2sin cos
2 sin
cos
− =
+
+ x
x x
x x
x
x
) sin 2 0
4
cos sin(
0
sin cos
2cos
2 sin
cos 2
=
⇔ + −
=
+
⇔ −
x x x
x x
x
x
x
π
+) , .
2
cos x = 0 ⇔ x = + kπ k ∈Ζ
π
+) ∈Ζ
= +
= +
⇔
= − − +
= + +
= + ⇔ m n
n
x
x m
x x n
x x m
x x ,
3
2
4
2
4
2
4
2
2
4
2
)
4
sin 2 sin(
π π
π
π
π
π
π
π
π
π
, .
3
2
4
⇔ = + t ∈Ζ
t
x
π π
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ
π
π
x = + k
2
; , , .
3
2
4
= + k t ∈Ζ
t
x
π π
2.Giải phương trình: 2log 3( )1 1 log3 2( )1 5 5
x − + = x + .
§iÒu kiÖn .
3
1
x > (*)