Xây dựng đường cong chỉnh hình với một số tập vô hạn số khuyết

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ THỊ HỒNG NGA

XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH

VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2008

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ THỊ HỒNG NGA

XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH

VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. TẠ THỊ HOÀI AN

THÁI NGUYÊN – 2008

Môc lôc

Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lêi më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 5

1.1 C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh. . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 C¸c hµm Nevanlinna cho ®­êng cong chØnh h×nh. . . . . . . . 17

2 §­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt 20

2.1 C¸c kÕt qu¶ bæ trî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 C¸c vÝ dô vÒ ®­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. . 31

KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Tµi liÖu tham kh¶o 42

1

Lêi më ®Çu

Lý thuyÕt Nevanlinna ra ®êi vµo nh÷ng n¨m ®Çu cña thÕ kû 20 vµ ®·

nhËn ®­îc sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi. Lý thuyÕt

Nevanlinna cæ ®iÓn nghiªn cøu sù ph©n bè gi¸ trÞ cña hµm ph©n h×nh f th«ng

qua hµm ®Æc tr­ng T(f, a, r) - hµm ®o cÊp t¨ng cña hµm ph©n h×nh, hµm ®Õm

N(f, a, r) - ®Õm sè lÇn hµm f nhËn gi¸ trÞ a trong ®Üa b¸n kÝnh r, vµ hµm

xÊp xØ m(f, a, r) - ®o ®é gÇn ®Õn a cña hµm f (xem §Þnh nghÜa 1.1.3, 1.1.1,

vµ 1.1.2). Träng t©m cña lý thuyÕt nµy lµ hai ®Þnh lý c¬ b¶n. §Þnh lý c¬ b¶n

thø nhÊt thÓ hiÖn sù ®éc lËp cña hµm ®Æc tr­ng víi mäi gi¸ trÞ a ∈ C ∪ {∞}.

§Þnh lý c¬ b¶n thø hai nãi r»ng víi hÇu hÕt c¸c gi¸ trÞ a, hµm ®Õm N(f, a, r)

tréi h¬n h¼n hµm xÊp xØ m(f, a, r). §iÒu nµy dÉn ®Õn ®Þnh nghÜa sè khuyÕt

cña hµm f t¹i gi¸ trÞ a nh­ sau

δ(f, a) := lim inf

r→∞

{1 −

N(f, a, r)

T(f, a, r)

}.

Gi¸ trÞ a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cho hµm f nÕu δ(f, a) > 0. Quan hÖ sè

khuyÕt lµ mét d¹ng ph¸t biÓu kh¸c cña §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna,

cô thÓ lµ Nevanlinna ®· chøng minh r»ng

X

a∈C∪{∞}

δ(f, a) 6 2.

MÆt kh¸c, §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho ta thÊy r»ng sè khuyÕt cña hµm ph©n

h×nh t¹i mét gi¸ trÞ nµo ®ã n»m trong ®o¹n [0, 1]. H¬n n÷a ng­êi ta ®· chøng

minh ®­îc r»ng tËp c¸c gi¸ trÞ khuyÕt lµ ®Õm ®­îc. Nh­ vËy mét c©u hái tù

nhiªn ®­îc ®Æt ra lµ: Cho 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, gi¶ sö {δi} lµ d·y c¸c sè thùc

kh«ng ©m sao cho

0 < δi ≤ 1,

X

i

δi ≤ 2.

2