Xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ THƯƠNG

XẤP XỈ KHÔNG ĐIỂM CHUNG

CỦA HAI TOÁN TỬ j-ĐƠN ĐIỆU TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Trương Minh Tuyên

Thái Nguyên – 2017

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trương Minh Tuyên, người đã

tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để hoàn

thành luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy, cô giáo trong khoa

Toán - Tin, trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường.

Tôi xin chân thành cảm ơn các học viên trong lớp Cao học Toán K9A và các

bạn đồng nghiệp về sự động viên, khích lệ cũng như trao đổi về chuyên môn

trong suốt quá trình tôi học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.

iii

Mục lục

Lời cảm ơn iii

Một số ký hiệu và viết tắt v

Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1. Một số vấn đề cơ bản về cấu trúc hình học của không gian Banach 3

1.2. Một số phương pháp tìm không điểm của toán tử j-đơn điệu . . . 9

1.2.1. Phương pháp điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2. Phương pháp lặp kiểu Halpern . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3. Phương pháp xấp xỉ mềm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử j-đơn điệu 15

2.1. Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp xấp xỉ mềm . 15

2.2. Tính ổn định của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Ứng dụng và ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1. Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.2. Bài toán chấp nhận lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.4. Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.5. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kết luận 39

iv

Một số ký hiệu và viết tắt

E không gian Banach

E

∗

không gian đối ngẫu của E

R tập hợp các số thực

R

+ tập các số thực không âm

inf M cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M cận trên đúng của tập hợp số M

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền ảnh của toán tử A

I toán tử đồng nhất

lim sup

n→∞

xn giới hạn trên của dãy số {xn}

xn −→ x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0

xn * x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0

J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

ρE(τ ) mô đun trơn của không gian Banach E

F ix(T) hoặc F(T) tập điểm bất động của ánh xạ T

∂f dưới vi phân của hàm lồi f

M bao đóng của tập hợp M

o(t) vô cùng bé bậc cao hơn t

v