Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Xác suất thống kê cơ bản
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
Ch ’u ’ong 1
NHUNG KH ˜’ AI NI ´ Eˆ
. M CO B’ AN V
’ ˆ`E XAC SU ´ ATˆ´
1. BO T ˆ’ UC V ´ ˆ`E GIAI T ’ ´ICH TO H ˆ’ O’
. P
1.1 Qui tac nhˆan ˘´
Gia s ’ ’u mˆo ’ .
t cˆong viˆe.c n`ao ¯d´o ¯du’o’
.
c chia th`anh k giai ¯doa.n. C´o n1 c´ach thu’
.
c hiˆe.n giai
¯doa.n th´u nh ’ ˆat, ´ n2 c´ach thu’
.
c hiˆe.n giai ¯doa.n th´u hai,..., ’ nk c´ach thu’
.
c hiˆe.n giai ¯doa.n th´u’
k. Khi ¯d´o ta c´o
n = n1.n2 . . . nk
c´ach thu’
.
c hiˆe.n cˆong viˆe.c.
• V´ı du. 1 Gia s ’ ’u ¯d’
’ˆe ¯di tu A ¯d `’ ˆen C ta b ´ at buˆo ˘´
. c phai ¯di qua ¯di ’
’ˆem B. C´o 3 ¯du’ong kh´ac `’
nhau ¯d ’ˆe ¯di tu A ¯d `’ ˆen B v`a c´o 2 ¯d ´ u’ong kh´ac nhau ¯d `’
’ˆe ¯di tu B ¯d `’ ˆen C. Vˆa ´
. y c´o n = 3.2 c´ach
kh´ac nhau ¯d ’ˆe ¯di tu A ¯d `’ ˆen C. ´
A B C
1.2 Chinh h ’
o’
.p
✷ ¯Di
.nh nghia 1 ˜ Chinh h ’ o’. p chˆa. p k cua n ph ’ ˆan t ` ’u’ (k ≤ n) l`a mˆo.
t nh´om (bˆo.
) c´o th´u t ’ u’.
gˆom k ph ` ˆan t ` ’u kh´ac nhau cho ’ . n tu n ph `’ ˆan t ` ’u ¯d˜a cho. ’
Sˆo ch ´ inh h ’ o’. p chˆa. p k cua n ph ’ ˆan t ` ’u k´ı hiˆe ’ .u l`a Ak
n
.
Cˆong thuc t´ınh: ´’ A
k
n =
n!
(n − k)! = n(n − 1). . .(n − k + 1)
• V´ı du. 2 Mˆo.
t bu ’ˆoi ho. p gˆom 12 ng ` u’oi tham d `’ u’.
. Hoi c´o m ’ ˆay c´ach cho ´
. n mˆo.
t chu to ’
. a
v`a mˆo.
t thu k´y? ’
Giai’
Mˆoi c´ach cho ˜
.n mˆo.
t chu to ’
.a v`a mˆo.
t thu k´y t ’ u 12 ng `’ u’oi tham d `’ u’
. bu ’ˆoi ho.p l`a mˆo.
t
chinh h ’ o’
.p chˆa.p k cua 12 ph ’ ˆan t ` ’u.’
1
2 Ch ’u ’ong 1. Nhung kh´ai ni ˜’ ˆem c . o b’ an v ’ ˆe x´ac su ` ˆat´
Do ¯d´o sˆo c´ach cho ´
.n l`a A2
12 = 12.11 = 132.
• V´ı du. 3 Voi c´ac ch ´’ u s ˜’ ˆo 0,1,2,3,4,5 c´o th ´ ’ˆe lˆa. p ¯du’o’.
c bao nhiˆeu sˆo kh´ac nhau g ´ ˆom 4 `
chu s ˜’ ˆo.´
Giai’
C´ac sˆo b´ ˘´at ¯dˆau b ` ˘`ang chu s ˜’ ˆo 0 (0123, 0234,...) khˆong ph ´ ai l`a s ’ ˆo g ´ ˆom 4 ch ` u s ˜’ ˆo.´
Chu s ˜’ ˆo ¯d´ ˆau tiˆen ph ` ai cho ’
.n trong c´ac chu s ˜’ ˆo 1,2,3,4,5. Do ¯d´o c´o 5 c´ach cho ´
.n chu s ˜’ ˆo´
¯dˆau tiˆen. `
Ba chu s ˜’ ˆo k ´ ˆe ti ´ ˆep c´o th ´ ’ˆe cho.n t`uy ´y trong 5 chu s ˜’ ˆo c`on la ´
.
i. C´o A3
5
c´ach cho.n.
Vˆa.y sˆo c´ach cho ´
.n l`a 5.A3
5 = 5.(5.4.3) = 300
1.3 Chinh h ’
o’
.p la˘.p
✷ ¯Di
.nh nghia 2 ˜ Chinh h ’ o’. p la˘. p chˆa. p k cua n ph ’ ˆan t ` ’u l`a mˆo ’ .
t nh´om c´o th´u t ’ u’.
gˆom k `
phˆan t ` ’u cho ’ . n tu n ph `’ ˆan t ` ’u ¯d˜a cho, trong ¯d´o m ’ ˆoi ph ˜ ˆan t ` ’u c´o th ’
’ˆe c´o ma˘.
t 1,2,...,k lˆan trong `
nh´om.
Sˆo ch ´ inh h ’ o’. p la˘. p cha˘. p k cua n ph ’ ˆan t ` ’u ¯d’ u’o’.
c k´ı hiˆe.u Bk
n
.
Cˆong thuc t´ınh ´’
Bk
n = n
k
• V´ı du. 4 Xˆep 5 cu ´ ˆon s´ach v`ao 3 ng ´ an. H ˘ oi c´o bao nhiˆeu c´ach x ’ ˆep ? ´
Giai’
Mˆoi c´ach x ˜ ˆep 5 cu ´ ˆon s´ach v`ao 3 ng ´ an l`a mˆo ˘ .
t chinh h ’ o’
.p la˘.p chˆa.p 5 cua 3 (M ’ ˆoi l ˜ ˆan`
xˆep 1 cu ´ ˆon s´ach v`ao 1 ng ´ an xem nh ˘ u cho ’ .n 1 ngan trong 3 ng ˘ an. Do c´o 5 cu ˘ ˆon s´ach nˆen ´
viˆe.c cho.n ngan ¯d ˘ u’o’
.
c tiˆen h`anh 5 l ´ ˆan). `
Vˆa.y sˆo c´ach x ´ ˆep l`a ´ B5
3 = 35 = 243.
1.4 Ho´an vi
.
✷ ¯Di
.nh nghia 3 ˜ Ho´an vi. cua m ph ’ ˆan t ` ’u l`a mˆo ’ .
t nh´om c´o th´u t ’ u’.
gˆom ¯d ` u m’ a˘.
t m phˆan`
t
’u ¯d˜a cho. ’
Sˆo ho´an vi ´
. cua m ph ’ ˆan t ` ’u ¯d’ u’o’.
c k´ı hiˆe.u l`a Pm.
Cˆong thuc t´ınh ´’
Pm = m!
• V´ı du. 5 Mˆo.
t b`an c´o 4 ho. c sinh. Hoi c´o m ’ ˆay c´ach x ´ ˆep ch ´ ˆo ng ˜ ˆoi ? `
Giai’
Mˆoi c´ach x ˜ ˆep ch ´ ˆo c ˜ ua 4 ho ’
. c sinh ’o mˆo ’ .
t b`an l`a mˆo.
t ho´an vi
. cua 4 ph ’ ˆan t ` ’u. Do ¯d´o s ’ ˆo´
c´ach xˆep l`a ´ P4 = 4! = 24.
1. B ’ˆo t´uc vˆe gi ` ai t´ıch t ’
’ˆo hop.’ 3
1.5 Tˆo h’
o’
.p
✷ ¯Di
.nh nghia 4 ˜ T ’ˆo ho’. p chˆa. p k cua n ph ’ ˆan t ` ’u’ (k ≤ n) l`a mˆo.
t nh´om khˆong phˆan biˆe.
t
th´u t ’ u’.
, gˆom k ph ` ˆan t ` ’u kh´ac nhau cho ’ . n tu n ph `’ ˆan t ` ’u ¯d˜a cho. ’
Sˆo t ´ ’ˆo ho’. p chˆa. p k cua n ph ’ ˆan t ` ’u k´ı hiˆe ’ .u l`a C
k
n
.
Cˆong thuc t´ınh ´’
C
k
n =
n!
k!(n − k)! =
n(n − 1). . .(n − k + 1)
k!
Ch´u ´y
i) Qui u’
´oc 0! = 1. ’
ii) C
k
n = C
n−k
n
.
iii) C
k
n = C
k−1
n−1 + C
k
n−1
.
• V´ı du. 6 Mˆoi ¯d ˜ ˆe thi g ` ˆom 3 cˆau h ` oi l ’ ˆay trong 25 cˆau h ´ oi cho tr ’ u’
´oc. H ’ oi c´o th ’ ’ˆe lˆa. p
nˆen bao nhiˆeu ¯dˆe thi kh´ac nhau ? `
Giai’
Sˆo ¯d´ ˆe thi c´o th ` ’ˆe lˆa.p nˆen l`a C
3
25 =
25!
3!.(22)! =
25.24.23
1.2.3
= 2.300.
• V´ı du. 7 Mˆo.
t m´ay t´ınh c´o 16 c ’ˆong. Gia s ’ ’u ta ’ .
i mˆoi th ˜ oi ¯di `’
’ˆem bˆat k`y m ´ ˆoi c ˜ ’ˆong hoa˘. c
trong s ’u du ’ . ng hoa˘. c khˆong trong s ’u du ’ . ng nhung c´o th ’
’ˆe hoa.
t ¯dˆo. ng hoa˘. c khˆong th ’ˆe hoa.
t
¯dˆo. ng. Hoi c´o bao nhiˆeu c ’ ˆau h`ınh (c´ach cho ´
. n) trong ¯d´o 10 c ’ˆong trong s ’u du ’ . ng, 4 khˆong
trong s ’u du ’ . ng nhung c´o th ’
’ˆe hoa.
t ¯dˆo. ng v`a 2 khˆong hoa.
t ¯dˆo. ng?
Giai’
¯D ’ˆe x´ac ¯di
.nh sˆo c´ach cho ´
.n ta qua 3 bu’
´oc: ’
Bu’oc 1: ´’ Cho.n 10 c ’ˆong s’u du ’ . ng: c´o C
10
16 = 8008 c´ach.
Bu’oc 2: ´’ Cho.n 4 c ’ˆong khˆong trong s’u du ’ . ng nhung c´o th ’
’ˆe hoa.
t ¯dˆo.ng trong 6 c ’ˆong c`on
la.
i: c´o C
4
6 = 15 c´ach.
Bu’oc 3: ´’ Cho.n 2 c ’ˆong khˆong th ’ˆe hoa.
t ¯dˆo.ng: c´o C
2
2 = 1 c´ach.
Theo qui t˘´ac nhˆan, ta c´o C
10
16 .C4
6
.C2
2 = (8008).(15).(1) = 120.120 c´ach.
1.6 Nhi
.
thuc Newton ´’
’O ph ’
’ˆo thˆong ta ¯d˜a biˆet c´ac h ´ ˘`ang ¯d ’ang th ˘ ´uc ¯d´ang nh ’
´o’
a + b = a
1 + b
1
(a + b)
2 = a
2 + 2a
1
b
1 + b
2
(a + b)
3 = a
3 + 3a
2
b
1 + 3a
1
b
2 + b
3
C´ac hˆe.
sˆo trong c´ac h ´ ˘`ang ¯d ’ang th ˘ ´uc trˆen c´o th ’
’ˆe x´ac ¯di
.nh tu tam gi´ac Pascal `’
4 Ch ’u ’ong 1. Nhung kh´ai ni ˜’ ˆem c . o b’ an v ’ ˆe x´ac su ` ˆat´
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
C
0
n C
1
n C
2
n C
3
n C
4
n
. . . Cn−1
n C
n
n
Newton ¯d˜a ch´ung minh ¯d ’ u’o’
.
c cˆong th´uc t ’
’ˆong qu´at sau (Nhi.
th´uc Newton ’ ):
(a + b)
n =
Xn
k=o
C
k
na
n−k
b
k
= C
0
na
n + C
1
na
n−1
b + C
2
na
n−2
b
2 + . . . + C
k
na
n−k
b
k + . . . + C
n−1
n abn−1 + C
n
n
b
n
(a,b l`a c´ac sˆo th ´ u’
.
c; n l`a sˆo t ´ u’
. nhiˆen)
2. BIˆ´EN CO V ˆ´ A QUAN H ` Eˆ
. GIUA C ˜’ AC BI ´ ˆ´EN COˆ´
2.1 Ph´ep th’u v`a bi ’ ˆen c ´ ˆo´
Viˆe.c thu’
.
c hiˆe.n mˆo.
t nh´om c´ac ¯diˆeu kiˆe `
.n co b’ an ¯d ’
’ˆe quan s´at mˆo.
t hiˆe.n tu’o’
.ng n`ao ¯d´o
¯du’o’
.
c go.
i mˆo.
t ph´ep th ’u. C´ac k ’ ˆet qu ´ a c´o th ’
’ˆe xay ra c ’ ua ph´ep th ’ ’u ¯d’ u’o’
.
c go.
i l`a biˆen c ´ ˆo (s ´ u’
.
kiˆe.n).
• V´ı du. 8
i) Tung ¯dˆong ti ` ˆen lˆen l`a mˆo ` .
t ph´ep th ’u. D ’ ¯
ˆong ti ` ˆen lˆa ` .
t ma˘.
t n`ao ¯d´o (xˆap, ng ´ ’ua) l`a mˆo ’ .
t
biˆen c ´ ˆo.´
ii) Ban mˆo ˘´
.
t ph´at s´ung v`ao mˆo.
t c´ai bia l`a mˆo.
t ph´ep th ’u. Viˆe ’ . c viˆen ¯da. n tr´ung (trˆa.
t)
bia l`a mˆo.
t biˆen c ´ ˆo.´
2.2 C´ac biˆen c ´ ˆo v`a quan hˆe ´
. giua c´ac bi ˜’ ˆen c ´ ˆo´
i) Quan hˆe. k´eo theo
Biˆen c ´ ˆo A ¯d ´ u’o’
.
c go.
i l`a k´eo theo biˆen c ´ ˆo B, k´ı hiˆe ´
.u A ⊂ B, nˆeu A x ´ ay ra th`ı B x ’ ay’
ra.
ii) Quan hˆe.
tu’ong ¯d ’ u’ong ’
Hai biˆen c ´ ˆo A v`a B ¯d ´ u’o’
.
c go.
i l`a tu’ong ¯d ’ u’ong v ’
´oi nhau n ’ ˆeu´ A ⊂ B v`a B ⊂ A, k´ı hiˆe.u
A = B.
iii) Biˆen c ´ ˆo s ´ o c ’ ˆap´
Biˆen c ´ ˆo s ´ o c ’ ˆap l`a bi ´ ˆen c ´ ˆo khˆong th ´ ’ˆe phˆan t´ıch ¯du’o’
.
c nua ¯d ˜’ u’o’
.
c nua. ’
iv) Biˆen c ´ ˆo ch ´ ac ch ˘´ an˘´
L`a biˆen c ´ ˆo nh ´ ˆat ¯di ´
.nh s˜e xay ra khi th ’ u’
.
c hiˆe.n ph´ep th ’u. K´ı hiˆe ’ .u Ω.
2. Biˆen c ´ ˆo v`a quan h ´ ˆe gi . ua c´ac bi ˜’ ˆen c ´ ˆo´ 5
• V´ı du. 9 Tung mˆo.
t con x´uc xac. Bi ˘´ ˆen c ´ ˆo m´ a˘.
t con x´uc xac c´o s ˘´ ˆo ch ´ ˆam b´e h ´ on 7 l`a ’
biˆen c ´ ˆo ch ´ ac ch ˘´ an. ˘´
v) Biˆen c ´ ˆo khˆong th ´ ˆe’
L`a biˆen c ´ ˆo nh ´ ˆat ¯di ´
.nh khˆong xay ra khi th ’ u’
.
c hiˆe.n ph´ep th ’u. K´ı hiˆe ’ .u ∅.
⊕ Nhˆa.n x´et Biˆen c ´ ˆo khˆong th ´ ’ˆe ∅ khˆong bao h`am mˆo.
t biˆen c ´ ˆo s ´ o c ’ ˆap n`ao, ngh ´ ia l`a ˜
khˆong c´o biˆen c ´ ˆo s ´ o c ’ ˆap n`ao thuˆa ´
.n lo’
.
i cho biˆen cˆo khˆong th ´ ’ˆe.
vi) Biˆen c ´ ˆo ng ´ ˆau nhiˆen ˜
L`a biˆen c ´ ˆo c´o th ´ ’ˆe xay ra ho ’ a˘. c khˆong xay ra khi th ’ u’
.
c hiˆe.n ph´ep th ’u. Ph´ep th ’
’u m`a ’
c´ac kˆet qu ´ a c ’ ua n´o l`a c´ac bi ’ ˆen c ´ ˆo ng ´ ˆau nhiˆen ¯d ˜ u’o’
.
c go.
i l`a ph´ep th ’u ng ’ ˆau nhiˆen. ˜
vii) Biˆen c ´ ˆo t ´ ˆong ’
Biˆen c ´ ˆo C ¯d ´ u’o’
.
c go.
i l`a t ’ˆong cua hai bi ’ ˆen c ´ ˆo A v`a B, k´ı hiˆe ´
.u C = A + B, nˆeu C x ´ ay’
ra khi v`a chi khi ´ıt nh ’ ˆat mˆo ´
.
t trong hai biˆen c ´ ˆo A v`a B x ´ ay ra. ’
• V´ı du. 10 Hai ngu’oi th `’ o’.
san c`ung b ˘ an v`ao mˆo ˘´
.
t con th´u. Nˆeu go ´
.
i A l`a biˆen c ´ ˆo ng ´ u’oi `’
th´u nh ’ ˆat b ´ an tr´ung con th´u v`a B l`a bi ˘´ ˆen c ´ ˆo ng ´ u’oi th `’ ´u hai b ’ an tr´ung con th´u th`ı ˘´ C = A+B
l`a biˆen c ´ ˆo con th´u bi ´
. ban tr´ung. ˘´
Ch´u ´y
i) Mo.
i biˆen c ´ ˆo ng ´ ˆau nhiˆen A ¯d ˜ ˆeu bi ` ’ˆeu diˆen ¯d ˜ u’o’
.
c du’
´oi da ’ .ng t ’ˆong cua mˆo ’
.
t sˆo bi ´ ˆen c ´ ˆo´
so c ’ ˆap n`ao ¯d´o. C´ac bi ´ ˆen c ´ ˆo s ´ o c ’ ˆap trong t ´ ’ˆong n`ay ¯du’o’
.
c go.
i l`a c´ac biˆen c ´ ˆo thuˆa ´
. n lo’.
i cho
biˆen c ´ ˆo A. ´
ii) Biˆen c ´ ˆo ch ´ ˘´ac ch˘´an Ω l`a t ’ˆong cua mo ’
.
i biˆen c ´ ˆo s ´ o c ’ ˆap c´o th ´ ’ˆe, nghia l`a mo ˜
.
i biˆen c ´ ˆo´
so c ’ ˆap ¯d ´ ˆeu thuˆa `
.n lo’
.
i cho Ω. Do ¯d´o Ω c`on ¯du’o’
.
c go.
i l`a khˆong gian c´ac biˆen c ´ ˆo s ´ o c ’ ˆap´ .
• V´ı du. 11 Tung mˆo.
t con x´uc xac. Ta c´o 6 bi ˘´ ˆen c ´ ˆo s ´ o c’ ˆap´ A1, A2, A3, A4, A5, A6, trong
¯d´o Aj
l`a biˆen c ´ ˆo xu´at hiˆe ´
.n ma˘.
t j chˆam´ j = 1, 2, . . . , 6.
Go.
i A l`a biˆen c ´ ˆo xu ´ ˆat hiˆe ´
.n ma˘.
t voi s ´’ ˆo ch ´ ˆam ch ´ an th`ı A c´o 3 bi ˘˜ ˆen c ´ ˆo thuˆa ´
. n lo’.
i l`a
A2, A4, A6.
Ta c´o A = A2 + A4 + A6
Go.
i B l`a biˆen c ´ ˆo xu ´ ˆat hiˆe ´
.n ma˘.
t voi s ´’ ˆo ch ´ ˆam chia h ´ ˆet cho 3 th`ı B c´o 2 bi ´ ˆen c ´ ˆo thuˆa ´
. n
lo’.
i l`a A3, A6.
Ta c´o B = A3 + A6
viii) Biˆen c ´ ˆo t´ıch ´
Biˆen c ´ ˆo C ¯d ´ u’o’
.
c go.
i l`a t´ıch cua hai bi ’ ˆen c ´ ˆo A v`a B, k´ı hiˆe ´
.u AB, nˆeu C x ´ ay ra khi v`a ’
chi khi c ’ a A l ’ ˆan B c`ung x ˜ ay ra. ’
6 Ch ’u ’ong 1. Nhung kh´ai ni ˜’ ˆem c . o b’ an v ’ ˆe x´ac su ` ˆat´
• V´ı du. 12 Hai ngu’oi c`ung b `’ an v`ao mˆo ˘´
.
t con th´u.
Go.
i A l`a biˆen c ´ ˆo ng ´ u’oi th `’ ´u nh ’ ˆat b ´ an tr ˘´ u’o’.
t, B l`a biˆen c ´ ˆo ng ´ u’oi th `’ ´u hai b ’ an tr ˘´ u’o’.
t th`ı
C = AB l`a biˆen c ´ ˆo con th´u khˆong bi ´
. ban tr´ung. ˘´
ix) Biˆen c ´ ˆo hiˆe ´
.u
Hiˆe.u cua bi ’ ˆen c ´ ˆo A v`a bi ´ ˆen c ´ ˆo B, k´ı hiˆe ´
.u A \ B l`a biˆen c ´ ˆo x ´ ay ra khi v`a ch ’ i khi A ’
xay ra nh ’ ung B khˆong x ’ ay ra. ’
x) Biˆen c ´ ˆo xung kh ´ ac˘´
Hai biˆen c ´ ˆo A v`a B ¯d ´ u’o’
.
c go.
i l`a hai biˆen c ´ ˆo xung kh ´ ˘´ac nˆeu ch´ung khˆong ¯d ´ ˆong th ` oi `’
xay ra trong mˆo ’
.
t ph´ep th ’u.’
• V´ı du. 13 Tung mˆo.
t ¯dˆong ti ` ˆen. `
Go.
i A l`a biˆen c ´ ˆo xu ´ ˆat hiˆe ´
.n ma˘.
t xˆap, B l`a bi ´ ˆen c ´ ˆo xu ´ ˆat hiˆe ´
.n ma˘.
t ng ’ua th`ı ’ AB = ∅.
xi) Biˆen c ´ ˆo ¯d´ ˆoi lˆa ´
.p
Biˆen c ´ ˆo´ khˆong xay ra bi ’ ˆen c ´ ˆo A´ ¯du’o’
.
c go.
i l`a biˆen c ´ ˆo ¯d´ ˆoi lˆa ´
.p v´oi bi ’ ˆen c ´ ˆo A. K´ı hiˆe ´
.u A.
Ta c´o
A + A = Ω, AA = ∅
⊕ Nhˆa.n x´et
Qua c´ac kh´ai niˆe.m trˆen ta thˆay c´ac bi ´ ˆen c ´ ˆo t ´ ’ˆong, t´ıch, hiˆe.u, ¯dˆoi lˆa ´
.p tu’ong ’
´ung v ’
´oi’
tˆa.p ho’
.p, giao, hiˆe.u, phˆan b`u c ` ua l´y thuy ’ ˆet tˆa ´
.p ho’
.p. Do ¯d´o ta c´o th ’ˆe s’u du ’ . ng c´ac ph´ep
to´an trˆen c´ac tˆa.p ho’
.p cho c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac biˆen c ´ ˆo.´
Ta c´o th ’ˆe d`ung bi ’ˆeu ¯dˆo Venn ¯d ` ’ˆe miˆeu ta c´ac bi ’ ˆen c ´ ˆo.´
Ω
Bc ch˘´ac ch˘´an
Ω Ω
Ω Ω Ω
B A BA A A
A=⇒B
A+B AB
A,B xung kh˘´ac
¯Dˆoi lˆa ´
.p A
3. X´ac suˆat´ 7
3. XAC SU ´ ATˆ´
3.1 D¯ i
.nh nghia x´ac su ˜ ˆat theo l ´ ˆoi c ´ ˆo ¯di ’ ˆen’
✷ ¯Di
.nh nghia 5 ˜ Gia s ’ ’u ph´ep th ’
’u c´o n bi ’ ˆen c ´ ˆo ¯d ´ ˆong kh ` a n ’ ang c´o th ˘ ’ˆe xay ra, trong ¯d´o ’
c´o m biˆen c ´ ˆo ¯d ´ ˆong kh ` a n ’ ang thuˆa ˘ . n lo’.
i cho biˆen c ´ ˆo A (A l`a t ´ ’ˆong cua m bi ’ ˆen c ´ ˆo s ´ o c ’ ˆap´
n`ay). Khi ¯d´o x´ac suˆat c ´ ua bi ’ ˆen c ´ ˆo A, k´ı hiˆe ´
.u P(A) ¯du’o’.
c ¯di.nh nghia b ˜ ang cˆong th ˘` ´uc sau: ’
P(A) = m
n
=
Sˆo tr ´ u’ong h `’ o’. p thuˆa. n lo’.
i cho A
Sˆo tr ´ u’ong h `’ o’. p c´o th ’ˆe xay ra ’
• V´ı du. 14 Gieo mˆo.
t con x´uc xac cˆan ¯d ˘´ ˆoi, ¯d ´ ˆong ch ` ˆat. T´ınh x´ac su ´ ˆat xu ´ ˆat hiˆe ´
.n ma˘.
t
chan. ˘˜
Giai’
Go.
i Ai
l`a biˆen c ´ ˆo xu ´ ˆat hiˆe ´
.n ma˘.
t i chˆam v`a A l`a bi ´ ˆen c ´ ˆo xu ´ ˆat hiˆe ´
.n ma˘.
t chan th`ı ˘˜
A = A2 + A4 + A6
Ta thˆay ph´ep th ´ ’u c´o 6 bi ’ ˆen c ´ ˆo s ´ o c ’ ˆap ¯d ´ ˆong kh ` a n ’ ang c´o th ˘ ’ˆe xay ra trong ¯d´o c´o 3 ’
biˆen c ´ ˆo thuˆa ´
.n lo’
.
i cho A.
P(A) = 3
6
=
1
2
• V´ı du. 15 Mˆo.
t ngu’oi go `’ .
i ¯diˆe.n thoa.
i nhung la ’ .
i quˆen 2 sˆo cu ´ ˆoi c ´ ua s ’ ˆo ¯diˆe ´
.n thoa.
i cˆan`
go.
i m`a chi nh ’ o l`a 2 s ´’ ˆo ¯d´o kh´ac nhau. T`ım x´ac su ´ ˆat ¯d ´ ’ˆe ngu’oi ¯d´o quay ng `’ ˆau nhiˆen mˆo ˜
.
t
lˆan tr´ung s ` ˆo c ´ ˆan go ` .
i.
Giai’
Go.
i A l`a biˆen c ´ ˆo ng ´ u’oi ¯d´o quay ng `’ ˆau nhiˆen mˆo ˜
.
t lˆan tr´ung s ` ˆo c ´ ˆan go `
.
i.
Sˆo bi ´ ˆen c ´ ˆo s ´ o c’ ˆap ¯d ´ ˆong kh ` a n’ ang c´o th ˘ ’ˆe xay ra (s ’ ˆo c´ach go ´
.
i 2 sˆo cu ´ ˆoi) l`a ´ n = A2
10 = 90.
Sˆo bi ´ ˆen c ´ ˆo thuˆa ´
.n lo’
.
i cho A l`a m = 1.
Vˆa.y P(A) = 1
90 .
• V´ı du. 16 Trong hˆo. p c´o 6 bi trang, 4 bi ¯den. T`ım x´ac su ˘´ ˆat ¯d ´ ’ˆe lˆay t ´ u hˆo `’ . p ra ¯du’o’.
c
i) 1 viˆen bi ¯den.
ii) 2 viˆen bi trang. ˘´
Giai’
Go.
i A l`a biˆen c ´ ˆo l ´ ˆay t ´ u hˆo `’ .p ra ¯du’o’
.
c 1 viˆen bi ¯den v`a B l`a biˆen c ´ ˆo l ´ ˆay t ´ u hˆo `’ .p ra 2
viˆen bi tr˘´ang.
Ta c´o
8 Ch ’u ’ong 1. Nhung kh´ai ni ˜’ ˆem c . o b’ an v ’ ˆe x´ac su ` ˆat´
i) P(A) = C
1
4
C1
10
=
2
5
ii) P(B) = C
2
6
C2
10
=
1
3
• V´ı du. 17 R´ut ngˆau nhiˆen t ˜ u mˆo `’ .
t cˆo b`ai t´u l ˜ o kh ’ o 52 l´a ra 5 l´a. T`ım x´ac su ’ ˆat sao ´
cho trong 5 l´a r´ut ra c´o
a) 3 l´a ¯do v`a 2 l´a ¯den. ’
b) 2 con co, 1 con rˆo, 2 con chu ’ ˆon. `
Giai’
Go.
i A l`a biˆen c ´ ˆo r´ut ra ¯d ´ u’o’
.
c 3 l´a ¯do v`a 2 l´a ¯den. ’
B l`a biˆen c ´ ˆo r´ut ra ¯d ´ u’o’
.
c 2 con co, 1 con rˆo, 2 con chu ’ ˆon. `
Sˆo bi ´ ˆen c ´ ˆo c´o th ´ ’ˆe xay ra khi r´ut 5 l´a b`ai l`a ’ C
5
52.
a) Sˆo bi ´ ˆen c ´ ˆo thuˆa ´
.n lo’
.
i cho A l`a C
3
26.C2
26.
P(A) = C
3
26.C2
26
C5
52
=
845000
2598960
= 0, 3251
b) Sˆo bi ´ ˆen c ´ ˆo thuˆa ´
.n lo’
.
i cho B l`a C
2
13.C1
13.C2
13
P(B) = C
2
13.C1
13.C2
13
C5
52
=
79092
2598960
= 0, 30432
• V´ı du. 18 (B`ai to´an ng`ay sinh) Mˆo.
t nh´om gˆon` n ngu’oi. T`ım x´ac su `’ ˆat ¯d ´ ’ˆe c´o ´ıt
nhˆat hai ng ´ u’oi c´o c`ung ng`ay sinh (c`ung ng`ay v`a c`ung th´ang). `’
Giai’
Go.
i S l`a tˆa.p ho’
.p c´ac danh s´ach ng`ay sinh c´o th ’ˆe cua’ n ngu’oi v`a `’ E l`a biˆen c ´ ˆo c´o ´ıt ´
nhˆat hai ng ´ u’oi trong nh´om c´o c`ung ng`ay sinh trong n `’ am. ˘
Ta c´o E l`a biˆen c ´ ˆo khˆong c´o hai ng ´ u’oi b `’ ˆat k`y trong nh´om c´o c`ung ng`ay sinh. ´
Sˆo c´ac tr ´ u’ong h `’ o’
.p cua’ S l`a
n(S) = 365.365 . . . 365 | {z }
n
= 365n
Sˆo tr ´ u’ong h `’ o’
.p thuˆa.n lo’
.
i cho E l`a
n(E) = 365.364.363. . . . [365 − (n − 1)]
=
[365.364.363. . . .(366 − n)](365 − n)!
(365 − n)!
=
365!
(365−n)!
3. X´ac suˆat´ 9
V`ı c´ac biˆen cˆo ¯d´ ˆong kh ` a n’ ang nˆen ˘
P(E) = n(E)
n(S)
=
365!
(365−n)!
365n
=
365!
365n.(365 − n)!
Do ¯d´o x´ac suˆat ¯d ´ ’ˆe ´ıt nhˆat c´o hai ng ´ u’oi c´o c`ung ng`ay sinh l`a `’
P(E) = 1 − P(E) = 1 −
365!
(365−n)!
365n
=
365!
365n.(365 − n)!
Sˆo ng ´ u’oi trong nh´om `’ X´ac suˆat c´o ´ıt nh ´ ˆat 2 ng ´ u’oi c´o c`ung ng`ay sinh `’
n P(E)
5 0,027
10 0,117
15 0,253
20 0,411
23 0,507
30 0,706
40 0,891
50 0,970
60 0,994
70 0,999
Bang b`ai to´an ng`ay sinh ’
Ch´u ´y ¯Di
.nh nghia x´ac su ˜ ˆat theo l ´ ˆoi c ´ ’ˆo ¯di ’ˆen c´o mˆo.
t sˆo ha ´
.n chˆe:´
i) N´o chi x´et cho hˆe ’
. huu ha ˜’ .n c´ac biˆen c ´ ˆo s ´ o c ’ ˆap. ´
ii) Khˆong phai l´uc n`ao viˆe ’
.c ”¯dˆong kh ` a n’ ang” c˜ung x ˘ ay ra. ’
3.2 D¯ i
.nh nghia x´ac su ˜ ˆat theo l ´ ˆoi th ´ ˆong kˆe ´
✷ ¯Di
.nh nghia 6 ˜ Thu’.
c hiˆe.n ph´ep th ’u n l ’ ˆan. Gi ` a s ’ ’u bi ’ ˆen c ´ ˆo A xu ´ ˆat hiˆe ´
.n m lˆan. Khi `
¯d´o m ¯du’o’.
c go.
i l`a tˆan s ` ˆo c ´ ua bi ’ ˆen c ´ ˆo A v`a t ´ y s ’ ˆo´ m
n
¯du’o’.
c go.
i l`a tˆan su ` ˆat xu ´ ˆat hiˆe ´
.n biˆen´
cˆo A trong loa ´
.
t ph´ep th ’u.’
Cho sˆo ph´ep th ´ ’u t ’ ang lˆen vˆo ha ˘ . n, tˆan su ` ˆat xu ´ ˆat hiˆe ´
.n biˆen c ´ ˆo A d ´ ˆan v ` ˆe mˆo ` .
t sˆo x´ac ´
¯di.nh go.
i l`a x´ac suˆat c ´ ua bi ’ ˆen c ´ ˆo A. ´
P(A) = limn→∞
m
n
• V´ı du. 19 Mˆo.
t xa.
thu b ’ an 1000 viˆen ¯da ˘´
. n v`ao bia. C´o xˆap x ´ i 50 viˆen tr´ung bia. Khi ’
¯d´o x´ac suˆat ¯d ´ ’ˆe xa.
thu b ’ an tr´ung bia l`a ˘´ 50
1000 = 5%.
• V´ı du. 20 ¯D ’ˆe nghiˆen c´uu kh ’ a n’ ang xu ˘ ˆat hiˆe ´
.n ma˘.
t sˆap khi tung mˆo ´
.
t ¯dˆong ti ` ˆen, ng ` u’oi `’
ta tiˆen h`anh tung ¯d ´ ˆong ti ` ˆen nhi ` ˆeu l ` ˆan v`a thu ¯d ` u’o’.
c kˆet qu ´ a cho ’ ’o b ’ ang d ’ u’oi ¯dˆay: ´’
10 Ch ’u ’ong 1. Nhung kh´ai ni ˜’ ˆem c . o b’ an v ’ ˆe x´ac su ` ˆat´
Ngu’oi l`am `’ Sˆo l ´ ˆan` Sˆo l ´ ˆan ¯d ` u’o’
.
c Tˆan su ` ˆat´
th´ı nghiˆe.m tung ma˘.
t sˆap´ f(A)
Buyffon 4040 2.048 0,5069
Pearson 12.000 6.019 0,5016
Pearson 24.000 12.012 0,5005
3.3 D¯ i
.nh nghia x´ac su ˜ ˆat theo quan ¯di ´ ˆem h`ınh ho ’
.
c
✷ ¯Di
.nh nghia 7 ˜ X´et mˆo.
t ph´ep th ’u c´o khˆong gian c´ac bi ’ ˆen c ´ ˆo s ´ o c’ ˆap´ Ω ¯du’o’.
c bi ’ˆeu diˆen˜
b ’oi mi ’ ˆen h`ınh ho ` . c Ω c´o ¯dˆo. ¯do (¯dˆo. d`ai, diˆe.n t´ıch, th ’ˆe t´ıch) huu ha ˜’ . n kh´ac 0, biˆen c ´ ˆo A´
¯du’o’.
c bi ’ˆeu diˆen b ˜ ’oi mi ’ ˆen h`ınh ho ` . c A. Khi ¯d´o x´ac suˆat c ´ ua bi ’ ˆen c ´ ˆo A ¯d ´ u’o’.
c x´ac ¯di.nh b ’oi: ’
P(A) = ¯Dˆo. ¯do cua mi ’ ˆen A `
¯Dˆo. ¯do cua mi ’ ˆen` Ω
• V´ı du. 21 Trˆen ¯doa. n th˘’ang OA ta gieo ngˆau nhiˆen hai ¯di ˜ ’ˆem B v`a C c´o to. a ¯dˆo.
tu’ong ’
´ung ’ OB = x, OC = y (y ≥ x). T`ım x´ac suˆat sao cho ¯dˆo ´
. d`ai cua ¯doa ’
. n BC b´e hon ¯dˆo ’ .
d`ai cua ¯doa ’
. n OB.
Giai’
Gia s ’ ’u’ OA = l. C´ac to.a ¯dˆo. x v`a y phai’
thoa m˜an c´ac ¯di ’ ˆeu kiˆe `
.n:
0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, y ≥ x (*)
Bi ’ˆeu diˆen˜ x v`a y lˆen hˆe.
tru. c to.a ¯dˆo. vuˆong
g´oc. C´ac ¯di ’ˆem c´o to.a ¯dˆo.
thoa m˜an (*) thuˆo ’
. c
tam gi´ac OMQ (c´o th ’ˆe xem nhu bi ’ ˆen c ´ ˆo ch ´ ˘´ac
ch˘´an).
x
y
I M
y=2x
O
Q
Ma˘.
t kh´ac, theo yˆeu cˆau b`ai to´an ta ph ` ai c´o ’ y − x < x hay y < 2x (**). Nhung ¯di ˜’
’ˆem
c´o to.a ¯dˆo.
thoa m˜an (*) v`a (**) thuˆo ’
. c miˆen c´o ga `
. ch. Miˆen thuˆa `
.n lo’
.
i cho biˆen c ´ ˆo c ´ ˆan t`ım `
l`a tam gi´ac OMI. Vˆa.y x´ac suˆat c ´ ˆan t´ınh `
p =
diˆe.n t´ıch OMI
diˆe.n t´ıch OMQ =
1
2
• V´ı du. 22 (B`ai to´an hai ngu’oi g `’ a˘.p nhau)
Hai ngu’oi he `’ .n ga˘. p nhau ’o mˆo ’ .
t ¯di.a ¯dı ’ˆem x´ac ¯di.nh v`ao khoang t ’ u 19 gi `’ o ¯d `’ ˆen 20 gi ´ o. `’
Mˆoi ng ˜ u’oi ¯d `’ ˆen (ch ´ ac ch ˘´ an s˜e ¯d ˘´ ˆen) ¯di ´ ’ˆem he.n trong khoang th ’ oi gian trˆen mˆo `’ .
t c´ach ¯dˆo. c
lˆa. p voi nhau, ch ´’ o trong 20 ph´ut, n `’ ˆeu khˆong th ´ ˆay ng ´ u’oi kia ¯d `’ ˆen s˜e b ´ o ¯di. T`ım x´ac su ’ ˆat´
¯d
’ˆe hai ngu’oi g `’ a˘. p nhau.
3. X´ac suˆat´ 11
Giai’
Go.
i x, y l`a thoi gian ¯d `’ ˆen ¯di ´ ’ˆem he.n cua m ’ ˆoi ng ˜ u’oi `’
v`a A l`a biˆen c ´ ˆo hai ng ´ u’oi g `’ a˘.p nhau. R˜o r`ang x, y
l`a mˆo.
t ¯di ’ˆem ngˆau nhiˆen trong kho ˜ ang [19 ’ , 20], ta
c´o 19 ≤ x ≤ 20;
19 ≤ y ≤ 20.
¯D ’ˆe hai ngu’oi g `’ a˘.p nhau th`ı
|x − y| ≤ 20 ph´ut = 1
3
gio. `’
Do ¯d´o
Ω = {(x, y) : 19 ≤ x20, 19 ≤ y ≤ 20}
A = {(x, y) : |x − y| ≤ 1
3
}
o x
y
19 20
19
20
A
D
Diˆe.n t´ıch cua mi ’ ˆen Ω b ` ˘`ang 1.
Diˆe.n t´ıch cua mi ’ ˆen A b ` ˘`ang 1 − 2.
1
2
.
2
3
.
2
3 =
5
9
Vˆa.y P(A) = diˆe.n t´ıch A
diˆe.n t´ıch Ω =
5/9
1
= 0, 555.
3.4 D¯ i
.nh nghia x´ac su ˜ ˆat theo tiˆen ¯d ´ ˆe`
Gia s ’ ’u Ω l`a bi ’ ˆen c ´ ˆo ch ´ ˘´ac ch˘´an. Go.
i A l`a ho. c´ac tˆa.p con cua Ω th ’ oa c´ac ¯di ’ ˆeu kiˆe `
.n
sau:
i) A ch´ua Ω. ’
ii) Nˆeu´ A, B ∈ A th`ı A, A + B, AB thuˆo. c A.
Ho. A thoa c´ac tiˆen ¯d ’ ˆe i) v`a ii) th`ı ` A ¯du’o’.
c go.
i l`a ¯da.
i sˆo´.
iii) Nˆeu´ A1, A2, . . . , An, . . . l`a c´ac phˆan t ` ’u c ’ ua’ A th`ı t ’ˆong v`a t´ıch vˆo ha.n A1 + A2 +
. . . + An v`a A1A2 . . . An . . . c˜ung thuˆo. c A.
Nˆeu´ A thoa c´ac ¯di ’ ˆeu kiˆe `
.n i), ii), iii) th`ı A ¯du’o’
.
c go.
i l`a σ ¯da.
i sˆo.´
✷ ¯Di
.nh nghia 8 ˜ Ta go.
i x´ac suˆat trˆen ´ (Ω, A) l`a mˆo.
t h`am P sˆo x´ac ¯di ´
.nh trˆen A c´o gi´a
tri.
trong [0,1] v`a thoa m˜an 3 tiˆen ¯d ’ ˆe sau: `
i) P(Ω) = 1.
ii) P(A + B) = P(A) + P(B) (voi A, B xung kh ´’ ac). ˘´
iii) Nˆeu d˜ay ´ {An} c´o t´ınh chˆat´ A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ An ⊃ . . . v`a A1A2 . . . An . . . = ∅ th`ı
limn→∞
P(An) = 0.
12 Ch ’u ’ong 1. Nhung kh´ai ni ˜’ ˆem c . o b’ an v ’ ˆe x´ac su ` ˆat´
3.5 C´ac t´ınh chˆat c ´ ua x´ac su ’ ˆat´
i) 0 ≤ P(A) ≤ 1 v´oi mo ’ .
i biˆen c ´ ˆo A´
ii) P(Ω) = 1
iii) P(∅) = 0
iv) Nˆeu´ A ⊂ B th`ı P(A) ≤ P(B).
v) P(A) + P(A) = 1.
vi) P(A) = P(AB) + P(AB).
4. MOˆ
. T SO C ˆ´ ONG TH ˆ UC T ´’ ´INH XAC SU ´ ATˆ´
4.1 Cˆong thuc cˆo ´’ .ng x´ac suˆat´
Cˆong thuc 1 ´’
Gia s ’ ’u’ A v`a B l`a hai biˆen c ´ ˆo xung kh ´ ac ( ˘´ AB = ∅). Ta c´o
P(A + B) = P(A) + P(B)
Ch´ung minh ’
Gia s ’ ’u ph´ep th ’
’u c´o ’ n biˆen c ´ ˆo ¯d´ ˆong kh ` a n’ ang c´o th ˘ ’ˆe xay ra, trong ¯d´o c´o ’ mA biˆen c ´ ˆo´
thuˆa.n lo’
.
i cho biˆen c ´ ˆo´A v`a mB biˆen c ´ ˆo thuˆa ´
.n lo’
.
i cho biˆen c ´ ˆo´B. Khi ¯d´o sˆo bi ´ ˆen c ´ ˆo thuˆa ´
.n
lo’
.
i cho biˆen c ´ ˆo´ A + B l`a m = mA + mB.
Do ¯d´o
P(A + B) = mA + mB
n
=
mA
n
+
mB
n
= P(A) + P(B)
✷ ¯Di
.nh nghia 9 ˜
i) C´ac biˆen c ´ ˆo´ A1, A2, . . . , An ¯du’o’.
c go.
i l`a nh´om c´ac biˆen c ´ ˆo ¯d ´ ˆay ¯d ` u xung kh ’ ac t ˘´ ung `’
¯dˆoi nˆeu ch´ung xung kh ´ ac t ˘´ ung ¯dˆoi v`a t `’
’ˆong cua ch´ung l`a bi ’ ˆen c ´ ˆo ch ´ ac ch ˘´ an. Ta c´o ˘´
A1 + A2 + . . . + An = Ω, AiAj = ∅
ii) Hai biˆen c ´ ˆo A v`a B ¯d ´ u’o’.
c go.
i l`a hai biˆen c ´ ˆo ¯dˆo ´
. c lˆa. p nˆeu s ´ u’.
tˆon ta ` .
i hay khˆong tˆon`
ta.
i cua bi ’ ˆen c ´ ˆo n`ay khˆong ´ anh h ’ u’
’ong ¯d ’ ˆen s ´ u’.
tˆon ta ` .
i hay khˆong tˆon ta ` .
i cua bi ’ ˆen c ´ ˆo kia. ´
iii) C´ac biˆen c ´ ˆo´ A1, A2, . . . , An ¯du’o’.
c go.
i ¯dˆo. c lˆa. p to`an phˆan n ` ˆeu m ´ ˆoi bi ˜ ˆen c ´ ˆo ¯dˆo ´
. c lˆa. p
voi t´ıch c ´’ ua mˆo ’
.
t t ’ˆo ho’. p bˆat k`y trong c´ac bi ´ ˆen c ´ ˆo c`on la ´
.
i.
4 Hˆe. qua 1 ’
i) Nˆeu´ A1, A2, . . . , An l`a biˆen c ´ ˆo xung kh ´ ac t ˘´ ung ¯dˆoi th`ı `’
P(A1 + A2 + . . . + An) = P(A1) + P(A2) + . . . + P(An)