Xác suất cơ sở qua các ví dụ.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HUỲNH THỊ KIM PHƯỢNG

XÁC SUẤT CƠ SỞ QUA CÁC VÍ DỤ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60.46.0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Gia Định

Phản biện 1: TS. Cao Văn Nuôi

Phản biện 1: GS.TS. Lê Văn Thuyết

Luận văn đã được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn

thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14

tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Khoa học nghiên cứu về xác suất là một phát triển trong thời kỳ

cận đại. Việc chơi cờ bạc (gambling) cho chúng ta thấy rằng các ý

niệm về xác suất đã có từ trước đây hàng nghìn năm, tuy nhiên các ý

niệm đó được mô tả bởi toán học và sử dụng trong thực tế thì có

muộn hơn rất nhiều. Ảnh hưởng chính của lý thuyết xác suất trong

cuộc sống hằng ngày đó là việc xác định rủi ro và trong buôn bán

hàng hóa.

Hai nhà toán học Pierre de Fermat và Blaise Pascal là những

người đầu tiên đặt nền móng cho học thuyết về xác suất vào năm

(1654). Christiaan Huygens (1657) được biết đến như là người đầu

tiên có công trong việc đưa xác suất thành một vấn đề nghiên cứu

khoa học. Ngày nay lý thuyết xác suất trở thành một ngành vô cùng

quan trọng của toán học và các ngành khoa học khác.

Với sự phát triển của khoa học công nghệ, ngày nay máy tính

giúp cho việc tính toán các vấn đề xác suất thống kê ngày càng trở

nên dễ dàng, một khi đã có các số liệu đúng đắn và mô hình hợp lý.

Thế nhưng, bản thân máy tính không biết mô hình nào là hợp lý. Đấy

là vấn đề của người sử dụng: cần phải hiểu được bản chất của các

khái niệm và mô hình xác suất thống kê, thì mới có thể dùng được

chúng.

Xuất phát từ nhu cầu phát triển và tính thời sự của việc nghiên

cứu xác suất cơ sở, chúng tôi quyết định chọn đề tài với tên gọi: Xác

suất cơ sở qua các ví dụ để tiến hành nghiên cứu. Chúng tôi hy vọng

tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người muốn tìm hiểu

2

về các kết quả rời rạc và liên tục của lý thuyết xác suất cùng với ứng

dụng chúng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

2. Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu đúng bản chất

của những khái niệm và phương pháp cơ bản nhất của xác suất cơ sở.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lý thuyết xác suất và thống kê.

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là xác suất cơ sở và các ứng dụng.

4. Phương pháp nghiên cứu:

Thu thập các tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến Xác

suất cơ sở.

Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết

quả đang nghiên cứu.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan

đến xác suất cơ sở và các ứng dụng thực tế qua các ví dụ minh họa,

nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên

cứu về Lý thuyết xác suất và các ứng dụng.

6. Cấu trúc của luận văn

Nội dung của luận văn được chia thành 2 chương

Chương 1 giới thiệu các khái niệm và kết quả về xác suất cơ sở

liên quan đến phần rời rạc.

Chương 2 trình bày các khái niệm và kết quả về xác suất cơ sở

liên quan đến phần liên tục.

Trong mỗi phần sẽ đưa vào các ví dụ minh họa với mức độ khác

nhau.

3

CHƯƠNG 1

CÁC KẾT QUẢ RỜI RẠC

1.1. PHÂN PHỐI ĐỀU

Định nghĩa 1.1.1. Phân phối đều (Uniform distribution)

Có m kết quả đồng khả năng xảy ra (thường được gọi là kết quả)

và mỗi kết quả có cùng một xác suất 1/m. Mỗi kết quả này được gọi

là một biến cố sơ cấp (hay sự kiện sơ cấp). Một tập hợp A gồm k kết

quả xảy ra, với k ≤ m được gọi là một biến cố (hay sự kiện) và xác

suất của nó ℙ(A) được tính bằng k/m:

ℙ(A) =

Số kết quả xảy ra của sự kiện A

Tổng số kết quả xảy ra

(1.1)

Ví dụ 1.1.1.

Ví dụ 1.1.2.

1.2. XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN. ĐỊNH LÝ BAYES. PHÉP THỬ

ĐỘC LẬP

Định nghĩa 1.2.1. Xác suất điều kiện

Với hai sự kiện A và B với ℙ(ܤ < (0, xác suất điều kiện ℙ(ܣ|ܤ(

của A khi B đã xảy ra được định nghĩa là :

= (ܤ|ܣ)ℙ

(ܤ ∩ ܣ)ℙ

(ܤ)ℙ

(1.2)

Mệnh đề 1.2.1. Công thức xác suất đầy đủ

Nếu B1, …, Bn là các sự kiện xung khắc từng đôi một, là một phân

hoạch của , tức là có Bi ∩ Bj = ∅ với 1 ≤ i < j ≤ n và B1 ∪ B2 ∪ · · ·

∪ Bn = , và ngoài ra ℙ(Bi) > 0 cho 1 ≤ i ≤ n, khi đó với bất kỳ sự

kiện A, ta có :

ଵܤ|ܣ)ℙ) = ܣ)ℙ

)ℙ(ܤଵ

ଶܤ|ܣ)ℙ) +

)ℙ(ܤଶ

௡ܤ|ܣ)ℙ) + ⋯ +

௡ܤ)ℙ)

)

(1.4)

4

Chú ý 1.2.1.

Mệnh đề 1.2.2. Định lý Bayes

Nếu B1, …, Bn là các sự kiện xung khắc từng đôi một, là một phân

hoạch của , tức là có Bi ∩ Bj = ∅ với 1 ≤ i < j ≤ n và B1 ∪ B2 ∪ · · ·

∪ Bn = , và A là sự kiện ngẫu nhiên, với ℙ(ܣ < (0, thì xác suất

điều kiện :

௜ܤ)ℙ

= (ܣ|

௜ܤ|ܣ)ℙ

௜ܤ)ℙ).

)

∑ଵஸ௝ஸ௡ ℙ൫ܣ|ܤ௝൯.ℙ൫ܤ௝൯

(1.5)

Công thức (1.5) được gọi là công thức Bayes

* Chứng minh : Bằng cách ứng dụng trực tiếp định nghĩa và công

thức xác suất đầy đủ, ta có:

௜ܤ)ℙ

= (ܣ|

௜ܤ ∩ ܣ)ℙ

)

(ܣ)ℙ

=

௜ܤ|ܣ)ℙ

௜ܤ)ℙ).

)

(ܣ)ℙ

=

௜ܤ|ܣ)ℙ

௜ܤ)ℙ).

)

∑ଵஸ௝ஸ௡ ℙ൫ܣ|ܤ௝൯.ℙ൫ܤ௝൯

Ví dụ 1.2.1.

Định nghĩa 1.2.2. Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập với nhau

nếu

ℙ(ܣ ∩ ܤ = (ℙ(ܣ(ℙ(ܤ) (1.6)

Ví dụ 1.2.2.

Định nghĩa 1.2.3. n sự kiện độc lập

Chú ý 1.2.2.

Ví dụ 1.2.3.

Định nghĩa 1.2.4. Dãy các phép thử độc lập

Mệnh đề 1.2.3. Một số tính chất của các sự kiện độc lập

Ví dụ 1.2.4.

Ví dụ 1.2.5.

1.3. CÔNG THỨC BÙ-TRỪ. BÀI TOÁN LÁ PHIẾU

Mệnh đề 1.3.1. Công thức bù-trừ

5

Cho A1,…, An tập các sự kiện đôi một không xung khắc và A = A1

∪ A2 ∪ · · · ∪ An , khi đó :

ℙ(ܣ = (ℙ(ܣଵ

) + ⋯ + ℙ(ܣଵ

) − ℙ(ܣଵ ∩ ܣଶ

) − ℙ(ܣଵ ∩ ܣଷ

) − ⋯

௡ܣ ∩ ଵ௡ିܣ)ℙ−

) + ℙ(ܣଵ ∩ ܣଶ ∩ ܣଷ

) + ⋯

௡ܣ ∩ ଵ௡ିܣ ∩ ଶ௡ିܣ)ℙ+

) + ⋯ + (−1)

௡ܣ ∩ ... ∩ ଵܣ)ܲାଵ௡

)

= ෍(−1)

௞ିଵ ෍ ℙ ቆሩ ܣ௜ೕ

௞

ଵ

ቇ

ଵஸ௜భழ⋯ழ௜ೖஸ௡

௡

௞ୀଵ

. (1.10)

* Chứng minh : (Bằng quy nạp trong n)

- Với n = 2 (n = 1 công thức là tầm thường). Đối với hai sự kiện A

và B

ℙ(A ∪ B) = ℙ((A\(A∩B)) ∪ (B \(A∩B)) ∪ (A∩B))

= ℙ(A\(A∩B)) + ℙ(B \(A∩B)) + ℙ(A∩B)

= ℙ(A) - ℙ(A∩B) + ℙ(B) - ℙ(A∩B) + ℙ(A∩B)

= ℙ(A) + ℙ(B) - ℙ(A∩B)

- Giả sử công thức đúng cho bất kỳ tập của n sự kiện (n > 2). Khi

đó với bất kỳ tập A1, …, An+1 của n +1 sự kiện, xác suất ℙ(⋃ ܣ(௜

௡ାଵ

ଵ

bằng :

௜ܣ ℙቆ൬ራ

௡

ଵ

൰ ∪ ܣ௡ାଵቇ

௜ܣ ℙ൬ራ=

௡

ଵ

൰ + ℙ(ܣ௡ାଵ

௜ܣ ℙቆ൬ራ) −

௡

ଵ

൰ ∩ ܣ௡ାଵቇ

= ෍(−1)

௞ିଵ

௡

௞ୀଵ

෍ ℙ ቆሩ ܣ௜ೕ

௞

ଵ

ቇ

ଵஸ௜భழ⋯ழ௜ೖஸ௡

+ ℙ(ܣ௡ାଵ

)

− ℙ ൬ራ (ܣ ∩ ௜ܣ௡ାଵ

)

௡

ଵ

൰.

Đối với số hạng cuối cùng chúng ta có, lặp lại giả thiết quy nạp :

6

ାଵ௡ܣ ∩ ௜ܣ) ℙ൬ራ−

)

௡

ଵ

൰

= ෍(−1)

௞

௡

௞ୀଵ

෍ ℙ ቆሩ ቀܣ௜ೕ

ାଵቁ௡ܣ ∩

௞

ଵ

ቇ

ଵஸ௜భழ⋯ழ௜ೖஸ௡

= ෍(−1)

௞

௡

௞ୀଵ

෍ ℙ൭ቆሩ ܣ௜ೕ

௞

ଵ

ቇ ∩ ܣ௡ାଵ൱.

ଵஸ௜భழ⋯ழ௜ೖஸ௡

Chúng ta thấy rằng toàn bộ tổng trong khai triển ℙ(⋃ ܣ௜

௡ାଵ

ଵ

) bao

gồm tất cả các số hạng có thể được xác định trên vế phải của công

thức (1.10) cho n + 1, với các dấu chính xác. Điều này hoàn thành

chứng minh mệnh đề.

Ví dụ 1.3.1.

Bài toán lá phiếu. Nguyên bản của nó được phát biểu có hệ

thống là: một cộng đồng cử tri gồm m người phe hữu và n người phe

tả bỏ phiếu cho ứng cử viên của mình, trong đó m ≥ n. Xác suất mà

trong quá trình đếm các lá phiếu bí mật các ứng cử viên phe hữu sẽ

không thấp hơn phe tả là gì? Câu hỏi này đã xuất hiện trong nhiều

hoàn cảnh.

Trong đề tài này, chúng tôi bắt đầu với một trường hợp cụ thể m =

n. Có 2n ly rượu trong số đó n ly rượu thật và n ly rượu giả. Trong

một trò chơi phổ biến tại địa phương, một người tham gia bịt mắt

uống tất cả 2n ly tại một thời điểm, được lựa chọn một cách ngẫu

nhiên. Người tham gia được tuyên bố là người chiến thắng nếu say

với thể tích rượu thật uống luôn luôn là không nhiều hơn so với rượu

giả. Chúng ta sẽ kiểm tra xem điều này xảy ra với xác suất 1/(n +1).

Xem xét di động ngẫu nhiên trên tập hợp{- n, - n +1, …, n} trong

đó người tham gia sẽ di chuyển lên một bước nếu uống ly rượu giả

và sẽ lùi một bước nếu uống rượu thật. Việc đi bộ bắt đầu từ gốc (lúc

7

chưa uống) và sau 2n bước luôn luôn trở về vị trí ban đầu (số lượng

rượu thật = số lượng rượu giả).

Hình 1.1

Trên hình 1.1 bao gồm thời gian, bước đi X(t) của việc đi bộ bắt

đầu từ điểm (0, 0) và kết thúc tại (2n, 0) và mỗi lần nhảy lên và sang

phải hoặc xuống và sang phải. Chúng ta nhìn thấy xác suất mà các

bước còn lại ở phía trên đường X = -1.

Tổng số các đường đi dẫn từ (0, 0) đến (2n, 0) là (2n)!/n!n!. Số

lượng các đường đi ở trên đường thẳng cũng giống như tổng số các

đường đi từ (1, 1) đến (2n, 0) là ít hơn tổng số các đường đi từ (1, -3)

đến (2n, 0). Thật vậy, bước thứ nhất từ (0, 0) phải là bước lên. Tiếp

theo, nếu một bước từ (0, 0) đến (2n, 0) tiếp xúc hoặc xuyên qua

đường X = -1, thì chúng ta có thể phản xạ bit đầu tiên của nó và thu

được một đường đi từ (1, -3) đến (2n, 0). Điều này đôi khi được gọi

là nguyên lý phản xạ.

Do đó, xác suất chiến thắng là :

ቈ

(2݊ − 1)!

݊! (݊ − 1)!

−

(2݊ − 1)!

(݊ + 1)! (݊ − 2)!

቉

(2݊)!

݊! ݊!

൘ =

1

2݊

ቈ݊ −

݊(݊ − 1)

݊ + 1

቉ =

1

݊ + 1

.

8

Bây giờ giả sử rằng số ly rượu giả là m, số ly rượu thật là n, m >

n. Như trước, chiến thắng trò chơi có nghĩa là tại mỗi lần số lượng

tiêu thụ rượu giả là không ít hơn so với rượu thật. Sau đó tổng số các

đường dẫn từ (0, 0) đến (m + n, m - n) bằng (m + n)!/ m!n!. Một lần

nữa, bước đầu tiên của đường chiến thắng là luôn đi lên. Tổng số các

đường dẫn từ (1, 1) đến (m + n, m - n) bằng (m + n -1)!/(m - 1)!n!. Sử

dụng nguyên lý phản xạ, chúng ta thấy rằng số lượng đường mất đi

bằng với tổng số các đường dẫn từ (1, -3) đến (m + n, m - n), đó là (m

+ n -1)! / (m + 1)!(n - 2)!. Cuối cùng, xác suất chiến thắng là:

ቈ

(݉ + ݊ − 1)!

(݉ − 1)! ݊!

−

(݉ + ݊ − 1)!

(݉ + 1)! (݊ − 2)!

቉

(݉ + ݊)!

݉! ݊!

൘ =

݉ − ݊ + 1

݉ + 1

.

1.4. BIẾN NGẪU NHIÊN. KỲ VỌNG VÀ KỲ VỌNG ĐIỀU

KIỆN. PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI

Định nghĩa 1.4.1. Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên (BNN) là một hàm X trên tập hợp kết quả ,

X: ߱ ∈  ⟼ ܺ(߱) (1.11)

với tập giá trị ܺ(߱) là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được gọi là tập

giá trị có thể của BNN X.

Ví dụ 1.4.1.

Định nghĩa 1.4.2. Kỳ vọng của BNN

Kỳ vọng của một BNN X, lấy giá trị x1,…, xm với xác suất p1,…, pm

được ký hiệu là ॱ(ܺ) và là tổng :

௜ݔ௜݌ ෍ = (ܺ)ॱ

ଵஸ௜ஸ௠

(௜ݔ = ܺ)ℙ௜ݔ ෍ =

ଵஸ௜ஸ௠

(1.12)

Ví dụ 1.4.2.

Mệnh đề 1.4.1. Một số tính chất của kỳ vọng

Định nghĩa 1.4.3. Phân bố xác suất đồng thời - Phân bố xác suất

điều kiện