Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môđun Artin tựa không trộn lẫn

Môc lôc

Lêi nãi ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 5

1.1 BiÓu diÔn thø cÊp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Mét sè tÝnh chÊt c¬ së vÒ tÝnh catenary . . . . . . . . . . . 10

1.3 Mét sè chuÈn bÞ vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng . . . 13

2 ChiÒu cña m«®un Artin vµ mét tÝnh chÊt linh ho¸ tö 17

2.1 TËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cho m«®un Artin . . . . . . . 17

2.2 ChiÒu Noether cña m«®un Artin . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Mét tÝnh chÊt linh ho¸ tö cho m«®un Artin . . . . . . . . . 22

3 TÝnh catenary vµ m«®un Artin tùa kh«ng trén lÉn 27

3.1 M«®un Artin tùa kh«ng trén lÉn . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 TÝnh catenary vµ m«®un Artin tùa kh«ng trén lÉn . . . . . . 32

3.3 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng tùa kh«ng trén lÉn . . . . 36

Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môdun Artin tựa không trộn lẫn

2

Lêi nãi ®Çu

Trong toµn bé luËn v¨n nµy ta lu«n gi¶ thiÕt (R, m) lµ vµnh giao ho¸n

Noether, ®Þa ph­¬ng, M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh, A lµ R-m«®un Artin.

Ta lu«n cã AnnR(M/pM) = p víi mäi i®ªan nguyªn tè p chøa AnnR M.

V× thÕ hoµn toµn tù nhiªn, NguyÔn Tù C­êng vµ Lª Thanh Nhµn [CN] ®·

xÐt tÝnh chÊt ®èi ngÉu víi tÝnh chÊt trªn cho c¸c m«®un Artin nh­ sau:

AnnR(0 :A p) = p víi mäi i®ªan nguyªn tè p ⊇ Ann A. (∗)

Khi vµnh R lµ ®Çy ®ñ theo t«p« m-adic, tÝnh chÊt (*) lu«n ®óng cho m«®un

Artin A v× m«®un ®èi ngÉu Matlis D(A) cña A lµ h÷u h¹n sinh. Mét c¸ch

tæng qu¸t, nÕu R lµ ®Çy ®ñ th× b»ng viÖc dïng §èi ngÉu Matlis, viÖc nghiªn

cøu mèi quan hÖ gi÷a ph¹m trï c¸c R-m«®un Artin vµ ph¹m trï c¸c R￾m«®un Noether lµ rÊt thuËn lîi. Tuy nhiªn, khi R kh«ng ®Çy ®ñ, ng­êi ta

quan t©m xÐt tÝnh chÊt (*) v× nã cho nhiÒu th«ng tin vÒ vµnh c¬ së R vµ c¸c

m«®un Artin vµ m«®un h÷u h¹n sinh trªn R. Cô thÓ, n¨m 2002, NguyÔn

Tù C­êng vµ Lª Thanh Nhµn [CN] ®· giíi thiÖu tÝnh chÊt (*) nh»m tr¶

lêi c©u hái khi nµo th× chiÒu Noether N-dim A vµ chiÒu dim R/ AnnR A

lµ b»ng nhau. N¨m 2007, trong [CDN], NguyÔn Tù C­êng, Lª Thanh

Nhµn, NguyÔn ThÞ Dung ®· xÐt tÝnh chÊt (*) cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu

®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt Hd

m(M) vµ chØ ra r»ng m«®un nµy tháa m·n tÝnh

chÊt (*) khi vµ chØ khi vµnh R/ AnnR(Hd

m(M)) lµ catenary. N¨m 2009,

Lª Thanh Nhµn vµ TrÇn Nguyªn An [NA1] ®· nghiªn cøu tÝnh chÊt (*)

cho c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng bËc thÊp h¬n, hä chøng tá r»ng

nÕu R lµ catenary phæ dông vµ tÊt c¶ c¸c thí h×nh thøc cña nã lµ Cohen￾Macaulay th× Hi

m(M) tho¶ m·n (*) víi mäi i ≥ 0. Ngoµi ra hä còng

chØ ra r»ng nÕu Hi

m(M) tháa m·n tÝnh chÊt (*) víi mäi i < d th× vµnh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môdun Artin tựa không trộn lẫn

3

R/ AnnR M lµ catenary phæ dông vµ vµnh R/p lµ kh«ng trén lÉn víi mäi

p ∈ Ass M, tøc lµ dim R/b bp = dim(R/p) víi mäi bp ∈ Ass(R/b pRb).

§Æc biÖt, n¨m 2010, Lª Thanh Nhµn vµ TrÇn Nguyªn An [NA2] ®·

giíi thiÖu kh¸i niÖm m«®un Artin tùa kh«ng trén lÉn: M«®un Artin A

®­îc gäi lµ tùa kh«ng trén lÉn nÕu dim(R/b bp) = dim(R/b AnnRb A) víi

mäi bp ∈ min AttRb A. Sau ®ã hä ®· xÐt tÝnh chÊt (*) cho líp m«®un nµy

trong mèi quan hÖ víi tÝnh catenary cña vµnh c¬ së vµ chiÒu cña m«®un.

KÕt qu¶ chÝnh thø nhÊt trong bµi b¸o nµy lµ ®Þnh lÝ sau.

§Þnh lÝ. Gi¶ sö A lµ tùa kh«ng trén lÉn. NÕu A tho¶ m·n tÝnh chÊt (*) th×

vµnh R/ AnnR A lµ catenary vµ dim(R/ AnnR A) = dim(R/b AnnRb A).

RÊt tù nhiªn, ng­êi ta hái r»ng liÖu chiÒu ng­îc l¹i cña ®Þnh lÝ trªn lµ

®óng. §Þnh lÝ tiÕp theo lµ kÕt qu¶ chÝnh thø hai cña bµi b¸o nµy, cho ta

mét c©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh khi A = Hi

m(M).

§Þnh lÝ. Gi¶ sö Hi

m(M) lµ tùa kh«ng trén lÉn. Khi ®ã Hi

m(M) tho¶ m·n

(*) nÕu vµ chØ nÕu dim ￾

R/ AnnR(Hi

m(M))

= dim ￾

R/b AnnRb Hi

m(M))

vµ vµnh R/ AnnR(Hi

m(M)) lµ catenary.

Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy l¹i chi tiÕt c¸c kÕt qu¶ trªn trong

bµi b¸o [NA2]: L. T. Nhan and T. N. An, On the catenaricity of Noethe￾rian local rings and quasi unmixed Artinian modules, Communications in

Algebra, 38, (10), 2010.

LuËn v¨n gåm 3 ch­¬ng. Ch­¬ng I lµ kiÕn thøc c¬ së phôc vô cho c¸c

ch­¬ng sau. Ch­¬ng II tr×nh bµy kiÕn thøc vÒ chiÒu vµ tÝnh chÊt (*) cña

m«®un Artin. Ch­¬ng III lµ néi dung chÝnh, chøng minh c¸c kÕt qu¶ vÒ

tÝnh chÊt (*) cña m«®un Artin tùa kh«ng trén lÉn trong mèi quan hÖ víi

tÝnh catenary cña vµnh c¬ së vµ ®¼ng thøc vÒ chiÒu cña m«®un.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môdun Artin tựa không trộn l

4

Lêi c¶m ¬n

LuËn v¨n ®­îc h×nh thµnh d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c

cña PGS.TS Lª ThÞ Thanh Nhµn. Nh©n dÞp nµy t«i xin ch©n thµnh bµy tá

lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi C« vµ gia ®×nh.

Xin ®­îc bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi c¸c thÇy c« ë ViÖn To¸n häc

Hµ Néi, Khoa To¸n vµ Khoa Sau §¹i häc tr­êng §¹i häc S­ ph¹m - §¹i

häc Th¸i Nguyªn ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y vµ gióp ®ì t«i trong suèt qu¸ tr×nh

häc tËp t¹i tr­êng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môdun Artin tựa không trộn lẫn