Về tập xác định duy nhất cho hàm phân hình và đạo hàm của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN ĐỨC TUẤN

VỀ TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT

CHO HÀM PHÂN HÌNH

VÀ ĐẠO HÀM CỦA CHÚNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN ĐỨC TUẤN

VỀ TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT

CHO HÀM PHÂN HÌNH

VÀ ĐẠO HÀM CỦA CHÚNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 62 46 01 04

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG

NGHỆ AN - 2017

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của

riêng tôi. Các kết quả trình bày trong luận án là hoàn

toàn trung thực, được đồng tác giả cho phép sử dụng

và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình

nào khác.

Tác giả

Phan Đức Tuấn

ii

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn

Thành Quang. Trước hết tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết

ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, người đã định hướng nghiên cứu, đặt bài

toán và hướng dẫn tác giả tận tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả

thực hiện luận án.

Tác giả cũng xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới

GS. TSKH. Hà Huy Khoái, người đã quan tâm, giúp đỡ tác giả trong quá

trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới:

- Tập thể các Thầy Cô giáo ngành Toán thuộc Viện Sư phạm Tự

nhiên, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh, về những hỗ

trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của

một nghiên cứu sinh.

- Tập thể các Thầy Cô giáo Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học

Sài Gòn, nơi tác giả công tác, đặc biệt là PGS. TS. Phạm Hoàng Quân,

đã giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình

tác giả thực hiện luận án.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những thành viên trong gia đình

của tác giả và những người bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên

trong suốt quá trình học tập.

Phan Đức Tuấn ...

iii

MỤC LỤC

Một số ký hiệu thường dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . 1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1 Tập xác định duy nhất cho hàm phân hình

p-adic 11

1.1 Một số khái niệm cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Bổ đề Borel trong trường hợp p-adic . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Tập xác định duy nhất cho hàm phân hình p-adic . . . . 27

Chương 2 Giá trị Picard và sự xác định duy nhất của

hàm phân hình p-adic cùng với đạo hàm của chúng 33

2.1 Giá trị Picard cho hàm phân hình p-adic cùng với đạo hàm

của chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Sự xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic cùng với

đạo hàm của chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Chương 3 Đa thức vi phân và bài toán chia sẻ giá trị 58

3.1 Đa thức vi phân chia sẻ một giá trị . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 Đa thức vi phân chia sẻ một giá trị không tính bội . . . . . 71

Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án . . . 81

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1

MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG

TRONG LUẬN ÁN

Ký hiệu Ý nghĩa Trang

N Tập hợp số tự nhiên 13

C Trường số phức 3

Cp Trường số phức p-adic 12

P

n

(Cp) Không gian xạ ảnh p-adic n chiều 16

f

0 Đạo hàm bậc nhất của f 3

f

(k) Đạo hàm bậc k của f 5

f

−1

(S) Tập ảnh ngược của S qua f 3

Ef (S) Tập ảnh ngược của S qua f, tính cả bội 8

Ef (S) Tập ảnh ngược của S qua f, không tính bội 9

gcd(a, b) Ước chung lớn nhất của a và b 29

Tf (r) Hàm đặc trưng của hàm phân hình f 14

Nf (0, r) Hàm đếm không điểm của hàm phân hình f 14

Nf (∞, r) Hàm đếm cực điểm của hàm phân hình f 14

mf (∞, r) Hàm xấp xỉ của hàm phân hình f 14

δf (a) Số khuyết của hàm phân hình f tại a 16

µ

a

f Bậc của hàm phân hình f tại a 17

M[f1, . . . , fn] Đa thức vi phân của các hàm phân hình 39

2

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phân bố giá trị được xây dựng bởi R. Nevanlinna [72] vào

năm 1925. Sự ra đời của lý thuyết này được đánh giá là một trong những

sự kiện toán học vĩ đại của thế kỷ 20. Bằng cách áp dụng lý thuyết phân

bố giá trị, R. Nevanlinna [73] đã chứng minh định lý nổi tiếng sau: Với

hai hàm phân hình phức khác hằng số f và g, nếu có năm giá trị phân

biệt ai (i = 1, 2, 3, 4, 5) thỏa mãn f

−1

(ai) = g

−1

(ai) ( không tính bội) với

i = 1, 2, 3, 4, 5 thì f = g. Hơn nữa, nếu f

−1

(ai) = g

−1

(ai) (tính cả bội)

với i = 1, 2, 3, 4 thì f =

ag+b

cg+d

với a, b, c, d là các hằng số phức thỏa mãn

ad − bc 6= 0. Từ đây, lý thuyết về sự xác định duy nhất hàm phân hình

được phát triển mạnh mẽ theo nhiều hướng mở rộng khác nhau.

Vào năm 1976, F. Gross [29] bắt đầu nghiên cứu vấn đề tương tự cho

hai hàm phân hình có ảnh ngược của các tập hợp điểm trùng nhau. Ông

đã đưa ra câu hỏi sau: Tồn tại hay không một tập S ⊂ C ∪ ∞ sao cho

với mọi hàm phân hình khác hằng số f và g thỏa mãn f

−1

(S) = g

−1

(S)

(tính cả bội) thì f = g? Tập S có tính chất như vậy được gọi là tập xác

định duy nhất cho hàm phân hình. Ví dụ đầu tiên về tập xác định duy

nhất được đưa ra bởi F. Gross và C.C. Yang [30] vào năm 1982. Hai ông

đã chứng minh tập S = {z : z + e

z = 0} là tập xác định duy nhất cho

các hàm nguyên. Chú ý rằng tập hợp này có vô hạn phần tử. Tập xác

định duy nhất đầu tiên cho hàm nguyên có hữu hạn phần tử được đưa

ra bởi H. Yi [66] vào năm 1995 với 15 phần tử và tập xác định duy nhất

cho hàm phân hình có số phần tử ít nhất với 11 phần tử được xây dựng

bởi G. Frank và M. Reinders [24] vào năm 1998. Sau đó, vào năm 2000,

H. Fujimoto [27] đã đưa ra các điều kiện đủ cho một tập hữu hạn là tập

xác định duy nhất.

3

Lý thuyết về sự duy nhất cho hàm phân hình cũng được khảo sát

trên trường số p-adic. Kết quả đầu tiên thuộc về W. W. Adam và E. G.

Strauss [5]. Vào năm 1971, các tác giả này đã chứng minh rằng hai hàm

phân hình p-adic khác hằng số có cùng ảnh ngược của 4 điểm phân biệt

thì trùng nhau. Kết quả này đã được mở rộng cho các đường cong chỉnh

hình p-adic trong các công trình của P. C. Hu và C. C. Yang [34], M. Ru

[59], V. H. An và T. D. Duc [10] cùng một số tác giả khác. Các tập xác

định duy nhất cho các hàm phân hình p-adic cũng được xây dựng bởi P.

C. Hu và C. C. Yang [34], A. Escassut và A. Boutabaa [13]. Năm 1999, P.

C. Hu và P. C. Yang [36] đã đưa ra tập xác định duy nhất cho các hàm

phân hình p-adic với 10 phần tử và vào năm 2003, H. H. Khoai và T. T.

H. An [40] đã đưa ra các điều kiện đủ cho một tập hữu hạn là tập xác

định duy nhất cho hàm phân hình p-adic.

Một hướng phát triển khác của bài toán xác định duy nhất hàm phân

hình là tìm đặc trưng cho các hàm phân hình có cùng ảnh ngược của một

hay nhiều tập hợp điểm cùng với đạo hàm của chúng. Vào năm 1977, L.

A. Rubel và C. C. Yang [52] đã chứng minh kết quả sau: Nếu hàm nguyên

khác hằng số f và đạo hàm bậc nhất của nó f

0

có cùng ảnh ngược của

hai giá trị phân biệt a1 và a2 (tính cả bội), nghĩa là f

−1

(ai) = (f

0

)

−1

(ai)

(tính cả bội) với i = 1, 2, thì f = f

0

. Vào năm 1997, C. C. Yang và X.

A. Hua [65] đã nghiên cứu bài toán xác định duy nhất cho các hàm phân

hình và các đơn thức vi phân dạng f

n

f

0

, khi chúng có cùng tập ảnh ngược

của một điểm tính cả bội và họ đã thu được kết quả sau: Giả sử f và g là

các hàm phân hình khác hằng số, n > 11 là một số nguyên và a ∈ C\{0}.

Nếu (f

n

f

0

)

−1

(a) = (g

n

g

0

)

−1

(a) (tính cả bội) thì hoặc f = dg với d là căn

bậc (n + 1) nào đó của đơn vị hoặc g(z) = c1e

cz và f(z) = c2e

−cz với

c, c1 và c2 là các hằng số thỏa mãn (c1c2)

n+1c

2 = −a

2

. Bài toán tổng

quát theo hướng nghiên cứu này được phát biểu dưới dạng: Giả sử f và

g là các hàm phân hình khác hằng số và P là một đa thức vi phân sao

4

cho P[f] và P[g] có cùng tập ảnh ngược của một hay có thể nhiều điểm

phân biệt. Với giả thiết nào của P hoặc về số các điểm chung, ta có thể

kết luận f = g hoặc ít nhất f và g có một quan hệ mật thiết nào đó.

Theo hướng nghiên cứu này, các kết quả về sự duy nhất của các hàm

phân hình phức lần lượt được khảo sát cho các đa thức vi phân dạng

(f

n

)

(k)

,(f

n

(f − 1))(k)

, fn

(f − 1)2

f

0

, ...

trong các công trình của M. L. Fang [23], W. C. Lin và H. X. Yi [50].

Bài toán duy nhất cho các hàm phân hình và đạo hàm của chúng

trên trường số p-adic cũng được khảo sát bởi các tác giả H. H. Khoai

và V. H. An [42]; J. Ojeda [54] cho các đơn thức vi phân dạng f

n

f

0

; K.

Boussaf, A. Escassut và J. Ojeda [12] cho đa thức vi phân dạng f

0P

0

(f),

với P là một đa thức duy nhất cho hàm phân hình; H. H. Khoai, V. H.

An và N. X. Lai [44] cho đa thức vi phân dạng (f

n

)

(k)

.

Một trong những đặc điểm của các đa thức vi phân được đề cập ở

trên là chúng có thể lấy tích phân về dạng P(f), với P là đa thức trên

trường số phức hoặc p-adic. Từ đó, nhiều tác giả đã ứng dụng các kết quả

trong lý thuyết phân bố giá trị và lý thuyết đa thức duy nhất cho hàm

phân hình để giải quyết các vấn đề đặt ra. Gần đây, các dạng đa thức vi

phân không thuộc dạng trên cũng bắt đầu được khảo sát. Chẳng hạn, vào

năm 2011, J. Grahl và S. Nevo [28] đã khảo sát bài toán duy nhất cho

hàm phân hình và đa thức vi phân dạng P[f] = f

n + af(k)

. Việc khảo

sát các dạng đa thức vi phân này đòi hỏi các tác giả phải đưa ra các kỹ

thuật và phương pháp chứng minh mới. Điều này cho thấy bài toán duy

nhất cho hàm phân hình và đạo hàm của chúng là rất đa dạng và việc

khảo sát chúng là rất đáng quan tâm và cần thiết.

Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án

là "Về tập xác định duy nhất cho hàm phân hình và đạo hàm của

chúng".