Về nhóm con của nhóm SO(3)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ VIỆT HÙNG

VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3)

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. VŨ THẾ KHÔI

THÁI NGUYÊN - 2008

Lêi nãi ®Çu

Nhãm c¸c phÐp quay SO(3) xuÊt hiÖn nhiÒu trong c¸c lÜnh vùc kh¸c

nhau cña to¸n häc do ®ã nã lµ mét ®èi t­îng kinh ®iÓn ®· ®­îc nghiªn cøu

bëi nhiÒu nhµ to¸n häc. §èi t­îng ®­îc tr×nh bµy trong luËn v¨n lµ nhãm

con cña nhãm SO(3) sinh bëi hai phÐp quay cã bËc h÷u h¹n quanh c¸c trôc

vu«ng gãc.

Nhãm c¸c phÐp quay nµy ®­îc quan t©m nghiªn cøu do nã cã øng dông

trong lÝ thuyÕt Tilings, mét lÝ thuyÕt nghiªn cøu qu¸ tr×nh phñ kh«ng gian

b»ng c¸c b¶n copy cña mét sè h÷u h¹n c¸c h×nh ®a diÖn cho tr­íc. Tuy nhiªn

trong khu«n khæ cña mét luËn v¨n Cao häc, chóng t«i chØ tËp trung t×m hiÓu

kÕt qu¶ ®¹i sè thuÇn tuý mµ kh«ng tr×nh bµy ®­îc lÝ thuyÕt Tilings.

Bµi to¸n ®¹i sè nghiªn cøu trong luËn v¨n lµ t×m hiÓu cÊu tróc ®¹i sè cña

c¸c nhãm con G(p, q) sinh bëi hai phÐp quay quanh hai trôc vu«ng gãc víi

c¸c gãc quay lÇn l­ît lµ 2π/p vµ 2π/q. Chóng ta nghiªn cøu nhãm con nµy

víi chó ý lµ ta ®· cã mét sè kÕt qu¶ b­íc ®Çu nh­ sau: NÕu p hoÆc q b»ng 1,

G(p, q) lµ nhãm Cyclic h÷u h¹n; nÕu p hoÆc q b»ng 2, G(p, q) lµ nhãm nhÞ

diÖn h÷u h¹n; G(4, 4) lµ nhãm ®èi xøng cña c¸c h×nh lËp ph­¬ng; cßn tÊt

c¶ c¸c tr­êng hîp kh¸c G(p, q) lµ trï mËt trong SO(3). LuËn v¨n ®­îc tr×nh

bµy theo bµi b¸o [4] cña hai t¸c gi¶ C.radin vµ L.Sadun (n¨m 1998). KÕt qu¶

chÝnh ®Çu tiªn cña luËn v¨n chÝnh lµ ®Þnh lÝ cÊu tróc (§Þnh lÝ 2.1.2), chØ ra

r»ng nhãm G(p, q) ®¼ng cÊu víi tÝch tù do vµ tÝch tù do víi nhãm con chung

cña c¸c nhãm ®¬n gi¶n lµ nhãm cyclic hay nhãm nhÞ diÖn. KÕt qu¶ tiÕp theo

lµ ®Þnh lÝ vÒ d¹ng chuÈn t¾c cña c¸c phÇn tö nãi r»ng mäi phÇn tö cña nhãm

G(p, q) ®Òu cã thÓ biÓu diÔn mét c¸ch duy nhÊt d­íi d¹ng tÝch cña mét sè

phÇn tö cã d¹ng cô thÓ (Xem ®Þnh lÝ 2.2.1 vµ 2.2.6). Ngoµi ra trong phÇn

cuèi luËn v¨n cßn nghiªn cøu mét vÝ dô vÒ nhãm con cña nhãm SO(3) sinh

bëi hai phÐp quay víi c¸c gãc quay lµ tÝch cña 2π víi mét sè v« tØ hay siªu

viÖt. B»ng c¸ch sö dông kÜ thuËt nh­ phÇn ®Çu, luËn v¨n chøng minh ®­îc

mét sè tr­êng hîp nhãm trong vÝ dô lµ ®¼ng cÊu víi nhãm tù do sinh bëi hai

4

phÇn tö. LuËn v¨n gåm 3 ch­¬ng.

Ch­¬ng 1 dµnh ®Ó giíi thiÖu c¸c kh¸i niÖm, c¸c tÝnh chÊt ®Æc tr­ng vµ

c¸c vÝ dô minh häa vÒ phÐp quay vµ ma trËn phÐp quay; nhãm tù do; tÝch tù

do; tÝch tù do víi nhãm con chung nh»m phôc vô cho ch­¬ng sau.

Ch­¬ng 2 lµ ch­¬ng tr×nh bµy nh÷ng néi dung chÝnh cña luËn v¨n gåm

hai phÇn. PhÇn 1 tr×nh bµy biÓu diÔn cho nhãm G(p, q). PhÇn 2 tr×nh bµy

d¹ng chÝnh t¾c cho mçi phÇn tö cña nhãm G(p, q).

Ch­¬ng 3 tr×nh bµy thªm mét vÝ dô nghiªn cøu vÒ nhãm c¸c phÐp quay

G(v, 4) trong ®ã cã gãc quay v lµ mét sè v« tØ cho tr­íc nh©n víi 2π. Sau ®ã

tr×nh bµy vÝ dô nghiªn cøu b­íc ®Çu vÒ nhãm G(ω, 4) víi e

ωi (t­¬ng ®­¬ng

cos(ω)) lµ siªu viÖt.

LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh víi sù h­íng dÉn tËn t×nh cña ThÇy Ts. Vò

ThÕ Kh«i. T«i xin bµy tá sù kÝnh träng vµ lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi ThÇy.

T«i xin tr©n träng c¸m ¬n ban l·nh ®¹o khoa to¸n §HSP Th¸i Nguyªn,

khoa sau ®¹i häc §HSP Th¸i Nguyªn, c¸m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o ®· trang bÞ

cho t«i kiÕn thøc c¬ së.

T«i xin tr©n träng c¸m ¬n ban gi¸m hiÖu vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp tr­êng

THPT chuyªn Hµ Giang, xin trËn träng c¸m ¬n nh÷ng ng­êi th©n, b¹n bÌ vµ

líp cao häc to¸n K14 ®· ®éng viªn gióp ®ì t«i trong qua tr×nh hoµn thµnh

luËn v¨n.

5

Ch­¬ng 1

KiÕn thøc chuÈn bÞ

LuËn v¨n cÇn mét sè ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ sau

1.1 PhÐp quay vµ ma trËn phÐp quay

PhÐp quay nãi chung lµ mét phÇn tö cña nhãm SO(3). Sau ®©y ta ®Þnh nghÜa

phÐp quay quanh c¸c trôc Ox, Oy, Oz cña hÖ trôc täa ®é Oxyz trong kh«ng

gian 3 chiÒu víi gãc quay ϕ.

1.1.1 §Þnh nghÜa. PhÐp quay quanh trôc Ox víi gãc quay ϕ trong kh«ng

gian 3 chiÒu víi hÖ trôc to¹ ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc Oxyz lµ mét phÇn tö cña

nhãm SO(3) cã ma trËn t­¬ng øng lµ





1 0 0

0 cosϕ sinϕ

0 −sinϕ cosϕ



 .

KÝ hiÖu Rϕ

x hay

R

ϕ

x =





1 0 0

0 cosϕ sinϕ

0 −sinϕ cosϕ



 .

Ta còng ®Þnh nghÜa t­¬ng tù c¸c phÐp quay Rϕ

y

, Rϕ

z

t­¬ng øng quanh trôc

Oy, Oz víi c¸c ma trËn t­¬ng øng lÇn l­ît lµ





cosϕ 0 sinϕ

0 1 0

−sinϕ 0 cosϕ



 vµ





cosϕ sinϕ 0

−sinϕ cosϕ 0

0 0 1



 .

6