Về fractal và tập cantor

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ VĂN THỌ

VỀ FRACTAL VÀ TẬP CANTOR

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 84 60 102

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2019

Công trình được hoàn thành tại

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Nhụy

Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 2: TS. Trần Đức Thành

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc

sĩ khoa học họp tại trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng vào

ngày 12 tháng 5 năm 2019

Có thể tìm hiểu luận văn tại :

- Thư viện trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng

- Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

Trước đây, có nhiều tập hợp và hàm được nghiên cứu một cách hiệu

quả bởi các phương pháp tính toán cổ điển hoặc bằng các công cụ giải tích

thông thường. Lúc bấy giờ, các tập và các hàm không đủ trơn hay "gồ

ghề" có xu hướng bị lờ đi và bị xem là "vô bổ", không đáng chú ý. Cũng

trong lúc ấy, Toán học xuất hiện các hiện tượng mà chúng ta tưởng chừng

như các nghịch lý, chẳng hạn tồn tại các tập có diện tích hữu hạn mà chu

vi lại vô hạn, hoặc tồn tại những hàm số liên tục tại mọi điểm mà không

khả vi tại bất cứ điểm nào, hoặc như tồn tại tập có lực lượng continum

nhưng lại có độ đo Lebesgue bằng 0, . . .

Tuy nhiên, trong mấy chục năm gần đây thì thái độ đó đang dần thay

đổi. Người ta nhận ra rằng, các đối tượng không trơn mới đáng để quan

tâm nghiên cứu. Có rất nhiều các tập xù xì, kỳ dị lại thể hiện một cách

chân thực, sinh động và chính xác các hiện tượng trong tự nhiên cũng như

trong cuộc sống nhiều hơn so với việc dùng các đối tượng và công cụ lý

tưởng, trơn nhẵn, phẳng phiu của hình học cổ điển. Cần phải thay đổi

cách suy nghĩ cũng như cách tiếp cận và nghiên cứu các tập, các hình và

các hiện tượng.

Đầu những năm 70 của Thế kỷ 20, trên thế giới xuất hiện một hướng

nghiên cứu chính thống, mà khoa học gọi là CHAOS, nghiên cứu các hình

thái hỗn loạn trong tự nhiên, trong đời sống xã hội cũng như trong khoa

học. Cuối những năm 80, là thời điểm mà khoa học đồ thị phát triển mạnh,

đã xuất hiện trong Toán học một hướng nghiên cứu mới được gọi là "Toán

học hình ảnh". Hướng nghiên cứu này có sự tham gia của một công ty máy

tính lớn ở Hoa Kỳ là IBM, mà Benoit Mandelbrot, một người gốc Balan,

là một thành viên của dự án này. Với những phát hiện mang tính đột

2

phá cùng với sự xuất hiện rất nhiều công trình nghiên cứu rất có ý nghĩa,

Mandelbrot đã đặt nền móng cho sự ra đời một hướng Toán học mới được

gọi là Hình học Fractal (Fractal Geometry [1]). Tuy nói rằng "hình học",

nhưng khi nghiên cứu một cách sâu sắc về sự tinh tế của loại tập hợp nói

trên, người ta thường dùng công cụ giải tích. Ngành khoa học này

nhanh chóng trở thành một hướng nghiên cứu quan trọng, được tách ra

khỏi ngành khoa học CHAOS từ năm 1975 và phát triển mạnh mẽ từ cuối

những năm 80 của Thế kỷ 20.

Hình học Fractal là một lĩnh vực mới của Toán học hiện đại và đang

còn khá mới mẻ ở Việt Nam (xem [2], [3], [4]). Sự ra đời của Fractal được

xem là một hiện tượng của Thế kỷ 20 và điều đặc biệt đáng nói là một

ngành khoa học tuy mới, lại có thể tìm được tiếng nói chung cho nhiều

ngành khoa học vốn dĩ rất khác biệt nhau, từ toán học, vật lý học, hóa

học, sinh học cho đến nghệ thuật, âm nhạc, kinh tế mà đặc biệt là công

nghệ thông tin truyền thông. Chính môn khoa học Fractal giúp chúng ta

mô tả và giải thích được những hiện tượng phức tạp, có cấu trúc tinh tế

trong tự nhiên cũng như trong xã hội một cách chính xác và chân thực

hơn.

Từ "Fractal" mượn chữ Latinh "Fractus", có nghĩa là gãy vỡ, gồ ghề

và cũng có nguồn gốc từ thuật ngữ Fractalism (thuật toán hóa), là một

thuật ngữ do Benoit Mandelbrot đưa ra khi ông khảo sát những hình vóc

hoặc những hiện tượng không có đặc trưng về độ dài. Khái niệm Fractal

không được định nghĩa, nhưng theo ông, đó là những đối tượng hình học

có hình dáng gồ ghề, không trơn nhẵn trong tự nhiên. Ngoài ra, có loại

khác còn là những vật thể có tính đối xứng sắp xếp trong một phạm vi

nhất định. Một đặc tính quan trọng của Fractal là tự đồng dạng, có nghĩa

là khi lấy một phần nhỏ tùy ý nào đó của tập tự đồng dạng F thì phần

được chọn này luôn là bản sao của chính F.

Thật ra, Mandelbrot đã từng định nghĩa Fractal F là một tập có thứ

nguyên Hausdorff lớn hơn thứ nguyên tôpô của nó. Định nghĩa này tuy

thâu tóm được một số tính chất trọng yếu của nhiều Fractal, nhưng về sau

3

chính Mandelbrot thừa nhận nó vẫn chưa thỏa đáng vì loại trừ mất một

số đối tượng cũng cần được xem là Fractal. Cuối cùng thì người ta nhận

thấy chưa có định nghĩa nào phù hợp và đã liệt kê ra một danh sách các

tính chất được coi là đặc trưng cho Fractal, đó là:

(a) F có một cấu trúc tinh tế (cấu trúc mịn), nghĩa là, dù xét với cỡ

nhỏ đến đâu cũng có những chi tiết tinh vi;

(b) F quá khác thường (phi chính quy), không thể mô tả theo ngôn

ngữ hình học truyền thống, khó mô tả tính chất địa phương tại mỗi điểm;

(c) Thứ nguyên của F (theo một nghĩa nào đó) thường lớn hơn thứ

nguyên tôpô của nó;

(d) F thường tự đồng dạng, nghĩa là những bộ phận dù nhỏ đến cỡ

nào, đều coi như một bản sao của toàn thể;

(đ) F thường được xác định bằng một thủ tục hồi quy đơn giản dễ

hiểu;

(e) Mặc dầu F khá lớn, nhưng độ lớn của nó hiểu theo nghĩa thông

thường thì bằng không.

Có hai hướng nghiên cứu Fractal. Hướng thứ nhất là xác định, mô tả

và nghiên cứu các đối tượng Fractal thực trong tự nhiên và trong khoa

học. Hướng thứ hai là nghiên cứu về bản chất toán học, tức là các vấn đề

có nguồn gốc lý thuyết độ đo hình học, nhưng với công cụ Giải tích Toán

học. Trong Luận văn này, tôi muốn trình bày theo hướng thứ hai cho lĩnh

vực nói trên theo công cụ giải tích.

Luận văn gồm hai chương, Chương I trình bày đại cương về Fractal,

Chương II giới thiệu tập Cantor và một vài thứ nguyên Fractal. Với nội

dung và mục đích như vậy, Luận văn này được lấy tên là Về Fractal và

Tập Cantor.

4

Chương 1

FRACTAL

1.1. Một vài tính chất của tập số thực

1.1.1. Cận trên đúng và cận dưới đúng

Định nghĩa 1.1. Tập A ⊂ R được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại

α ∈ R sao cho a ≤ α, ∀a ∈ A. Số α thỏa mãn điều kiện này được gọi

là một cận trên của A. Rõ ràng một tập bị chặn trên có vô số cận trên.

Tập A được gọi là không bị chặn trên nếu với mỗi r ∈ R tồn tại a ∈ A để

a > r.

Định nghĩa 1.2. Số thực α ∈ R được gọi là cận trên đúng hay cận

trên bé nhất của tập bị chặn trên A nếu

(a) a ≤ α, ∀a ∈ A;

(b) Với mỗi ε > 0, tồn tại aε ∈ A để aε > α − ε.

Định nghĩa 1.3. Tập A ⊂ R được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại

β ∈ R sao cho β ≤ a, ∀a ∈ A. Số β thỏa mãn điều kiện này được gọi là

một cận dưới của A. Rõ ràng một tập bị chặn dưới có vô số cận dưới. Tập

A được gọi là không bị chặn dưới nếu với mỗi r ∈ R tồn tại a ∈ A để

a < r.

Định nghĩa 1.4. Số thực β ∈ R được gọi là cận dưới đúng hay cận

dưới lớn nhất của tập bị chặn dưới A nếu

(a) a ≥ β, ∀a ∈ A;

(b) Với mỗi ε > 0, tồn tại aε ∈ A để aε < β + ε.

5

1.1.2. Tiên đề về cận trên đúng và cận dưới đúng

(a) Nếu A ⊂ R, A 6= ∅ và A bị chặn trên, thì A có cận trên đúng (duy

nhất).

(b) Nếu A ⊂ R, A 6= ∅ và A bị chặn dưới, thì A có cận dưới đúng (duy

nhất).

1.1.3. Một vài tính chất của cận trên và cận dưới đúng

Mệnh đề 1.1. Nếu γ ∈ R là một cận trên đúng hoặc cận dưới đúng

của tập A ⊂ R thì tồn tại dãy {an}

∞

n=1 ⊂ A sao cho an → γ.

Mệnh đề 1.2. Giả sử A, B ⊂ R và A, B 6= ∅.

(a) Ta định nghĩa

−A = {−x : x ∈ A} = {x : −x ∈ A}

Thế thì

sup(−A) = − inf A. (1.1)

(b) Định nghĩa

A + B = {c = a + b : a ∈ A, b ∈ B}

và

A − B = {c = a − b : a ∈ A, b ∈ B}.

Khi đó

sup(A + B) = sup A + sup B (1.2)

và

sup(A − B) = sup A − inf B. (1.3)

Định nghĩa 1.5. Tập A ⊂ R

k được gọi là compact nếu nó đóng và bị

chặn.

Mệnh đề 1.3. Hàm thực f liên tục trên tập compact khác rỗng A ⊂ R

thì bị chặn trên tập đó và đạt tới một cực đại và một cực tiểu trên tập đó,

tức tồn tại x0 ∈ A và y0 ∈ A sao cho

f(x0) = sup f(A), f(y0) = inf f(A).

6

Trong trường hợp này các giá trị f(x0) và f(y0) tương ứng được gọi là

giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của f trên A.

1.2. Độ đo Lebesgue trong không gian R

k

1.2.1. σ - đại số

Định nghĩa 1.6. Cho X là một tập khác rỗng, ta nói một σ - đại số

trên X là một họ các tập con của X, chứa các tập X, ∅ và đóng đối với mọi

phép toán hữu hạn hay đếm được của tập hợp.

Hay tập X thỏa mãn các điều kiện sau

(a) Ai ∈ X, i = 1, 2, ..., n, ... thì A =

S∞

i=1 Ai ∈X;

(b) ∀A, B ∈ X, A\B ∈ X.

Ví dụ 1.1. Nếu X là một tập hợp thì họ 2

X gồm tất cả các tập con

của X là một σ - đại số.

Mệnh đề 1.4. Giao của một họ các σ - đại số trên X là một σ - đại

số trên X.

Định lý 1.1. Cho trước một họ M các tập con của một tập X. Thế

thì luôn tồn tại σ - đại số duy nhất F(M) bao hàm M và được chứa trong

mọi σ - đại số bao hàm M, tức F(M) là σ - đại số nhỏ nhất trong các σ

- đại số bao hàm M.

Định nghĩa 1.7. Ta gọi σ - đại số bao hàm M này là σ - đại số sinh

bởi M. Một σ - đại số Borel trong R

k

, thì F(G) là một σ - đại số Borel.

1.2.2. Độ đo ngoài

Một độ đo ngoài trên R

n

là một hàm µ

∗ xác định trên họ các tập con

của R

n

sao cho

(a) µ

∗

(A) > 0, ∀A ⊂ R

n

;

(b) µ

∗

(∅) = 0;

(c) A ⊂

S +∞

i=1Ai ⇒µ

∗

(A) 6

P∞

i=1µ

∗

(Ai).

7

1.2.3. Độ đo

Định nghĩa: Một hàm tập µ gọi là một độ đo nếu nó được xác định

trên một đại số C và nếu

(a) µ (A) > 0, ∀A ∈ C;

(b) µ (∅) = 0;

(c) µ là σ - cộng tính.

Định lý 1.2. (Carathéodory)

Cho µ

∗

là một độ đo ngoài trên R

n

và L là lớp tất cả các tập con A

của R

n

sao cho

µ

∗

(E) = µ

∗

(E ∩ A) + µ

∗

(E\A) với mọi E ⊂ R

n

(1.4)

Khi ấy L là một σ - đại số và hàm µ = µ

∗/L (thu hẹp của µ

∗

trên L)

là một độ đo trên L.

Độ đo µ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ

∗

.

1.3. Độ đo Hausdorff

Thật ra độ đo Lebesgue chưa đủ "tinh tế", chẳng hạn, ở Chương 2

ta sẽ thấy, nếu F là một tập Cantor thì mặc dù card F = c (lực lượng

continum), nhưng µ(F) = 0, ở đây kí hiệu card F là lực lượng của tập F.

Do đó, cần tìm độ đo tinh tế hơn để đo các tập phức tạp. Độ đo Hausdorff

là một trong những độ đo như vậy.

Cho tập F ⊂ R

k và số s > 0. Với δ > 0 cho trước ta xét những họ

hữu hạn hay đếm được các tập {{Ui}

∞

n=1 : |Ui

| < δ, i = 1, 2, ...} sao cho

S

∞

i=1

Ui ⊃ F, ở đây ký hiệu |U| là đường kính của tập U trong R

k

, tức

sup

x,y∈U

|x − y|. Nhắc lại rằng với

x = {x1, ..., xk}, y = {y1, ..., yk} ∈ R

k

thì

|x − y| =

X

k

i=1

(xi − yi)

2

!

1

2

.

8

Mỗi họ {{Ui}

∞

n=1 : |Ui

| < δ, i = 1, 2, ...} như thế được gọi là δ - phủ

của F. Kí hiệu Fδ(F) là họ tất cả các δ - phủ của F. Ta định nghĩa

Hs

δ

(F) = inf{

X

∞

i=1

|Ui

|

s

: {Ui}

∞

i=1 ∈ Fδ(F)}. (1.5)

Rõ ràng nếu δ2 < δ1 thì mọi δ2 - phủ của F đều cũng là δ1 - phủ cho

nên Hs

δ1

(F) 6 Hs

δ2

(F). Vậy hàm Hs

δ

(F) là nghịch biến nên khi δ > 0

giảm dần tới 0 thì Hs

δ

(F) tăng dần đến một giới hạn, ta kí hiệu giới hạn

đó là

Hs

(F) = lim

δ→0

Hs

δ

(F). (1.6)

Ta kiểm tra Hs

(F) là một độ đo ngoài các tập trong R

k

.

Bổ đề 1.1. Hs

(F) là một độ đo ngoài trên tập R

k

.

Ví dụ 1.2. Cho {a} là tập một điểm trong R

k

. Ta sẽ chỉ ra rằng mỗi

s > 0 thì Hs

({a}) = 0.

Giả sử ε > 0 là số tùy ý cho trước. Ta lấy δ - phủ của {a} chỉ gồm

một tập mở U có đường kính δ < ε (chẳng hạn có thể lấy U là hình cầu

mở tâm a đường kính δ < ε). Khi đó

0 ≤ H

s

δ

({a}) ≤ |U| = δ < ε.

Do đó khi δ → 0, ta có

0 ≤ H

s

({a}) < ε.

Do ε > 0 bé tùy ý nên Hs

({a}) = 0 với mỗi s > 0.

Định nghĩa 1.8. Giả sử F ⊂ R

k

. Hàm f : R

k → R

m được gọi là ánh

xạ Holder cấp α > 0 nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho:

|f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|

α

, ∀x, y ∈ F

Định lý 1.3. Cho F ⊂ R

k

và s > 0. Khi đó

(a) Nếu λ > 0 thì

Hs

(λF) = λ

sHs

(F). (1.7)

(b) Nếu f : R

k → R

m là ánh xạ Holder cấp α > 0 trên F thì

Hs/α (f (F)) ≤ c

s/αHs

(F). (1.8)

9

Hệ quả 1.1. Nếu f : R

k → R

m là một phép đẳng cự trên F, nghĩa là

|f (x) − f (y)| = |x − y| , ∀x, y ∈ F

thì

Hs

(f (F)) = Hs

(F).

Định lý 1.4. Trong định nghĩa độ đo Hausdorff, có thể thay phủ bất

kì bằng phủ mở, tức là nếu đặt

Ms

δ

(F) = inf (X

∞

i=1

|Vi

|

s

: {Vi} là δ − phủ mở của F

)

thì

Ms

δ

(F) = Hs

δ

(F)

trong đó Hs

δ

(F) được định nghĩa trong đẳng thức (1.5).

Định lý 1.5. Nếu F là tập compact thì chỉ cần lấy {Ui} là phủ hữu

hạn.

Ví dụ 1.3. Cho F = {a1, a2, ...} là một tập đếm được các điểm trong

R

k

. Ta sẽ chỉ ra rằng Hs

(F) = 0. Do Hs

là một độ đo ngoài và theo Ví

dụ (1.2), Hs

(ai) = 0, ∀i ∈ N nên

0 ≤ Hs

(F) = Hs

[

∞

i=1

ai

!

≤

X

∞

i=1

Hs

(ai) = 0.

Vậy Hs

(F) = 0.

Ví dụ 1.4. Giả sử F = (a, b) ⊂ R. Ta sẽ thấy H1

(F) = b − a. Thật

vậy, trước hết ta chú ý rằng nếu {Ui}

∞

i=1 là một phủ tùy ý của F = (a, b),

tức F = (a, b) ⊂

S

∞

i=1

Ui thì

X

∞

i=1

|Ui

| ≥ |F| = b − a.

Do đó khi {Ui}

∞

i=1 là một δ - phủ của F, ta sẽ có

H1

δ

(F) = inf (X

∞

i=1

|Ui

| : {Ui}

∞

i=1 là δ - phủ của F)

≥ b − a.

Mặt khác nếu ta chia (a, b) thành k đoạn nhỏ, mỗi đoạn có độ dài

10

∆k =

b−a

k < δ. Khi đó

H1

δ

(F) ≤

X

k

i=1

|Ui

| = k.b − a

k

= b − a.

và

H1

δ

(F) = b − a.

Cho δ → 0, ta được:

H1

δ

(F) = b − a.

Điều này có nghĩa là trong R thì H1

(a, b) là độ dài của khoảng (a, b).

1.4. Thứ nguyên Hausdorff

1.4.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản

Định nghĩa 1.9. Nếu có s > 0 để Hs

(F) < ∞, ta định nghĩa

sF = dimHF = inf 

t : Ht

(F) = 0

.

Nếu Hs

(F) = ∞, ∀s > 0 thì ta định nghĩa dimHF = ∞.

Ta gọi dimHF là thứ nguyên Hausdorff của tập F ⊂ R

k

. Để là rõ ý

nghĩa của định nghĩa của thứ nguyên Hausdorff, ta xét một số định lý cụ

thể hơn sau đây.

Định lý 1.6. Cho F ⊂ R

k

, s, t ∈ R. Khi đó

(a) Nếu Hs

(F) < ∞ thì

Ht

(F) = 0, ∀t > s. (1.9)

(b) Nếu Hs

(F) > 0 thì

Ht

(F) = ∞, ∀t < s. (1.10)

Hệ quả 1.2. Nếu 0 < F

s

(F) < ∞ thì

(a) Ht

(F) = 0, ∀t > s;

(b) Ht

(F) = ∞, ∀t < s.

Định lý 1.7. Giả sử 0 < Hs

(F) < ∞. Thế thì

s = inf 

t : H

t

(F) = 0

= sup 

t : H

t

(F) = ∞

Như vậy, nếu 0 < Hs

(F) < ∞ thì s = dimHF.

11

Chú ý 1.1. Từ các định lý (1.3) và (1.4) ta có ngay

Hs

(F) = (

0 nếu t > dimHF

∞ nếu t < dimHF

Định lý 1.8. Cho F ⊂ R

k

và f : F → R

m thỏa mãn điều kiện Holder

|f(x) − f(y)| 6 c|x − y|

α

, ∀x, y ∈ F.

Khi đó

dimHf(F) ≤

1

α

dimHF.

Hệ quả 1.3. Giả sử F ⊂ R

k

. Khi đó

(a) Nếu f : F → R

m là một ánh xạ Lipschitz cấp 1 thì

dimHf(F) ≤ dimHF.

(b) f : F → R

m là một ánh xạ Lipschitz kép, tức tồn tại c1, c2 ≥ 0 sao

cho

c1 |x − y| ≤ |f(x) − f(y)| ≤ c2 |x − y| , ∀x, y ∈ F

thì dimHf(F) = dimHF.

Nói khác đi, thứ nguyên Hausdorff bất biến qua các biến đổi Lipschitz

kép.

Định lý 1.9. Cho E, F, Ei

, i=1,...,⊂ R

k

. Khi đó

(a) Thứ nguyên dimH có tính đơn điệu, tức nếu E ⊂ F thì

dimHE ≤ dimHF.

(b) Hơn nữa, thứ nguyên dimH còn thỏa mãn tính ổn định đếm được

sau đây

dimH

[

∞

i=1

Ui

!

= sup

1≤i<∞

{dimHEi} .

(c) dimHE = 0 với mọi tập đếm được E ⊂ R.

1.5. Một số định nghĩa khác về thứ nguyên Hausdorff

Định lý 1.3 cho thấy có thể thay δ - phủ bất kỳ bằng δ - phủ mở. Trong

mục này, ta đưa ra một định nghĩa khác về thứ nguyên Hausdorff tương

đương với Định nghĩa nêu trong công thức (1.5) và (1.6).

12

Ta gọi FBδ (F) là họ các hình cầu {Bi}

∞

i=1 có đường kính |Bi

| < δ,

∀i ∈ N. Với s > 0 ta kí hiệu

B

s

δ

(F) = inf (X

∞

i=1

|Bi

| : {Bi}

∞

i=1 ∈ FBδ (F)

)

. (1.11)

Lập luận tương tự như trong trường hợp δ - phủ bất kỳ, ta nhận được

giới hạn

B

s

(F) = lim

δ→0

B

s

δ

(F). (1.12)

Bằng việc thay δ - phủ bất kỳ bằng δ - phủ hình cầu, ta có khái niệm

thứ nguyên cầu Hausdorff dimB

H (F). Ta sẽ chỉ ra kết quả sau.

Định lý 1.10. dimB

H (F) = dimH (F).

1.6. Thứ nguyên hộp

Thứ nguyên hộp còn được gọi là thứ nguyên Kolmogorov và được xây

dựng như sau. Cho F là một tập con không rỗng và bị chặn của R

n

. Gọi

Nδ (F) là số tối thiểu các hình lập phương cạnh bằng δ > 0 phủ F. Nếu

có một hằng số s > 0 sao cho tồn tại giới hạn

lim

δ→0

Nδ (F) δ

s = α,(α < ∞) (1.13)

thì s được gọi là thứ nguyên hộp của F. Ta kí hiệu

s = dimB0F.

Chú ý rằng (1.13) có thể viết

Nδ (F) δ

s = α + ε, ở đây ε → 0 khi δ → 0.

Lấy logarit hai vế, ta được

s log δ + log Nδ (F) = log (α + ε), trong đó ε → 0 khi δ → 0.

Từ đó

s +

log Nδ (F)

log δ

=

log (α + ε)

log δ

.

Khi δ → 0 thì log (α + ε) → log α, còn log δ → −∞. Do đó:

log (α + ε)

log δ

→ 0.

13

Vậy thì

s = dimB0F = lim

δ→0

log Nδ (F)

− log δ

(1.14)

khi giới hạn này tồn tại hữu hạn.

1.7. Hệ thống hàm lặp và điều kiện tập mở

1.7.1. Hệ thống hàm lặp

Cho một tập đóng D ⊂ R

n và m ánh xạ liên tục Si

: D → D,

i = 1, ..., m. Một tập E được gọi là bất biến đối với họ ánh xạ {Si}

m

i=1 nếu

E =

[

m

i=1

Si (E).

Kí hiệu K là họ các tập con compact không rỗng của D và ứng với mỗi

K ∈ K, ta đặt:

S (K) = [

m

i=1

Si (K).

Như vậy, S : K → K là một ánh xạ tập và mỗi tập bất biến của họ

ánh xạ {Si}

m

i=1 chẳng qua là một điểm bất động của S

E = S (E) = [

m

i=1

Si (E).

Một ánh xạ T : D → D được gọi là một ánh xạ co hay phép co trên D

nếu có một hằng số c ∈ (0, 1) sao cho

|T (x) − T (y)| ≤ c |x − y| , ∀x, y ∈ D.

Nếu ta có đẳng thức

|T (x) − T (y)| = c |x − y| , ∀x, y ∈ D.

thì T biến một tập con D thành tập đồng dạng với nó theo tỉ lệ c, nên

trong trường hợp này T được gọi là một phép tự đồng dạng.