Về định lí điểm bất động cho ánh xạ giữa các không gian G - Metric đầy đủ

„I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

NGUY™N THI TR×ÍNG

V ÀNH L IšM B‡T ËNG CHO NH X„

GIÚA CC KHÆNG GIAN G−METRIC †Y Õ

LUŠN V‹N TH„C Sß TON HÅC

Th¡i Nguy¶n - 2014

„I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

NGUY™N THI TR×ÍNG

V ÀNH L IšM B‡T ËNG CHO NH X„

GIÚA CC KHÆNG GIAN G−METRIC †Y Õ

Chuy¶n ng nh: TON ÙNG DÖNG

M¢ sè: 60.46.01.12

LUŠN V‹N TH„C Sß TON HÅC

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa hå

TS. H€ TR†N PH×ÌNG

Th¡i Nguy¶n - 2014

1

Mö lö

Mð u 1

1 Khæng gian G−metri 3

1.1. Khæng gian G−metri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. ành ngh¾a v  v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Mët sè t½nh h§t õa khæng gian G−metri . . . . . . 5

1.2. Tæpæ tr¶n khæng gian G−metri . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1. G−H¼nh u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2. Sü hëi tö v  t½nh li¶n tö trong khæng gian G−metri 11

1.2.3. T½nh y õ õa ¡ khæng gian G−metri . . . . . . 14

1.2.4. T½nh ompa t trong khæng gian G−metri . . . . . . 16

2 ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n ¡ khæng gian

G−metri y õ 17

2.1. Mët sè ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n ¡ khæng

gian G−metri y õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. ành lþ °p iºm b§t ëng trong ¡ khæng gian metri têng

qu¡t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. ành lþ iºm b§t ëng hung duy nh§t v  ành lþ iºm b§t

ëng ho ¡nh x¤ hñp th nh giúa ba khæng gian G−metri . 36

K¸t luªn 44

T i li»u tham kh£o 45

1

Mð u

Nhúng ành lþ iºm b§t ëng nêi ti¸ng ¢ xu§t hi»n tø u th¸ k XX,

trong â ph£i kº ¸n Nguy¶n lþ iºm b§t ëng Brouwer (1912) v  Nguy¶n

lþ ¡nh x¤ o Bana h (1922), trong â Nguy¶n lþ ¡nh x¤ o Bana h ÷ñ

¡nh gi¡ l  ành lþ iºm b§t ëng ìn gi£n nh§t v  ÷ñ sû döng rëng

r¢i nh§t. V· sau, ¡ k¸t qu£ kinh iºn n y ¢ ÷ñ mð rëng ra nhi·u lîp

¡nh x¤ v  ¡ khæng gian kh¡ nhau, thu ÷ñ nhi·u k¸t qu£ quan trång

v  ÷ñ ùng döng rëng r¢i trong nhi·u l¾nh vü kh¡ nhau õa to¡n hå .

C¡ k¸t qu£ nghi¶n ùu v· iºm b§t ëng õa ¡nh x¤ tªp Trung v o ¡

h÷îng: nghi¶n ùu sü tçn t¤i, duy nh§t ( §u tró ) õa iºm b§t ëng, ¡

ph÷ìng ph¡p t¼m iºm b§t ëng v  nghi¶n ùu ùng döng õa ành lþ iºm

b§t ëng trong ¡ l¾nh vü kh¡ khau õa to¡n hå , ° bi»t trong to¡n

hå ùng döng v  ¡ b i to¡n kinh t¸ .... C¡ æng tr¼nh theo h÷îng nghi¶n

ùu n y ÷ñ tªp hñp l¤i d÷îi mët t¶n hung: "Lþ thuy¸t iºm b§t ëng"

v  ng y  ng ÷ñ ph¡t triºn m¤nh m³.

Thíi gian gn ¥y, ¡ ành lþ iºm b§t ëng án ÷ñ mð rëng ho

¡nh x¤ giúa ¡ khæng gian G−metri . Xu§t ph¡t tø kh¡i ni»m di»n t½ h

õa mët tam gi¡ trong m°t ph¯ng, n«m 1963, Gahler ([5℄) giîi thi»u kh¡i

ni»m 2−metri tr¶n mët khæng gian. N«m 1992, Dhage ([4℄) mð rëng kh¡i

ni»m 2−metri th nh kh¡i ni»m D−metri v  n«m 2006, Z. Mustafa v 

B. Sims ¢ mð rëng th nh kh¡i ni»m G−metri . ¢ â nhi·u nh  to¡n

hå nghi¶n ùu ¡ nguy¶n lþ õa gi£i t½ h tr¶n lîp khæng gian n y, mët

trong nhúng t½nh h§t quan trång l  nguy¶n lþ iºm b§t ëng. Ch¯ng h¤n

Dhage, Mustafa, Obiedat, Karapinar, Agarwal,... v  nhi·u nh  to¡n hå

kh¡ . Vîi mö ½ h tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ nghi¶n ùu v· ành lþ iºm

b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n ¡ khæng gian G−metri y õ, hóng tæi hån

· t i "V· ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n ¡ khæng gian

G−metri y õ". Luªn v«n gçm hai h÷ìng:

Ch÷ìng 1: Khæng gian G−metri . Trong h÷ìng n y hóng tæi tr¼nh

2

b y nhúng ki¸n thù ì sð v· khæng gian G−metri v  mët sè t½nh h§t

õa lîp khæng gian â, n thi¸t ho vi» hùng minh trong Ch÷ìng 2.

Ch÷ìng 2: ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n ¡ khæng gian

G−metri y õ. ¥y l  nëi dung h½nh õa luªn v«n. Trong h÷ìng

n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ trong nghi¶n ùu v· mët sè iºm

b§t ëng: ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n ¡ khæng gian G−metri

y õ, ành lþ °p iºm b§t ëng trong ¡ khæng gian metri têng qu¡t,

ành lþ iºm b§t ëng hung duy nh§t v  ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh

x¤ hñp th nh giúa ba khæng gian G−metri

Trong suèt qu¡ tr¼nh hå tªp v  l m luªn v«n tæi ¢ ÷ñ  o t¤o, nhªn

÷ñ sü tªn t¼nh h÷îng d¨n, gióp ï v  ëng vi¶n õa ¡ thy æ trong

¤i hå Th¡i Nguy¶n, ° bi»t l  TS. H  Trn Ph÷ìng. Do vªy, thù nh§t,

tæi xin h¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­ tîi TS. H  Trn Ph÷ìng,

ng÷íi thy ¢ gióp tæi ho n th nh ÷ñ luªn v«n n y. Thù hai, tæi xin h¥n

th nh £m ìn tr÷íng ¤i hå Khoa Hå - ¤i hå Th¡i Nguy¶n v  Khoa

To¡n - Tin l  nìi tæi ÷ñ  o t¤o v  ho n th nh luªn v«n th¤ sÿ khoa

hå .

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2014

T¡ Gi£

Nguy¹n Th¡i Tr÷íng