Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

DƢƠNG THỊ LY

VỀ CÁC HÀM ĐỐI XỨNG HOÀN TOÀN

VÀ ĐỐI XỨNG SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. Nông Quốc Chinh

THÁI NGUYÊN - 2021

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành được bài luận văn thạc sỹ này, tôi xin bày tỏ sự cảm

kích đặc biệt tới PGS.TS Nông Quốc Chinh, người đã định hướng, dẫn dắt

và cố vấn cho tôi trong suốt thời gian thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học.

Xin cảm ơn những bài giảng và các tài liệu tham khảo của thầy đã giúp tôi

mở mang thêm nhiều kiến thức hữu ích để hoàn thành luận văn. Đồng thời,

thầy cũng luôn là người cho tôi những lời khuyên vô cùng quý giá về cả kiến

thức chuyên môn cũng như định hướng phát triển sự nghiệp. Một lần nữa,

tôi xin cảm ơn thầy bằng tất cả tấm lòng và sự biết ơn của mình.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, phòng Đào

tạo, Khoa Toán Tin, và các quý thầy cô đã giảng dạy lớp cao học K13A8

(2019-2021) trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tận tình

truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho em hoàn

thành khóa học.

Tôi xin cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp,

những người đã động viên, hỗ trợ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá

trình học tập và thực hiện luận văn.

Xin trân trọng cảm ơn.

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2021

Tác giả luận văn

Dương Thị Ly

Mục lục

Các kí hiệu 1

Mở đầu 2

1 Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Phân hoạch của một số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Định nghĩa phân hoạch của một số nguyên . . . . . . . 4

1.1.2 Định nghĩa hàm phân hoạch của số nguyên . . . . . . . 5

1.1.3 Biểu đồ Ferrers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Vành đa thức nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Vành đa thức một ẩn x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Vành đa thức nhiều ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Bậc của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4 Thứ tự từ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Vành đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Đa thức đối xứng sơ cấp và đa thức đối xứng thuần nhất

hoàn toàn 12

2.1 Đa thức đối xứng đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Đa thức đối xứng sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Đa thức đối xứng sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Tổng lũy thừa và đồng nhất thức Niutơn . . . . . . . . 17

2.2.3 Biệt thức của Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.4 Định lý cơ bản của đa thức đối xứng . . . . . . . . . . 19

2.3 Đa thức đối xứng thuần nhất hoàn toàn . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2 Đa thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Mối quan hệ giữa các đa thức đối xứng sơ cấp và các đa thức

đối xứng thuần nhất hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Một số ứng dụng về tính đối xứng giữa các đa thức đối xứng

sơ cấp và đa thức đối xứng thuần nhất hoàn toàn 32

3.1 Một mở rộng về tính đối xứng giữa đa thức đối xứng sơ cấp

và đa thức đối xứng thuần nhất hoàn toàn. . . . . . . . . . . . 32

3.2 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1 Khai triển lũy thừa của nhị thức . . . . . . . . . . . . 41

3.2.2 Biểu diễn các số nguyên dương . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.3 Biểu diễn bình phương của một số nguyên . . . . . . . 54

3.2.4 Biểu diễn các số Catalan . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

1

Các kí hiệu

R Tập các số thực

N Tập các số tự nhiên

Z Tập các số nguyên

Z

+ Tập các số nguyên dương

∀x Với mọi x

⌈x⌉ Số nguyên bé nhất không nhỏ hơn số thực x được gọi là trần của x

⌊x⌋ Số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực x được gọi là sàn của x

□ Kết thúc chứng minh của định lí hoặc bổ đề

∧n Tập hợp tất cả các đa thức đối xứng n biến.

2

Mở đầu

Các hàm đối xứng được ứng dụng rộng rãi trong Toán học, Vật lý và

nhiều lĩnh vực khoa học khác: Như trong đại số sơ cấp, trong lý thuyết biểu

diễn của các nhóm đối xứng và các nhóm tuyến tính tổng quát trên C hoặc

trên một trường hữu hạn, các hàm đối xứng cũng là đối tượng nghiên cứu

quan trọng của đại số tổ hợp...

Một chuỗi lũy thừa hình thức với các biến x1, x2, ..., xn được gọi là đối

xứng nếu nó bất biến đối với mọi hoán vị của các biến đã cho. Một chuỗi lũy

thừa đối xứng thường được gọi là một hàm đối xứng. Một hàm đối xứng mà

mỗi đơn thức trong nó đều có bậc k được gọi là hàm đối xứng thuần nhất

bậc k.

Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu và trình bày về các hàm đối

xứng sơ cấp và đối xứng thuần nhất hoàn toàn, một kết quả mới về tính đối

xứng giữa đa thức đối xứng sơ cấp và đa thức đối xứng thuần nhất hoàn

toàn, và một số ứng dụng. Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo,

luận văn gồm ba chương.

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này giới thiệu một số

kiến thức về phân hoạch, vành đa thức n biến, vành đa thức đối xứng với

mục đích chuẩn bị các kiến thức cơ bản sử dụng ở phần sau.

Chương 2: Đa thức đối xứng sơ cấp và đa thức đối xứng thuần nhất

hoàn toàn. Trình bày chủ yếu một số kiến thức: Đa thức đối xứng đơn thức,

đa thức đối xứng sơ cấp, đa thức đối xứng thuần nhất hoàn toàn, đa thức

Schur và mối quan hệ giữa đa thức đối xứng sơ cấp và đa thức đối xứng

3

thuần nhất hoàn toàn.

Chương 3: Một số ứng dụng về tính đối xứng giữa các đa thức đối

xứng sơ cấp và đa thức đối xứng thuần nhất hoàn toàn. Nội dung chương 3

chủ yếu trình bày về một mở rộng của tính đối xứng giữa đa thức đối xứng

sơ cấp và đa thức đối xứng thuần nhất hoàn toàn và một số ứng dụng.