Về các bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ QUỲNH LIÊN

VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG

HERMITE-HADAMARD CHO HÀM LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ QUỲNH LIÊN

VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG

HERMITE-HADAMARD CHO HÀM LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Thái Nguyên - 2016

i

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1. Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard 4

1.1 Một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi khả vi . . . . . . . 4

1.2 Bất đẳng thức Hermite - Hadamard . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Một số mở rộng của bất đẳng thức Hermite - Hadamard 12

1.4 Ứng dụng của bất đẳng thức Hermite - Hadamard trong

toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chương 2. Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho

hàm lồi khả vi 30

2.1 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả

vi bậc nhất và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm

lồi khả vi bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.2 Ứng dụng vào đánh giá các đại lượng trung bình . 37

2.2 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả

vi cấp hai và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.1 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm

lồi khả vi cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2 Ứng dụng vào đánh giá các đại lượng trung bình . 46

Tài liệu tham khảo 52

1

Mở đầu

Giải tích lồi đã và đang đóng một vị trí quan trọng trong toán học. Giải

tích lồi liên quan đến rất nhiều ngành của toán học như giải tích, giải tích

hàm, giải tích số, hình học, toán kinh tế, tối ưu phi tuyến,... Một kết quả

kinh điển trong giải tích lồi là Bất đẳng thức Hermite - Hadamard (H-H

Inequality) cho hàm lồi, được phát biểu trong Định lý dưới đây.

Định lý 0.0.1. (Hermite, 1881, [7], Hadamard, 1893, [6]) Nếu f : R → R

là hàm lồi trên đoạn [a; b] thì ta có

f



a + b

2



≤

1

b − a

Z

b

a

f(t)dt ≤

f(a) + f(b)

2

. (1)

Năm 1906, Fejér [8] đã mở rộng bất đẳng thức (1) thành bất đẳng thức

(2), sau này được gọi là bất đẳng thức Fejér.

Định lý 0.0.2. Nếu f : R → R là hàm lồi trên đoạn [a; b] và g : [a; b] → R

là một hàm không âm, khả tích và đối xứng qua điểm x =

a + b

2

thì

f



a + b

2

 Z

b

a

g(t)dt ≤

Z

b

a

f(t)g(t)dt ≤

f(a) + f(b)

2

Z

b

a

g(t)dt. (2)

Khi g(x) ≡ 1 thì bất đẳng thức Fejér trở thành bất đẳng thức Hermite

- Hadamard. Sau đó, nhiều tác giả đã mở rộng bất đẳng thức Hermite

- Hadamard và bất đẳng thức Fejér. Xem, thí dụ, các cuốn sách chuyên

khảo về bất đẳng thức [1], [2] và các tài liệu tham khảo khác.

2

Các bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard có nhiều ứng dụng thực

tế, thí dụ, trong các bài toán: đặc trưng hàm lồi, quan hệ giữa các đại

lượng trung bình, lí thuyết xấp xỉ,...

Mục đích chính của Luận văn là trình bày tổng quan về các bất đẳng

thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi.

Luận văn bố cục theo hai chương:

Chương 1: Trình bày một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi khả vi, chứng

minh các bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi một biến,

một số mở rộng và ứng dụng của bất đẳng thức Hermite - Hadamard.

Chương 2: Trình bày chứng minh các bất đẳng thức dạng Hermite -

Hadamard cho hàm lồi một biến khả vi (cấp một, cấp hai) trên đoạn [a; b],

đồng thời cũng nêu ứng dụng của nó trong đánh giá các giá trị trung bình.

Sau một thời gian cố gắng, nỗ lực học tập và nghiên cứu, đến nay tôi

đã hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình. Để có được kết quả này, trước

tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn chân thành nhất đến

thầy tôi, PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người đã định hướng nghiên cứu khoa

học và luôn tận tình chỉ dạy cho tôi trong suốt thời gian thực hiện luận

văn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô ở trường Đại học

Khoa học, Đại học Thái Nguyên và các thầy cô ở Viện Toán học đã luôn

tận tình giúp đỡ, theo dõi và động viên cho tôi trong suốt quá trình thực

hiện luận văn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè thân yêu, đồng nghiệp đang công tác

tại trường THPT Trần Nhật Duật luôn thông cảm, chia sẻ khó khăn và

tạo điều kiện tốt nhất để tôi có thể học tập, nghiên cứu và hoàn thành