Ước lượng xác suất phá sản trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất với dãy số tiền thu, dãy lãi suất là các xích Markov thuần nhất

Phùng Duy Quang Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 113(13): 33 - 38

33

ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT PHÁ SẢN TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM

TỔNG QUÁT CÓ TÁC ĐỘNG CỦA LÃI SUẤT VỚI DÃY SỐ TIỀN THU,

DÃY LÃI SUẤT LÀ CÁC XÍCH MARKOV THUẦN NHẤT

Phùng Duy Quang*

Trường Đại học Ngoại thương Hà Nội

TÓM TẮT

Trong bài báo này chúng tôi xây dựng phương trình đệ quy và phương trình tích phân cho xác suất

phá sản và từ đó xây dựng công thức ước lượng xác suất phá sản trong mô hình bảo hiểm tổng

quát có tác động của lãi suất với dãy số tiền thu, dãy lãi suất là các xích Markov thuần nhất, còn

dãy số tiền trả bảo hiểm độc lập cùng phân phối (dãy số tiền thu, dãy số tiền đòi trả, dãy lãi suất là

độc lập với nhau).

Từ khóa: phương trình đệ quy, phương trình tích phân, xác suất phá sản, số tiền đòi trả, số tiền

thu, dãy lãi suất, xích Markov thuần nhất.

ĐẶT VẤN ĐỀ*

Đối với mô hình bảo hiểm tổng quát với thời

gian rời rạc có tác động của lãi suất, ở mỗi

thời kỳ số tiền thu bảo hiểm X = { } Xi ≥0i

, số

tiền đòi trả bảo hiểm Y ={ } 0j

Yj ≥

, dãy lãi suất I

={ }k 0k

I

≥

được giả thiết là các biến ngẫu nhiên

không âm, độc lập cùng phân phối và ba dãy

biến ngẫu nhiên này là độc lập với nhau. Khi

đó, ở mỗi thời kỳ n ( n ≥1), vốn của kỳ trước

được đem đầu tư với lãi suất là dãy biến ngẫu

nhiên I. Khi đó, vốn ở thời kỳ n được xác

định như sau:

U U 1( )I X n;Y ...,2,1 n = −1n + n + n − n = (1.1)

Uo = u > 0

Khi đó, xác suất phá sản đến thời kỳ n được

định nghĩa bởi











 Ψ = <

=

∪

n

1k

n k

)u( (1.2) P U( )0

và xác suất phá sản (với thời gian vô hạn) là











 Ψ = Ψ = <

∞

=

∞→ ∪

1n

n n

n

)u( (1.3) Lim )u( P U( )0

Sự tác động của lãi suất đến xác suất phá sản,

đã được Sundt và Teugels ([7], 1995; [8],

1997) nghiên cứu cho trường hợp hằng số,

trong mô hình rủi ro Poisson phức hợp. Chủ

đề này được tiếp tục nghiên cứu trong các mô

hình rủi ro, bởi nhiều tác giả như Rolski et al

*

Tel:0912083250; Email: [email protected]

([5], 1999), Asussen ([1], 2000), Yang ([10],

1999) đã xét mô hình (1.1) trong trường hợp

đặc biệt khi dãy lãi suất { }n 1n

I

≥

là các hằng

số. Ngoài ra, Cai ([3], 2004), Xu, L. và Wang,

R. ([9], 2006) cũng đã xét mô hình (1.1) và

(1.2) khi { }n 0n

I

≥

là xích Markov và dãy

{ } Xi ≥0i

, { } 0j

Yj ≥

là các dãy biến ngẫu nhiên

độc lập hoặc dãy tự hồi quy cấp 1.

Bài báo tiếp cận theo hướng xây dựng

phương trình đệ quy và phương trình tích

phân cho xác suất phá sản và từ đó xây dựng

công thức ước lượng xác suất phá sản của mô

hình (1.1) với giả thiết X ={ } Xi ≥0i

, I =

{ }k 0k

I

≥

là các dãy biến ngẫu nhiên không

âm,là các xích Markov thuần nhất còn Y=

{ } 0j

Yj ≥

, là các dãy biến ngẫu nhiên không âm,

độc lập, cùng phân phối và X, Y, I là độc lập.

Nội dung của bài báo gồm các mục: Mục 2

xây dựng phương trình tích phân cho xác suất

phá sản của mô hình (1.1) với giả thiết 2.1 –

2.5 được giới thiệu ở định lý 2.1; Mục 3 của

bài báo đưa ra Bổ đề 3.1 chỉ ra sự tồn tại duy

nhất hằng số Ro>0 để kết hợp với định lý 2.1

thu được một ước lượng dưới dạng hàm mũ

cho xác suất phá sản của mô hình (1.1), kết

quả này được trình bày trong định lý 3.1.

Cuối cùng mục 4 đưa ra các kết luận thu được

của bài báo.