Ứng dụng xác suất để giải các bài toán tổ hợp

ĐẠI H窺CăĐÀăNẴNG

TR姶云NGăĐẠI H窺CăS姶ăPHẠM

NGUYỄN THỊ THẾ NHÂN

ỨNG DỤNG XÁC SU遺TăĐỂ GIẢI

CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP

Chuyên ngành: Ph逢ơngăphápătoánăsơăc医p

Mưăsố:ă60.46 .01.13

TÓMăTẮTăLU一NăV;NăTHẠCăSĨăKHOAăH窺C

Đ ăN ng - N<mă2017

Công trình được hoàn thành tại

TR姶云NGăĐẠIăH窺CăS姶ăPHẠM,ăĐHĐN

Ng逢運iăh逢噂ngăd磯năkhoaăh丑c:

TS.ăCaoăV<năNuôi

Phản biện 1: TS. Lê Văn Dũng

Phản biện 2: TS. Trần Đức Thành

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp Toán Sơ

Cấp tại Trường Đại học Sư phạm ngày 28 tháng 1 năm

2017.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

2

M雲ăĐ井U

1. Lý do ch丑năđ隠ătƠi:

Hiện nay trong chương trình toán ở bậc phổ thông, phần tổ

h嬰p – xác suất là m瓜t trong những n瓜i dung quan trọng, nó thường

xuất hiện trong các đề thi cao đẳng và đ衣i học ở nước ta. Mặc dù ở

m泳c đ瓜 không khó nhưng học sinh vẫn gặp khó khăn khi giải quyết

các bài toán này. Còn trong các kỳ thi Quốc gia và Quốc tế, các bài

toán tổ h嬰p luôn có mặt và là m瓜t thử thách thực sự với các thí sinh,

thậm chí quyết định thành tích đối với các đ瓜i tuyển dự thi. Trong

thực tế có nhiều bài toán xác suất thường đư嬰c giải nhờ 泳ng d映ng

các kỹ thuật tính toán c栄a tổ h嬰p. Ngư嬰c l衣i, theo cách nhìn khác thì

ta có thể 泳ng d映ng các kỹ thuật tính toán c栄a xác suất để giải các bài

toán tổ h嬰p, nên tôi chọn đề tài: “ 永ng d映ng xác suất để giải các bài

toán tổ h嬰p” làm đề tài luận văn tốt nghiệp bậc học cao học Toán c栄a

mình, nhằm ph映c v映 cho công tác giảng d衣y c栄a tôi nói chung và

luyện thi học sinh giỏi nói riêng

2. M映căđíchănghiênăc泳u:

- Nghiên c泳u về lý thuyết xác suất và 泳ng d映ng các kỹ thuật tính

toán c栄a lý thuyết xác suất để giải các bài toán tổ h嬰p

3. Đ嘘iăt逢嬰ngăvƠăph衣măviănghiênăc泳u:

- Đối tư嬰ng: 永ng d映ng xác suất để giải các bài toán tổ h嬰p

- Ph衣m vi nghiên c泳u: Xác suất, tổ h嬰p và 泳ng d映ng c栄a lý thuyết

xác suất đến tổ h嬰p

4. Ph逢挨ngăphápănghiênăc泳u

3

- Nghiên c泳u lý thuyết thông qua việc sưu tầm các lo衣i tài liệu như

sách, báo, t衣p chí, m衣ng internet, thầy cô, b衣n bè. Trình bày m瓜t cách

có hệ thống các n瓜i dung lý thuyết đã nghiên c泳u và tìm hiểu. M厩i

n瓜i dung ta phải ch泳ng minh c映 thể, rõ ràng và lấy ví d映 minh họa

xác thực dễ hiểu.

- Phân lo衣i và hệ thống các d衣ng toán c映 thể.

5. ụăngh┄aăkhoaăh丑căvƠăthựcăti宇năc栄aăđ隠ătƠi:

Đề tài đã tổng h嬰p các lý thuyết xác xuất, tổ h嬰p.

Đề tài sẽ h厩 tr嬰 các b衣n sinh viên ngành Toán 泳ng d映ng các

kỹ thuật tính toán c栄a xác suất để tính các bài toán tổ h嬰p.

6.ăC医uătrúcăc栄aălu壱năv<n

Ch逢挨ngă1.ăC挨ăs荏ălỦăthuy院tăxácăsu医t

Ch逢挨ngă2.ă永ngăd映ngăxácăsu医tăđ吋ăgi違iăcácăbƠiătoán t鰻ăh嬰p

Ch逢挨ngă3.ăM瓜tăs嘘ăvíăd映ăminhăh丑a

4

Ch逢挨ngă1

C愛ăS雲ăLụăTHUY蔭TăXỄCăSU遺T

1.1 CỄCăKHỄIăNI烏MăM雲 Đ井U

1.1.1.瓜ăđoăxácăsu医tăvƠăkhôngăgianăxácăsu医t

Xét  là m瓜t tập khác r厩ng,  là - đ衣i số các tập con

c栄a và  là đ瓜 đo xác định trên . Nếu đ瓜 đo  thỏa mãn:

( ) 1  

Thì ta nói  là m瓜t đ瓜 đo xác suất trên 

Khi đó ta gọi b瓜 ba ( ,,  ) là m瓜t không gian xác suất.

Trong tường h嬰p không gian mẫu hữu h衣n hoặc vô h衣n đếm đư嬰c,

người ta thường lấy  = ( ) với ( ) là lớp tất cả các tập con

c栄a  và thường kí hiệu  = P (P là viết tắt c栄a từ Probability).

Khi đó người ta gọi:

-/ Tập chỉ ch泳a m瓜t phần tử c栄a không gian mẫu { } là biến cố sơ

cấp.

-/ Tập A là biến cố.

-/ Nếu A, B  và A  B thì ta nói B là biến cố kéo theo c栄a A

-/ Nếu A, B  và A  B =  thì A và B gọi là hai biến cố xung

khắc nhau.

-/ Nếu A và B =  \ A thì A và B gọi là hai biến cố đối nhau.

5

-/ Tập  đư嬰c gọi là biến cố chắc chắn (surely event).

-/ Tập  đư嬰c gọi là biến cố không thể (hay bất khả) (the imposible

event).

1.1.2 Cácăđ鵜nhăngh┄aăc鰻ăđi吋năc栄aăxácăsu医t

Đ鵜nhăngh┄aăc鰻ăđi吋năc栄aăxácăsu医t

Giả sử xác suất c栄a các biến cố sơ cấp là đồng khả năng và

tập  (thường gọi là không gian mẫu) có số phần tử hữu h衣n. Giả sử

n là số tất cả các kết quả có thể xảy ra trong m瓜t thí nghiệm ngẫu

nhiên để biến cố A nào đó xảy ra và m là số tất cả các trường h嬰p

biến cố A có thể xảy ra.

Khi đó xác suất c栄a biến cố A theo định nghĩa cổ điển c栄a xác suất

là :

( ) m

P A

n



Ta dễ dàng thử l衣i rằng với định nghĩa cổ điển c栄a xác suất

như thế thì nó thỏa mãn các tiên đề c栄a m瓜t đ瓜 đo xác suất trên  -

đ衣i số lớp tất cả các tập con c栄a  .

Đ鵜nhăngh┄aăhìnhăh丑căc栄aăxácăsu医t

Ta kí hiệu G là miền không gian mẫu c栄a m瓜t thí nghiệm

ngẫu nhiên về biến cố A nào đó và g đư嬰c kí hiệu là miền biểu diễn

biến cố g xảy ra.

Định nghĩa theo hình học xác suất c栄a biến cố A là :

( ) ( ) .

( )

meas g P A

meas G



trong đó Meas(g) là đ瓜 đo c栄a miền g

6

Rõ ràng, định nghĩa hình học c栄a xác suất thỏa mãn các tiên đề c栄a

m瓜t đ瓜 đo xác suất.

Đ鵜nhăngh┄aăxácăsu医tătheoăth嘘ngăkê

Trong m瓜t thí nghiệm ngẫu nhiên có n trường h嬰p xảy ra và

trong đó có m trường h嬰p biến cố A xảy ra. Định nghĩa theo thống kê

c栄a biến cố A là :

( ) limn

m

P A

 n



Trong thực tế với n đ栄 lớn, người ta xấp xỉ :

( ) . m

P A

n



1.2 CỄCăTệNHăCH遺TăC曳AăĐ浦ăĐOăXỄCăSU遺T

Vì đ瓜 đo xác suất là m瓜t đ瓜 đo nên nó có tất cả các tính chất

c栄a m瓜t đ瓜 đo trên các vành. Ngoài ra nó còn có thêm m瓜t số tính

chất đặc biệt khác. Trong phần này ta chỉ đề cập đến các tính chất

đặc biệt c栄a đ瓜 đo xác suất và không nhắc l衣i các tính chất c栄a đ瓜 đo

trên vành đã biết . Ta kí hiệu ( ,,  ) là m瓜t không gian xác suất.

Tínhăch医tă1. Với mọi biến cố A  ta có 0 ( ) 1.    A

Tínhăch医tă2. Với mọi biến cố A ta có :

( ) 1 ( ) C   A A  

Tínhăch医tă3. Với mọi biến cố A, B  ta có :

    ( ) ( ) ( ) ( ) A B A B A B     

Công th泳c này đư嬰c gọi là công th泳c c瓜ng xác suất.

7

1.3 XỄCăSU遺TăĐI陰UăKI烏NăVĨăCỌNGăTH永CăXỄCăSU遺Tă

TOĨNăPH井Năă(Đ井YăĐ曳)ă

1.3.1 Xácăsu医tăđi隠uăki羽n

Cho họ{ } An n N   .Ta nói họ này là họ đầy đ栄 các biến cố

nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn:

1/ ( ) 0, .  A n n  

2/ , A A i j i j     

3/

1

.

n

i

i

A



  

Đ鵜nhălíă1.3.1 Xét B  và ( ) 0 B  . Lớp B ={ A B  \A} t衣o

thành 1  - đ衣i số con c栄a  - đ衣i số 

Đ鵜nhălíă1.3.2. Với mọi A  hàm tập:

( ) ( )

( ) B

A B A

B









 , (B, ( ) 0 B  )

là m瓜t đ瓜 đo xác suất và đư嬰c gọi là xác suất điều kiện với điều kiện

B.

Hơn nữa, ( ) 1  B B  nên  B

là m瓜t đ瓜 đo xác suất trên B Không

gian (B; B;  B

)là không gian xác suất con c栄a c栄a không gian xác

suất ( ,,  ).

Đ瓜 đo  B

đư嬰c gọi là xác suất điều kiện với điều kiện B.