Ứng dụng sai phân trong giải toán trung học phổ thông.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN MINH SƠN

ỨNG DỤNG SAI PHÂN TRONG

GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mãsố: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG

Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 2: TS. TRỊNH ĐÀO CHIẾN

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 18

tháng 12 năm 2015.

Có thể tìm Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng

rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật cũng như trong thực tiễn.

Nội dung của nó là đưa các bài toán cần xét về việc giải phương trình

sai phân hoặc hệ phương trình sai phân. Trong lĩnh vực toán bậc

Trung học phổ thông, phương pháp sai phân cũng có rất nhiều ứng

dụng. Với mục đích tìm hiểu, nghiên cứu về các tính chất của sai

phân để từ đó áp dụng vào việc giải các bài toán bậc Trung học phổ

thông, phục vụ cho công tác giảng dạy tại trường phổ thông chuyên,

luận văn này tập trung trình bày các tính chất của sai phân và ứng

dụng chúng để tính tổng, xác định số hạng tổng quát của dãy số, giải

một số dạng phương trình sai phân và phương trình hàm ở bậc phổ

thông. Đó là lý do tôi chọn đề tài “Ứng dụng sai phân trong giải

toán trung học phổ thông”.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài này là sử dụng một số tính chất của sai

phân để tính tổng ; xác định số hạng tổng quát của dãy số, giải một số

phương trình sai phân cấp một, cấp hai, cấp ba, giải một số phương

trình sai phân với hệ số biến thiên dạng đặc biệt, phương pháp xây

dựng dãy số nguyên ; Giải phương trình hàm sai phân bậc một,

phương trình hàm sai phân bậc một có điều kiện hàm bằng cách sử

dụng phương trình sai phân.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tƣợng nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp

một, cấp hai, cấp ba; Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến

thiên. Từ đó áp dụng để giải một số bài toán chọn lọc về dãy số.

2

3.2. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu từ các tài liệu, các giáo trình về phương pháp

hàm, chuyên khảo dãy số của các tác giả liên quan.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

Trong luận văn, các kiến thức sử dụng nằm trong các lĩnh

vực sau đây: Toán học giải tích, Giải tích hàm, Lý thuyết phương

trình sai phân.

5. Bố cục luận văn

Nội dung của luận văn được trình bày bao gồm các phần

chính như sau:

Mở đầu

Chƣơng 1. Kiến thức cơ sở.

1.1 Một số định nghĩa.

1.2 Tính chất.

1.3 Tích phân bất định.

1.4 Phương pháp tích phân từng phần.

1.5 Phương pháp hệ số bất định.

1.6 Phương trình sai phân.

Chƣơng 2 Ứng dụng tính chất sai phân trong toán học

bậc Trung học phổ thông.

2.1 Ứng dụng tính tổng.

2.2 Ứng dụng trong dãy số.

2.3 Một số ứng dụng trong phương trình hàm.

2.3.1 Phương trình hàm sai phân bậc một.

2.3.2 Phương trình hàm sai phân bậc một có điều kiện.

2.3.3 Phương trình hàm dạng “

k

i i i=1

 a f (x) + g(x) = 0

”.

3

2.3.3.1 Cách giải.

2.3.3.2 Các ví dụ.

2.3.3.3 Xây dựng dãy số thông qua hàm số ngược.

2.3.3.4 Một số bài toán phương trình hàm khác có liên

quan đến sai phân.

6. Kết luận

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết và thực tiễn, có thể sử

dụng như là tài liệu tham khảo dành cho học sinh chuyên Toán trung

học phổ thông và giáo viên giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn

toán bậc trung học phổ thông.

4

CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Nội dung chương này nhằm trình bày một số định nghĩa, tính

chất cơ bản của Lý thuyết sai phân nhằm tạo dựng nền móng và sự

liên kết đối với chương sau.

1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa 1.1.1 Cho

x

u

là một hàm theo

x

. Khi đó:

( ) (0)

1 ( 1) ( ) , 1,2, ;( ) 1 n

x x x x n x

u u u u n u

  

     

được gọi là biểu thức giai thừa.

Định nghĩa 1.1.2 Cho

x

u

là một hàm theo

x

. Khi đó

1

:

x x x

u u u



  

được gọi là sai phân cấp 1 của

x

u .

Giả sử đã định nghĩa được sai phân cấp

n  1

của

x

u

. Khi đó

sai phân cấp

n

của

x

u

được định nghĩa như sau:

 

1 0 ( 1,2,...), : n n

x x x x

u u n u u



       .

1.2 TÍNH CHẤT

(1)

  C 0

(với

C

là hằng số).

(2)

  x x x x

      u v u v .

(3)

  x x

   ku k u

(với

k

là hằng số).

(4)

  x x x x x x 1

u v u v v u



     .

(5) Sai phân mọi cấp đều có thể biểu diễn theo giá trị của hàm.

(6) Sai phân cấp

k

của hàm số

x

u

là một toán tử tuyến tính.

(7)

1

n

x n m

x m

u u u





   

(với

m n 

). Đặc biệt:

1 1

1

n

x n

x

u u u





   

5

(8) Nếu

x

u

là đa thức bậc

n

của

x

thì

 

2  

1 2

0 0 0 0 2! !

n

n

x

x x

u u x u u u

n

        .

Định lý 1.2.1 Ta có đẳng thức:

(n) (n-1) x = nx

Định lý 1.2.2 Ta có đẳng thức sau:

  ( 1) ( ) ( ) n n

a bx bn a bx 

   

1.3. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử

  x x x x x

        v u v C v u .

Khi đó

x

v C

gọi là tích phân bất định của

x

u

, ký hiệu là

1

x

u



 .

Vậy

1

x x

u v C 

  

(với

C

là hằng số)

Tính chất 1.3.1

(1)

 

1 1 1

x x x x

u v u v C           .

(2)

 

1 1

x x

ku k u C      

(với

k

là hằng số)

(3)

   

1 1

x x x x x x 1

u v u v v u C  



      

(giống như công thức

tính tích phân)

1.4 PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.

Ta có công thức sau đây :

   

1 1

x x x x x x 1

u v u v v u C  



      

Ví dụ 1.4.1 Tìm tích phân bất định của

( ) ( 1)cos

2

x

f x x 

  .

Lời giải: Ta cần tính

1

( 1)cos

2

x

x

 

 

. Đặt

1

cos .

2

x

x

u x

x

v



 

 











6

Suy ra

1

1 2 sin sin .

4 2 2 4 2 2sin

4

x

x

u

x x

v

   



 

     





     

         

Khi đó

1

( 1)cos

2

x

x

 

  2 2 ( 1) 1

( 1) sin sin

2 4 2 2 4 2

x x

x

     

       

                 

2 2 1

( 1) sin sin

2 4 2 2 4 2

x x

x

    

                        

2 2 1 ( 1) sin . os

2 4 2 2 2 2sin

4

x x

x c C

  



     

     

2 1 ( 1) sin os .

2 4 2 2 2

x x

x c C

  

     

     

1.5. PHƢƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH.

Ví dụ 1.5.1 Tìm tích phân bất định của .

x

x2 f x)=

x +1) x +2)



 

Lời giải: Ta cần tính

1 2

( 1)( 2)

x

x

x x





 

.

Ta phải tìm

x

v

để

1

2 ( )2

( 1)( 2) 1

x x

x x x x

x f x

v v v v

x x x 

     

  

Suy ra

1

( 1)2 ( )2 2

2 1 ( 1)( 2)

x x x f x f x x

x x x x





 

   

      2( 1) ( 1) ( 2) ( ) . x f x x f x x (1.1)

Vậy ta chỉ cần chọn

f x a ( ) 

(

a

là hằng số).

Thay vào (1.1), ta được

2( 1) ( 2) 1. x a x a x ax x a        

7

Vậy

1 2 2

( 1)( 2) 1

x x

x

C

x x x



  

  

1.6. PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Phương trình sai phân cấp

k

là một hệ thức tuyến tính chứa

sai phân

k

x

 u

:

 

2

, , ,..., ( ). k

x x x x

F u u u u g x    

Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của

hàm số, do đó:

Cho dãy số

  1

n n

x





.

Xét phương trình

0 1 1 ( ) n k n k k n a x a x a x g n

  

   (1.2)

trong đó

g n 

là hàm số theo

n

, và

0 1 , , , k

a a a 

là các hằng số.

Khi đó phương trình

0 1 1 0

n k n k k n a x a x a x

  

   (1.3)

được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với (1.2).

Phương trình:

1

0 1 0

k k

k

a a a  



    (1.4)

được gọi là phương trình đặc trưng của (1.2), đồng thời cũng được

gọi là phương trình đặc trưng của (1.3).

+ Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) có dạng:

*

,

n n n

x x x      n 1,2,

trong đó

n

x

là nghiệm tổng quát của phương trình (1.3),

*

n

x

là một

nghiệm riêng bất kỳ của phương trình (1.2).

+ Ta có một số kết quả sau đây:

(i) Nếu (1.3) có

k

nghiệm thực phân biệt

1 2 , , , k

   

thì (1.2) có

nghiệm tổng quát là

1 1 2 2 , 1,2, n n n

n k k x c c c n          

8

(với

1 2 , , , k

c c c 

là các hằng số).

Khi biết

1 2 , , , k

x x x 

ta sẽ tìm được cụ thể các hằng số

1 2 , , , k

c c c  .

Khi đó

1 1 2 2 , 1,2, n n n

n k k x c c c n          

(với

1 2 , , , k

c c c 

là các hằng số vừa tìm được ở trên gọi là một nghiệm

riêng của (1.2).

(ii) Nếu (1.3) viết được như sau:

0 0 1 2 3         0,

s h k

k q a a a                 

với các

1 2 3 , , ,...,

q

   

là khác nhau đôi một. Tức là (1.3) có

1



là

nghiệm bội

s ,

2



là nghiệm bội

h

và

3

, ,

q

   là các nghiệm đơn,

với

s h q k     ( 2)

, thì (1.2) có nghiệm tổng quát là

3 3

n n

n q q

x c c      

1

11 12 1 1

s n

s

c c n c n 



  

 

1

21 22 2 2 , 1,2, h n

h

c c n c n n 



     

( với

11 12 1 21 22 2 3 , , , , , , , , , , s h q c c c c c c c c    là hằng số).

(iii) Nếu (1.3) có

s

nghiệm thực phân biệt

1 2 , , ,

s

   

và

cos sin 

q

       a bi r i

( với

2 2

,

q

r a b Arg q

      

)

là nghiệm phức bội

h

thì số phức liên hợp

cos sin 

q

       a bi r i

cũng là nghiệm phức bội

h

của (1.10)

Khi đó (1.2) có nghiệm tổng quát là

 

1

1 1 2 2 1 2 cos

n n n n h

n s s h x c c c r A A n A n n     

         

 

1

1 2 sin , n h

h

r B B n B n n



      

(với

1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , s h h c c c A A A B B B   

là các hằng số).

9

CHƢƠNG 2

ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT SAI PHÂN TRONG TOÁN HỌC

BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 ỨNG DỤNG TÍNH TỔNG

Ta sử dụng

1

1

1

n

x n

x

u u u





    .

Đối với ví dụ tính tổng

1

1

n

k

k

a







, ta biến đổi

1

k k k k k k 1

a x x x x a





       .

Khi đó

1 1 1

1 1 1 1 1

n n n n

k k n k k

k k

a x x x x a

 



 

         .

Ví dụ 2.1.1 Tính tổng

1

( 1)

n

x

n

x

S x



  

Lời giải: Ta có:

 

1

1

1 1

( 1) ( 1)

n n

x x

n

x

S x x







     

Ta cần tính

 

1

( 1)x

x



  .

Ta cần tìm

x

v

để

1

( 1) ( )( 1) x x

x x x x

v v v x v f x



       

Suy ra

1

( 1)( 1) ( )( 1) ( 1) ( 1) ( ) . x x x f x f x x f x f x x 

          

(2.1)

Vậy ta chỉ cần chọn

f x ax b x ( ) ,    

(

ab,

là hằng số).

Thay vào (2.1), ta được

1 1

2 2 ,

2 4

ax a b ax b x ax a b x a b               

Vậy

 

1 1 1 ( 1)

2

( 1)

4

x x

x x



     

     

.

10

Do đó

1

1

1 1 ( 1)

2 4

n

x

n

S x



   

     

1 1 1 ( 1) ( 1)

4 4 2

n n       n

Một ứng dụng để tính tổng nữa bằng cách dùng sai phân từng phần;

Ta có:

1

1

m m m

n x x x x x x n

x n x n

Q u v u v v u





 

       (2.2)

Ví dụ 2.1.2 Tính tổng

2

0

( 1)

3 2

x x

n

n

n

x

x C

S

 x x



 

 

.

Lời giải: Ta có:

2

2 2

2

0 0

( 1)

( 1)( 2) ( 1)

( 1)( 2)

x x

n n

n x x

n n n

x x

x C

S n n S x C

n n



 



 



       

 

2

2

0

( 1)( 2) ( 1)

n

x x

n n

x

n n S x C 





     

2

2 1 1

2 2

0

( 1) ( 1)( 1)

n

x x n n

n n

x

x C n C



  

 



     

Đặt

2 1 1

2 1

1

( 1) ( 1)

x x

x x x x

x n x n

u x u

v C v C   

 

  



    

         

Áp dụng (2.2) ta được

2 2 1

2 1 1 2

2 1 1 0 0 0

( 1) ( 1) ( 1)

n n n

x x x x x x

n n n

x x

x C x C C

  

   

  

 

        

1

2 1 2

1 1 0

( 1)( 1) ( 1)

n

n n x x

n n

n C C



  

 

     

1

2 1 1

1

0

( 1)( 1) ( 1)

n

n n x x

n n

n C C



  



    

Do đó

( 1)( 2)

n

n n S   ( 1) ( 1)( 1) 1 ( 1)( 2)  

n

            n n n n n n n