Ứng dụng lượng giác để giải một số bài toán đại số và giải tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ

BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Giảng viên hướng dẫn : Th.S Nguyễn Thị Sinh

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Thục Uyên

Lớp : 13ST

Đà nẵng, tháng 5 năm 2017

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 2

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU.................................................................................................................. 3

1. Lý do chọn đề tài: ..................................................................................................... 3

2. Phạm vi nghiên cứu:................................................................................................. 3

3. Cấu trúc của luận văn: .............................................................................................. 3

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CƠ SỞ............................................................ 5

1. Các công thức lượng giác cơ bản: ............................................................................ 5

2. Các hệ thức lượng giác thường được dùng trong bài:.............................................. 7

3. Một số cách đặt để đưa bài toán về dạng lượng giác: ............................................ 12

4. Các bước giải bài toán đại số và giải tích sử dụng phương pháp lượng giác

hóa: ............................................................................................................................. 15

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ

BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH....................................................... 16

1. Ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số.......................................... 16

2. Ứng dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức. ............................................. 22

3. Ứng dụng lượng giác để giải phương trình. ........................................................... 30

4. Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình........................................................ 40

5. Ứng dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất................................ 46

6. Ứng dụng lượng giác để tính giới hạn và tìm số hạng tổng quát của dãy số. ........ 54

KẾT LUẬN........................................................................................................... 56

1. Nhận xét và đánh giá chung về đề tài................................................................... 56

1.1 Kết quả đạt được................................................................................................... 56

1.2 Hạn chế ................................................................................................................. 56

2. Hướng phát triển của đề tài .................................................................................. 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 57

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu và được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo

Nguyễn Thị Sinh, đến nay luận văn tốt nghiệp của em đã được hoàn thành.

Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo Nguyễn Thị Sinh đã

giúp đỡ em rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn tốt nghiệp của

mình.

Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán, thư viện đã giúp đỡ và tạo điều

kiện thuận lợi nhất để em hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.

Sau cùng, em xin kính chúc cô Nguyễn Thị Sinh và quý thầy cô khoa Toán thật

dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh của mình là truyền đạt kiến

thức cho thế hệ mai sau.

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 4

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:

Để giải một bài toán phụ thuộc chủ yếu vào việc xác định đúng đắn đường lối

giải bài toán đó. Quá trình đi từ đường lối đúng đắn đến việc có một lời giải tốt đòi hỏi

người học phải biết lựa chọn phương pháp và công cụ thích hợp. Một trong những

phương pháp hay, hữu hiệu thường được áp dụng để giải quyết các bài toán đại số và

giải tích phức tạp đó là ứng dụng lượng giác nhằm đưa ra những phép đặt phù hợp cho

bài toán hay còn gọi là phương pháp lượng giác hóa.

Vậy thế nào là phương pháp lượng giác hóa?

Khi giải các bài toán đại số và giải tích dựa vào những điều kiện bó hẹp của biến,

ta đặt ẩn phụ quy bài toán ban đầu về bài toán lượng giác, sau đó giải bài toán lượng

giác bình thường, từ kết quả đó ta có kết quả của bài toán ban đầu. Đó chính là phương

pháp lượng giác hóa.

Bằng cách lượng giác hóa thích hợp sẽ góp phần đưa bài toán khó giải trực tiếp

về một bài toán gián tiếp đơn giản và dễ giải hơn.

Tuy nhiên, khi nào thì nên sử dụng phương pháp lượng giác hóa và cách thức

lượng giác hóa một bài toán như thế nào thật là không đơn giản. Chúng ta cần phải

nhìn bài toán một cách tổng quát cũng như phải hiểu kỹ từng nội dung , phương pháp

lượng giác hóa để chuyển bài toán phức tạp về bài toán đơn giản hơn. Hơn nữa, các

bài toán đại số và giải tích sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải thường xuyên

xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và các đề tuyển chọn học sinh

giỏi trong nước và quốc tế. Thế nhưng sách giáo khoa rất ít bài tập dạng này. Cho nên,

việc hướng dẫn cho học sinh THPT biết cách sử dụng phương pháp lượng giác hóa để

giải một số bài toán đại số và giải tích phức tạp là điều hết sức cần thiết.

Với những lí do trên và với tư cách là một người giáo viên dạy toán trong tương

lai, em nghiên cứu đề tài “Ứng dụng lượng giác để giải một số bài toán đại số và giải

tích” và chọn đó là đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.

2. Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài: “Ứng dụng lượng giác để giải một số bài toán đại số và giải tích” nghiên

cứu giải các bài toán đại số và giải tích trong chương trình phổ thông.

3. Cấu trúc của luận văn:

Luận văn này gồm hai chương:

Chương I: Lý thuyết cơ sở

Chương này gồm có 3 phần:

1. Các công thức lượng giác cơ bản:

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 5

Phần này hệ thống lại tất cả các công thức lượng giác cơ bản nhất

để áp dụng vào giải các bài toán trong chương II.

2. Các hệ thức lượng giác thường được dùng trong bài:

Phần này chứng minh các hệ thức lượng giác cơ bản thường được

sử dụng trong chương II để khi giải toán ta chỉ việc áp dụng mà

không cần chứng minh lại.

3. Một số cách đặt để đưa bài toán về dạng lượng giác:

Phần này nêu các dấu hiệu đặc biệt của bài toán sử dụng phương

pháp lượng giác hóa cũng như cách đặt ẩn phụ để lượng giác hóa bài

toán cho phù hợp.

4. Các bước giải bài toán đại số và giải tích sử dụng phương pháp

lượng giác hóa.

Chương II: Ứng dụng lượng giác để giải một số bài toán đại số và giải tích.

Chương này gồm 6 phần liên quan đến việc ứng dụng lượng giác để giải

toán, mỗi phần là các dạng toán và cách giải. Các dạng bài toán được trình bày

rõ ràng, logic.

1. Ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số.

2. Ứng dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức.

3. Ứng dụng lượng giác để giải phương trình.

4. Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình.

5. Ứng dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

6. Ứng dụng lượng giác để tính giới hạn và tìm số hạng tổng quát của

dãy số.