Tuyệt chiêu hàm số

Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12

Tính ñơn ñiệu của hàm số

5

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. ðịnh nghĩa :

Giả sử K là một khoảng , một ñoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác ñịnh trên K ñược gọi là

• ðồng biến trên K nếu với mọi x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , , ∈ < ⇒ < ( ) ( )

• Nghịch biến trên K nếu với mọi x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , , ∈ < ⇒ > ( ) ( )

2. ðiều kiện cần ñể hàm số ñơn ñiệu :

Giả sử hàm số f có ñạo hàm trên khoảng I

• Nếu hàm số f ñồng biến trên khoảng I thì f x ' 0 ( ) ≥ với mọi x I ∈

• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f x ' 0 ( ) ≤ với mọi x I ∈

3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñơn ñiệu :

ðịnh lý 1 : ðịnh lý về giá trị trung bình của phép vi phân (ðịnh lý Lagrange):

Nếu hàm số f liên tục trên   a b;

  và có ñạo hàm trên khoảng (a b; ) thì tồn tại ít nhất một ñiểm c a b ∈ ( ; )

sao cho f b f a f c b a ( ) − = − ( ) '( )( )

ðịnh lý 2 :

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một ñoạn , f là hàm số liên tục trên I và có ñạo hàm tại

mọi ñiểm trong của I ( tức là ñiểm thuộc I nhưng không phải ñầu mút của I ) .Khi ñó :

• Nếu f x ' 0 ( ) > với mọi x I ∈ thì hàm số f ñồng biến trên khoảng I

• Nếu f x ' 0 ( ) < với mọi x I ∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

• Nếu f x ' 0 ( ) = với mọi x I ∈ thì hàm số f không ñổi trên khoảng I

Chú ý :

• Nếu hàm số f liên tục trên   a b;

  và có ñạo hàm f x ' 0 ( ) > trên khoảng (a b; ) thì hàm số f ñồng biến

trên   a b;

 

• Nếu hàm số f liên tục trên   a b;

  và có ñạo hàm f x ' 0 ( ) < trên khoảng (a b; ) thì hàm số f nghịch

biến trên   a b;

 

TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ

Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12

Tính ñơn ñiệu của hàm số

6

CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN

Ví dụ 1:

Xét chiều biến thiên của các hàm số :

Giải :

( ) 1 3 2 ) 3 8 2

3

a f x x x x = − + −

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ .

Ta có ( )

2

f x x x ' 6 8 = − +

f x x x ' 0 2, 4 ( ) = ⇔ = =

Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau :

x −∞ 2 4 +∞

f x '( ) + 0 − 0 +

f x( ) +∞

−∞

Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng (−∞;2) và (4;+∞), nghịch biến trên khoảng (2;4)

( )

2

2

)

1

x x b f x

x

−

=

−

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp ℝ \ 1{ }.

Ta có ( )

( )

( )

( )

2

2

2 2

1 1 2 2 ' 0, 1

1 1

x x x f x x

x x

− + − +

= = > ≠

− −

Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau :

x −∞ 1 +∞

f x '( ) + +

+∞ +∞

f x( )

−∞ −∞

( ) 1 3 2 ) 3 8 2

3

a f x x x x = − + −

( )

2

2

)

1

x x b f x

x

−

=

−

( )

3 2 c f x x x x ) 3 3 2 = + + +

( ) 1 1 3 2 ) 2 2

3 2

d f x x x x = − − +

Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12

Tính ñơn ñiệu của hàm số

7

Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng (−∞;1) và (1;+∞)

( )

3 2 c f x x x x ) 3 3 2 = + + +

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ .

Ta có ( ) ( )2

2

f x x x x ' 3 6 3 3 1 = = + = +

f x x ' 0 1 ( ) = ⇔ = − và f x ' 0 ( ) > với mọi x ≠ −1

Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng (−∞ −; 1



và 1; ) − +∞ 

nên hàm số ñồng biến trên ℝ .

Hoặc ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số :

x −∞ −1 +∞

f x '( ) + 0 +

f x( ) +∞

1

−∞

Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng (−∞ −; 1



và 1; ) − +∞ 

nên hàm số ñồng biến trên ℝ .

( ) 1 1 3 2 ) 2 2

3 2

d f x x x x = − − + Tương tự bài a)

Ví dụ 2:

Giải :

( )

3 2 a f x x x ) 2 3 1 = + +

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ .

Ta có ( )

2

f x x x ' 6 6 = +

f x x f x ' 0, ; 1 , 0; ( ) > ∈ −∞ − +∞ ⇒ ( ) ( ) ( ) ñồng biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 1) và (0;+∞).

f x x f x ' 0, 1;0 ( ) < ∈ − ⇒ ( ) ( ) nghịch biến trên khoảng (−1;0) .

Ngoài ra : Học sinh có thể giải f x ' 0 ( ) = , tìm ra hai nghiệm x x = − = 1, 0 , kẻ bảng biến thiên rồi kết

luận.

Xét chiều biến thiên của các hàm số :

( )

3 2 a f x x x ) 2 3 1 = + +

( )

4 2 b f x x x ) 2 5 = − −

( ) 4 2 3 2 ) 6 9

3 3

c f x x x x = − + − −

( )

2

d f x x x ) 2 = −

Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12

Tính ñơn ñiệu của hàm số

8

( )

4 2 b f x x x ) 2 5 = − −

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ .

Ta có ( )

3

f x x x ' 4 4 = −

f x x f x ' 0, 1;0 , 1; ( ) > ∈ − +∞ ⇒ ( ) ( ) ( ) ñồng biến trên mỗi khoảng (−1;0) và (1;+∞) .

f x x f x ' 0, ; 1 , 0;1 ( ) < ∈ −∞ − ⇒ ( ) ( ) ( ) nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 1) và (0;1).

Ngoài ra : Học sinh có thể giải f x ' 0 ( ) = , tìm ra hai nghiệm x x x = − = = 1, 0, 1, kẻ bảng biến thiên rồi

kết luận.

( ) 4 2 3 2 ) 6 9

3 3

c f x x x x = − + − −

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ .

Ta có ( ) ( )2

2

f x x x x ' 4 12 9 2 3 = − + − = − −

( ) 3

' 0

2

f x x = ⇔ = và f x ' 0 ( ) < với mọi 3

2

x ≠

Vì hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng 3

;

2

  −∞ 

 

và 3

;

2

 

 +∞

 

nên hàm số nghịch biến trên ℝ .

( )

2

d f x x x ) 2 = −

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên   0;2   .

Ta có ( ) ( )

2

1

' , 0;2

2

x

f x x

x x

−

= ∈

−

f x x f x ' 0, 0;1 ( ) > ∈ ⇒ ( ) ( ) ñồng biến trên khoảng (0;1)

f x x f x ' 0, 1;2 ( ) < ∈ ⇒ ( ) ( ) nghịch biến trên khoảng (1;2)

Hoặc có thể trình bày :

f x x f x ' 0, 0;1 ( ) > ∈ ⇒ ( ) ( ) ñồng biến trên ñoạn   0;1  

f x x f x ' 0, 1;2 ( ) < ∈ ⇒ ( ) ( ) nghịch biến trên ñoạn   1;2  

Ví dụ 3:

Giải :

Dễ thấy hàm số ñã cho liên tục trên ñoạn   0;2   và có ñạo hàm ( )

2

' 0

4

x

f x

x

−

= <

−

với mọi

x ∈ (0;2). Do ñó hàm số nghịch biến trên ñoạn   0;2   .

Chứng minh rằng hàm số ( )

2

f x x = − 4 nghịch biến trên ñoạn   0;2  