Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Tuyển tập bài toán đại số và hình học 11
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 1
TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
17 QUANG TRUNG
Cần Thơ 2013
Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xuân Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ
Điện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 2
Chương 1. Hàm số lượng giác
Chương 2. Tổ hợp – xác suất
Chương 3. Dãy số - cấp số cộng – cấp số nhân
Chương 4. Giới hạn
Chương 5. Đạo hàm
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 3
Chương 1
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
+ Tìm điều kiện (nếu có) để bài toán có nghĩa
+ Biến đổi để đưa phương trình về một trong các dạng đã biết cách giải
+ Giải phương trình và chọn nghiệm phù hợp
+ Kết luận
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cung liên kết
a) Cung đối: x và x
cos x cos x sin x sin x
tan x tan x cot x cot x
b) Cung bù: ( x) và x
cos x cos x sin x sin x
tan x tan x cot x cot x
c) Cung phụ: x và x
2
cos x sin x
2
sin x cos x
2
tan( x) cot x
2
cot x tan x
2
d) Cung hơn kém : ( x) và x
cos x cos x sin x sin x
tan x tan x cot x cot x
e) Cung hơn kém
2
: x và x
2
cos / 2 x sin x sin / 2 x cos x
tan / 2 x tan x cot / 2 x cot x
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 4
2. Công thức lượng giác
Công thức cộng: Cho a và b là 2 góc bất kỳ, ta có
sin(a b) sin a cos b sin b cosa
cos(a b) cosa cos b sin a sin b
tan a tan b tan(a b)
1 tan a tan b
Công thức nhân đôi
2 2 2 2
2
cos 2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a
sin2a 2sin a cos a
2 tan a tan2a ; (a k )
1 tan a 4 2
Công thức nhân ba
3
3
sin 3a 3sin a 4sin a
cos3a 4cos a 3cosa
Công thức hạ bậc
2 2 2 1 cos 2a 1 cos 2a 1 cos 2a sin a ; cos a ; tan a
2 2 1 cos 2a
Công thức chia đôi
Đặt a
t tan
2
, khi đó
2
2 2 2
2t 1 t 2t sin a ; cosa ; tan a
1 t 1 t 1 t
Công thức biến đổi tổng thành tích
a b a b sin a sin b 2sin cos
2 2
a b a b sin a sin b 2cos sin
2 2
a b a b cos a cos b 2cos cos
2 2
a b a b cos a cos b 2sin sin
2 2
sin(a b) tan a tan b
c
osa cos b
sin(b a) cot a cot b
sin a sin b
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 5
Công thức biến đổi tích thành tổng
1
sin a sin b [cos(a b) cos(a b)]
2
1
cos a cos b [cos(a b) cos(a b)]
2
1
sin a cos b [sin(a b) sin(a b)]
2
B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC QUEN THUỘC
1. Các phương trình lượng giác cơ bản
u v k2
sin u sin v
u v k2
u v k2
cos u cos v
u v k2
tan u tan v u v k , (u, v / 2 k )
cot u cot v u v k , (u, v k )
(u,v là các biểu thức chứa ẩn, k )
2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
Dạng
2
a sin x bsin x c 0
2
a cos x bcos x c 0
2
a tan x b tan x c 0
2
a cot x bcot x c 0
(với a 0 , a, b,c )
Phương pháp giải
2
a sin x bsin x c 0 , đặt t sin x , t 1
2
a cos x bcos x c 0 , đặt t cos x , t 1
2
a tan x b tan x c 0 , đặt t tan x , đk x / 2 k
2
a cot x bcot x c 0 , t cot x , đk x k
Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc 2 theo biến t, giải tìm t thỏa đk bài toán,
suy ra nghiệm x của phương trình
Ví dụ: Giải phương trình cos 2x 5 6 cos x
Ta có 2
cos 2x 5 6cos x 2cos x 6cos x 4 0 (*)
Đặt t cos x, t 1 . Khi đó (*) trở thành 2
t 1
2t 6t 4 0
t 2 (loai)
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 6
Với t 1 cos x 1 x 2k
3. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
Dạng
a sin x b cos x c (với 2 2 a b 0 ) (*)
Phương pháp giải
+ Nếu 2 2 2 a b c thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu 2 2 2 a b c thì phương trình có nghiệm. Khi đó :
Chia 2 vế của (*) cho 2 2 a b . Đặt
2 2 2 2
a b cos ;sin
a b a b
Khi đó (*) trở thành
2 2
c
sin(x )
a b
, đây là phương trình cơ bản.
Ví dụ: Giải phương trình sin3x 3 cos 3x 2
Ta có 2 2 a b 2 2 (c 2) nên phương trình đã cho có nghiệm, chia hai vế của
phương trình cho 2 ta được
1 3 2 sin3x cos3x cos sin 3x sin cos3x sin
2 2 2 3 3 4
2
3x 2k x k
3 4 36 3 sin 3x sin
3 4 5 2 3x 2k x k
3 4 36 3
4. Phương trình đối xứng đối với sin và cos
Dạng
a(sin x cos x) bsin x cos x c 0 (1)
hoặc a(sin x cos x) bsin x cos x c 0 (2)
Phương pháp giải
- Đối với (1), đặt t sin x cos x 2 sin(x )
4
, đk t 2 .
Khi đó
2
t 1 sin x cos x
2
và (1) trở thành
2
2
t 1 at b c 0 bt 2at (2c b) 0
2
Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm nghiệm x của phương trình từ t 2 sin(x )
4
- Đối với (2), đặt t sin x cos x 2 sin(x )
4
, đk t 2 .
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 7
Khi đó
2
1 t sin x cos x
2
và (2) trở thành
2
1 t 2
at b c 0 bt 2at (2c b) 0
2
, Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm
nghiệm x của phương trình từ t 2 sin(x )
4
.
Ví dụ: Giải phương trình sin x cos x 2 6 sin x cos x
Đặt t sin x cos x 2 sin(x )
4
, đk t 2 ,
2
1 t sin x cos x
2
.
Khi đó phương trình đã cho trở thành
2 2
1 2
6 6 t 6(1 t ) 6t t 6 0 t , t
3 2
thỏa điều kiện t 2 .
Với 1
6 6 3 t 2 sin(x ) sin(x )
3 4 3 4 3
3 3 x arcsin k2 x arcsin k2
4 3 3 4
3 3 5 x arcsin k2 x arcsin k2
4 3 3 4
Với 1
6 6 3 t 2 sin(x ) sin(x )
2 4 2 4 2
x k2 x k2
4 3 12
5
x k2 x k2
4 3 12
5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin và cos
Dạng
2 2 a sin x bsin x cos x c cos x d (*)
Phương pháp giải
+ Nếu cos x 0 là nghiệm của (*) thì ta có nghiệm x k
2
.
+ Nếu cos x 0 x k
2
, khi đó chia 2 vế cho 2
cos x ta được
2
(a d) tan x b tan x (c d) 0
Giải phương trình bậc hai theo tham số tanx
Ví dụ: Giải phương trình 2 2 4sin x 3 3 sin2x 2cos x 4
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 8
+ Khi 2
cos x 0
x k
2 sin x 1
, ta có VP 4 VT , suy ra x k
2
là nghiệm.
+ Khi x k
2
chia 2 vế cho 2
cos x ta được
2 2 4 tan x 6 3 tan x 2 4(1 tan x) 6 3 tan x 6
3
tan x tan x tan x k
3 6 6
Kết luận x k
6
hoặc x k
2
.
6. Phương trình chứa căn thức (dạng cơ bản)
Phương pháp giải
Để giải được phương trình lượng giác chứa căn thức (dạng cơ bản) ta cần phải nắm được
một số tính chất sau :
2
2
A, A 0
1) A A
A, A 0
2) A B A B 0
B 0
3) A B
A B
A 0
4) A B C B 0
A B 2 AB C
Chú ý : Đối với những dạng 3 3 4 4 A B C, A B C ta thường dùng phương pháp
chuyển về hệ đại số (xem bài tập 4 cuối bài giảng).
Ví dụ : Giải phương trình 1 cos x sin x 0
2
sin x 0
1 cos x sin x 0 1 cos x sin x
1 cos x 1 cos x
sin x 0 sin x 0
sin x 1 x k2
cos x 0 sin x 1 2
cos x 1
cos x 1 cos x 1 x k2
7. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối
Phương pháp giải
Để giải được phương trình lượng giác chứa giá trị tuyệt đối ta cần phải nắm được một số
tính chất sau :
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 9
2 2
2 2
1) A B A B A B
B 0 B 0
2) A B
A B A B
A 0
3) A B A B
B 0
A 0
4) A B A B
B 0
Ví dụ : Giải phương trình x x cos 1 3 sin
2 2
2 2 2
x x 3 1 3 sin 0 sin
x x 2 2 3 cos 1 3 sin
2 2 x x x x x cos 1 2 3 sin 3sin 4sin 2 3 sin 0
2 2 2 2 2
x
sin 0 x k2 , k .
2
C. MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phương pháp 1. Dùng các công thức biến đổi lượng giác đưa một phương trình lượng
giác về một trong các dạng phương trình quen thuộc.
Ví dụ : giải phương trình 3 5sin4x.cos x 6sin x 2cos x
2cos 2x
+ Điều kiện cos 2x 0 x k
4 2
+ Phương trình đã cho tương đương với
3 3 2
2
2
3 3
3
6sin x 2cos x 5sin2x.cos x 6sin x 2cos x 10sinx.cos x
sin x sinx.cos x 6 2 10 6 tan x(1 tan x) 2 10 tan x
cos x cos x
6 tan x 4 tan x 2 0
Giải ra ta được tan x 1 x k
4
(loại).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Phương pháp 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình tích
A (x).A (x)....A (x) 0 1 2 n
để chuyển về giải tuyển các phương trình quen thuộc.
Ví dụ : giải phương trình cos x cos 2x cos3x 0
Ta có
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 10
cos x cos 2x cos3x 0 2cos 2x cos x cos 2x 0 cos 2x(2cos x 1) 0
k
2x k x cos 2x 0 2 4 2 ;k
2cos x 1 2 2 x k2 x k2
3 3
Vậy nghiệm của phương trình k
x
4 2
;
2
x k2
3
, k .
Phương pháp 3. Sử dụng tính bị chặn của hàm số hay dùng bất đẳng thức,...để đánh giá
hai vế của phương trình rồi rút ra nghiệm.
Ví dụ : giải phương trình 3 3 4 sin x cos x 2 sin x
Ta có
3 2
3 3
3 2
1 sin x 1 sin x sin x sin x cos x 1
1 cos x 1 cos x cos x
Mặt khác 4 4 0 sin x 1 2 sin x 1
Vậy phương trình đã cho tương đương với
4
3 2
3 2
3 3
sin x 1
sin x sin x sin x 1
x k2
cos x cos x cos x 0 2
sin x cos x 1
D. PHẦN BÀI TẬP
Dạng 1. Phương trình cơ bản
Bài 1. Giải phương trình
1) cos x sin x 2 sin x 2) cos x sin x 2 cos x
3) sin x cos x 2 cos3x 4) sin x cos x 2 sin5x
Bài 2. Giải phương trình
1) 4 4 1
cos x sin x (3 cos6x)
4
2) 6 6 2 1
cos x sin x cos 2x
16
3) 6 6 4 4 6(cos x sin x) 5(cos x sin x) 4) 2 2 cos (x / 4) sin x 1/ 2
Bài 3. Giải phương trình
1) cos x.cos3x cos5x.cos 7x 2) 1
sin x.cos 2x sin2x.cos3x sin5x
2
3) 2 2 2 2cos 2x cos 2x 4sin 2x cos x 4) 3 2 4cos 2x 6sin x 3
5) cos x cos 2x sin3x (1/ 4)sin2x 6) 1 cos x sin2x sin x cos5x cos 2x
2
7) 2 3 cos10x 2cos 4x 6cos3x cos x cos x 8cos x cos 3x
Bài 4. Giải phương trình
1) 3 3 cos x sin x sin x cos x 2 / 8 2) 3 3 cos x cos3x sin x sin3x 2 / 4
3) 3 3 sin x cos3x cos x sin3x 3 / 4 4) 3 3 3 cos xcos3x sin xsin3x cos 4x 1/4
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 11
Bài 5. Giải các phương trình
1) cos x sin 2x 0
3
2) cos x cos x 1
3 3
3) tan 2x.tan x 1 4) 2 2 2 sin x sin x.tan x 3
5) 2 2 5cos x sin x 4 6) 1
3 sin x cos x
cos x
7) 4 4 cos 2x sin 3x sin 2x 8) tan x 1 tan x
4
9) 3 3 1
sin x cos x cos x sin x
4
10) 4 4 sin x cos x cos 4x
11) cos7x - sin5x = 3 ( cos5x - sin7x) 12) 2 2 sin 5x cos 3x 1
13) 2
cos x cos 2x cos 4x
16
14) sin sin x 1
15)
2 2 cos x sin x
1 sin x 1 cos x
16) 1 1 2
cos x sin 2x sin 4x
Bài 6. Cho phương trình tan cos x cot sin x
1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
2. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn 3 ; của phương trình.
Bài 7. Cho phương trình sin6
x + cos6
x = m.
1. Xác định m để phương trình có nghiệm.
2. Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng 0;
Bài 8. Giải và biện luận phương trình
2
2m 1 cos 2x 2msin x 3m 2 0
Dạng 2. Phương trình với một hàm số của một cung
Bài 1. Giải phương trình
1) cos 2x 3sin x 2 0 2) 4 2 4sin x 12cos x 7
3) 2 2 6sin x 2sin 2x 3 4) 6 tan x t an2x
5) 3(tan x cot x) 2(2 sin2x) 6) 4 3 cot x cos 2x 1
Bài 2. Giải phương trình
1) sin3x 2cos 2x 2 0 2) sin3x sin x 1 0
3) 3
cos x cos 2x 4cos x 1 0 4) cos 3x 2 cos 2x 2 0
5) 4 6 cos x cos 2x 2sin x 0 6) 6 4 3cos 2x sin 2x cos 4x 0
Bài 3. Giải phương trình
1) 3cos x cos 2x cos3x 2sin x sin2x 2) sin3x cos 2x 1 2sin x cos 2x
3) 2sin x sin3x (3 2 1)cos 2x 3 0 4) 2
8sin x sin( / 3 x)sin( / 3 x) 1
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 12
5) 2
8cos x cos(x 2 / 3) cos(x / 3) 1 6) 2
4cos (x / 4)sin 6x 2sin 6x 1
7) sin x cos 2x 1/ 4 8) 4cos x 2cos 2x cos 4x 1 0
9) 2
cos 2x cos x(2 tan x 1) 2
Bài 4. Giải phương trình
1) 6
3cos x 4sin x 6
3cos x 4sin x 1
2) 2 1 cos x
tan x
cos x
3) 2
(sin x cos x ) 5 cos( / 6 x) 4) sin3x cos3x 2
sin 2x
sin x cos x
5) 1
2cos 2x 8cos x 7
cos x
6)
2 2 cot x tan x 16(1 cos 4x)
cos2x
7) 2
3cos 4x 2cos 3x 1 8) sin2x tan x 2
9) 2
sin2x 2cos x tan x 3 10) 2
t an2x cot x 8cos x
Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau
1) 2
2cos x 5sin x 4 0
3 3
2) 5
cos 2x 4cos x 0
2
3) 4 4 sin x cos x cos 2x 4) 4 4 1
cos x sin x sin 2x
2
5)
2
2 2 cos 3x 2 2 cos3x 1 0 6) 4 4 x x cos sin 2sin x 1
2 2
7)
6 6 4 sin x cos x cos 2x 0
2
8) 2 tan x 3cot x 4
9) 4 2 1
cos x sin x
4
10)
2 2
6 6
cos x sin x 4cot 2x
sin x cos x
11) 1
2 tan x cot x 2sin 2x
sin 2x
12) 8 8 2 17 sin x cos x cos 2x
16
13) 4 cos x cos 4x 1 2 cos 2x 14) 5 5 2 4sin xcosx 4cos xsinx cos 4x 1
15) 2 2 cos 4x cos 3x cos x 1 16) sin 3x cos 2x 1 2sin x cos 2x
Bài 6: Cho phương trình sin 3x mcos 2x (m 1)sin x m 0
1) Giải phương trình khi m = 2.
2) Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng 0; 2
Dạng 3. Phương trình đối xứng
Bài 1. Giải phương trình
1) sin2x 12(sin x cos x) 12 0 2) 1 sin2x cos x sin x
3) cos 2x 5 2(2 cos x)(sin x cos x) 4) 3 3 sin x sin x cos x cos x 1
5) 3 3 sin x cos x 1 6) sin3x cos3x 1 sin2x
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 13
7) (1 cos x)(1 sin x) 2 8) 1 1 2 2
cos x sin x
9) tan x 2sin x 1 0 10) 1 1 10 cos x sin x
cos x sin x 3
Bài 2. Giải phương trình
1) 2 2 2(tan x cot x) 5(tan x cot x) 6 0 2) 2
2
1
tan x 5(tan x cot x) 7 0
sin x
3) 2 2 tan x tan x cot x cot x 2 4) 2
2
1
cot x 4(tan x cot x) 0
cos x
5) 2 3 2 3 tan x tan x tan x cot x cot x cot x 6
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau
1) 2 sin x cos x sin 2x 1 0 2) sin x cos x 6 sin x cos x 1
3) sin 2x 2 sin x 1
4
4) tan x 2 2 sin x 1
5) 3 3 sin x cos x 1 6) 1 sin x 1 cos x 2
7) 2sin x tan x cot x
4
8)
3
sin x cos x sin x cos x 1 0
9)
4
sin x cos x 3sin 2x 1 0 10) 3 3 cos x sin x cos 2x
11)
3 3 sin x cos x 2 sin x cosx 3sin 2x 0 12)
3
sin x cos x 1 sin x cos x
13) 1 1 sinx cosx 2 tanx cot x 0
sinx cosx
14) 1 sin 2x sin x cos x cos 2x
Bài 4: Cho phương trình 3 3 cos x sin x m . Xác định m để phương trình có nghiệm.
Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau:
1)
2 2 3 tan x cot x 2 tan x cot x 2 0 2) 7 7 tan x cot x tan x cot x
3) 2 3 2 3 tanx tan x tan x cot x cot x cot x 6 4)
4 2 2 9 tan x cot x 48 tan x cot x 96
5)
2 2 3 tan x cot x tan x cot x 6 6)
4 2 2 3 tan x cot x 8 tan x cot x 21
Bài 6: Cho phương trình
2 2 2 tan x cot x 2 m 2 tan x cot x m m . Xác định m để
phương trình có nghiệm.
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp với sin, cos
Bài 1. Giải phương trình
1) 3
6sin x 2cos x 5sin2x cos x 2) 3
4cos x sin x cos x 0
3) 2
4cos x sin x cos x sin x 4) 3sin x s in3x 2 cos x
5) 4cos x cos 2x cos x 3 sin x 6) 3 3 sin x cos x sin x cos x
7) 3 3 2 cos x 4sin x cos x sin x sin x 0 8) 3 3 2 4sin x 3cos x 3sin x cos x sin x 0
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 14
Bài 2. Giải phương trình
1) 3
sin (x / 4) 2 sin x 2) 3 1 8sin x
cos x sin x
3) 3 1 2(sin x 3 cos x)
cos x sin x
4) (t an3x 2) cos x sin x
Bài 3. Giải các phương trình lượng giác sau
1) 3 sin x cos x 2 0 2) 3
3sin x 1 4sin x 3 cos3x
3) 4 4 sin x cos x 1
4
4)
4 4 2 cos x sin x 3 sin 4x 2
5) 2sin 2x 2 sin 4x 0 6) 3sin 2x 2cos 2x 3
7) 9
3cos x 2 3 sin x
2
8) 4cos3x 3sin 3x 5 0
9) 2
sin x cos x sin x cos 2x 10) tan x 3cot x 4 sin x 3 cos x
11) 2sin 3x 3 cos 7x sin 7x 0 12) cos5x sin 3x 3 cos3x sin 5x
13)
2
2sin x cos x 1 cos x sin x 14) 1 cosx sin3x cos3x sin2x sin x
15) 3
3sin x 1 4sin x 3 cos3x 16) 3 sin x cos x 2cos x 2
3
Bài 4. Cho phương trình 3msin x 2m 1 cos x 3m 1
1) Giải phương trình khi m = 1.
2) Xác định m để phương trình có nghiệm.
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1) cos x sin x 1
y
sin x 2cos x 4
2) cos3x sin 3x 1
y
cos3x 2
3) 1 3sin x 2cos x
y
2 sin x cos x
4)
2
sin x cos x cos x
y
sin x cos x 1
Dạng 5. Phương trình chứa căn thức
Bài 1. Giải phương trình
1) 1 s in2x 2 cos 2x 0 2) 3 sin x cos x 2 2cos 2x
3) 2
3 sin2x 2cos x 2 2 cos 2x 4) 2
sin x 2sin x 2 2sin x 1
5) sin x cos x 1 6) 2
sin x 2 sin x 2
7) 1 sin x 1 sin x 2cos x 8) 1 sin x 1 sin x 1 cos x
9) 1 cos x 1 cos x 4sin x
cos x
10) 1 sin2x 1 sin2x 4cos x
sin x
11) sin x(1 cot x) cos x(1 tan x) 2 sin x cos x
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 15
Bài 2. Giải phương trình
1) sin x cos x 2sin2x 1 2) 2
cos x tan x 1 cos 2x
3) 3 3
cos x 1 2 2cos x 1 4) 3 3
8cos x 1 3 6cos x 1
5) 2 2 sin x 2 sin x sin x 2 sin x 3
Dạng 6. Phương trình chứa trị tuyệt đối
Bài 1. Giải phương trình
1) cos x sin3x 0 2) 2cos x sin x 1
3) 3cos x 2 sin x 2 4) cos3x 1 3 sin3x
5) sin3x 1 3 cos3x 6) 1 2 sin x cos x 0
7) 1 sin2x cos x sin x 8) 2 2 sin x cos x sin x cos x 0
Bài 2. Giải phương trình
1) 2
3cos x 2 sin x 2 0 2) sin x cos x 4sin2x 1
3) sin x cos x sin x cos x 1 4) sin x cos x sin x cos x 2
5) 4 4 cos x sin x cos x sin x
Dạng 7. Phương trình đưa về dạng tích
Bài 1. Giải phương trình
1) 3 3 cos x sin x sin x cos x 2) 3 3 cos x sin x cos 2x
3) cos x 3 sin x cos3x 0 4) 3 sin2x cos5x cos9x
5) cos x cos 2x sin3x 0 6) 3 cos x sin x sin3x
7) sin x sin2x sin3x cosx cos2x cos3x 8) 1 sin x cos x sin2x cos 2x 0
9) 5sin x 6sin2x 5sin3x s in4x 0
Bài 2. Giải phương trình
1) 2 2 2 sin x sin 2x sin 3x 1/ 2 2) 2 2 2 sin 3x sin 2x sin x 0
3)
2 2 sin 2x cos 8x cos10x / 2 4) 3 3 5 5 sin x cos x 2(sin x cos x)
5) 6 6 8 8 sin x cos x 2(sin x cos x) 6) 2
t an2x cot x 8cos x
7) cos x cos 4x cos 2x cos3x 0 8) 4sin2x 3cos 2x 3(4sin x 1)
Bài 3. Giải phương trình
1) 1 sin x cos 2x sin x cos 2x 2) 3sin x 2cos 2x 2 3tan x
3) 2(tan x sin x) 3(cot x cos x) 5 0 4) 3(cot x cos x) 5(tan x sin x) 2
5) 9sin x 6cos x 3sin2x cos 2x 8 6) 2 3 cos x cos x sin x 0
7) 3 3 sin x cos x sin x cos x 8) 2s in2x cos 2x 7 sin x 2 cos x 4