Tự đẳng cấu nhóm bảo toàn lớp liên hợp và ứng dụng trong quan hệ đồng chất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

.....  .....

PHAN THỊ HƯƠNG LÀI

TỰ ĐẲNG CẤU NHÓM

BẢO TOÀN LỚP LIÊN HỢP VÀ

ỨNG DỤNG TRONG QUAN HỆ

ĐỒNG CHẤT

CHUYÊN NGÀNH : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ : 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2012

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Gia Định

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp Thạc sĩ ngành Phương pháp Toán sơ cấp họp tại Đại

học Đà Nẵng vào ngày 1 tháng 7 năm 2012.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Cho G là một nhóm. Aut(G) và Inn(G) lần lượt là nhóm các tự

đẳng cấu và nhóm các tự đẳng cấu trong của nhóm G. Với

x G

, ký

hiệu

G

x

là lớp liên hợp của x trong G. Một tự đẳng cấu α của nhóm

G được gọi tự đẳng cấu nhóm bảo toàn lớp liên hợp nếu

( ) , G  x x 

với mọi phần tử x thuộc G. Tập AutC(G) gồm tất cả các tự đẳng cấu

bảo toàn lớp liên hợp của G là một nhóm, và Inn(G) là một nhóm con

chuẩn tắc của AutC(G). Các nhóm AutC(G), Inn(G) và nhóm thương

OutC(G) = AutC(G)/Inn(G) có những ứng dụng trong lý thuyết nhóm,

chẳng hạn chúng là những bất biến đối với quan hệ đồng chất trên tập

các nhóm.

Nếu G là nhóm giao hoán, rõ ràng Inn(G) = AutC(G). Năm 1911,

nhà toán học người Anh, W. Burnside [2] đã nêu một câu hỏi: Có tồn

tại hay không một nhóm hữu hạn G sao cho G có một tự đẳng cấu

bảo toàn lớp liên hợp mà không phải là tự đẳng cấu trong? Câu hỏi

này đặc biệt được quan tâm khi G là một p – nhóm. Năm 1913,

W.Burnside [3] đã đưa ra được câu trả lời cho câu hỏi đó bằng cách

xây dựng một nhóm G có cấp p6

, p là số nguyên tố lẻ, mà OutC(G) ≠ 1.

Năm 1947, G. E. Wall [13] đã chỉ ra tồn tại nhóm G cấp 25 mà

OutC(G) ≠ 1. Tiếp sau đó, nhiều nhóm khác [4] cũng đã được các nhà

toán học xây dựng với OutC(G) ≠ 1, nhưng các nhóm ấy đều có cấp

lớn hơn p6

. Năm 2001, M. Kumar và L. R. Vermani [7] đã chứng tỏ

OutC(G) = 1 với mọi nhóm có cấp p4

. Nhằm tìm hiểu các tự đẳng cấu

nhóm bảo toàn lớp liên hợp, tôi chọn đề tài luận văn Thạc sĩ của

mình là: “Tự đẳng cấu nhóm bảo toàn lớp liên hợp và ứng dụng

trong quan hệ đồng chất”.

2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu tự đẳng cấu nhóm bảo toàn lớp liên hợp và các tính

chất của nó.

- Nghiên cứu quan hệ đồng chất trên tập các nhóm.

- Khảo sát ứng dụng của tự đẳng cấu nhóm bảo toàn lớp liên hợp

vào quan hệ đồng chất trên tập các nhóm.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các p – nhóm hữu hạn.

- Tự đẳng cấu nhóm bảo toàn lớp liên hợp.

- Quan hệ đồng chất trên các p – nhóm hữu hạn.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập và hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan

đến nội dung đề tài. Đặc biệt là các tài liệu về tự đẳng cấu nhóm,

phân loại đồng chất các p - nhóm hữu hạn.

- Khảo sát các tính chất của tự đẳng cấu nhóm bảo toàn lớp liên

hợp và ứng dụng vào quan hệ đồng chất trên các p – nhóm hữu hạn.

- Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn.

5. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn gồm có 2

chương và được bố cục như sau:

Mở đầu

Chương 1. Nhóm và p – nhóm hữu hạn

Chương này sẽ trình bày sơ lược một số kiến thức về cấu trúc

nhóm và p – nhóm hữu hạn nhằm làm cơ sở cho chương sau.

§1. Nhóm và p - nhóm

§2. Nhóm lũy linh

Chương 2. Tự đẳng cấu nhóm bảo toàn lớp liên hợp và ứng dụng

trong quan hệ đồng chất

Chương này là nội dung chính của luận văn, sẽ giới thiệu về tự

đẳng cấu nhóm bảo toàn lớp liên hợp cùng các tính chất liên quan và

ứng dụng chúng trong quan hệ đồng chất trên tập các p – nhóm.

§1. Tự đồng cấu bảo toàn lớp liên hợp

§2. Quan hệ đồng chất

§3. Ứng dụng của tự động cấu bảo toàn lớp liên hợp trong

quan hệ đồng chất.

Kết luận

Danh mục các tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1.

NHÓM VÀ p – NHÓM HỮU HẠN

Chương này trình bày sơ lược một số kiến thức về cấu trúc nhóm

và p – nhóm hữu hạn nhằm làm cơ sở cho chương sau, các chi tiết

liên quan có

thể xem trong các tà

i liêu v ̣ ề lý

thuyết nhóm.

1.1. NHÓM VÀ p – NHÓM.

1.1.1. Cấu trúc nhóm

1.1.2. Nhóm con

Định nghĩa 1.7. Một nhóm con thực sự H của G được gọi là nhóm

con cực đại của G nếu có nhóm con M của G sao cho

H M G  

thì

M G

hoặc

M H

.

1.1.3. Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương

1.1.4. Đồng cấu nhóm

1.1.5. Tích trực tiếp và tổng trực tiếp

Giảsử A và B là các nhóm. Trên tâp ḥ ơp tích Descartes ̣

G A B a b a A b B      { , : , }  

ta đinh ngh ̣ ia m̃ ôt lu ̣ ât ḥ ơp th ̣ ành như sau:

a b a b a a bb 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , .    

Dễdàng kiểm tra lai ṛ ằng G cùng vớ

i phép toán đó

lâp nên ̣ môṭ

nhóm, có phần tử đơn vi ḷ à e e e  A B , 

và phần tử nghicḥ đảo của

ab, 

là    

1 1 1 a b a b , , .

  



Đinh ngh ̣ ia 1.30. ̃ Nhóm

G A B  

xác đinh như trên đư ̣ ơc g̣ oi ḷ à

tích

trưc ti ̣ ếp của hai nhóm A vàB.

Từ đinh ngh ̣ ia c ̃ ủa tích trưc ti ̣ ếp, ta có mênh ̣ đềsau.