Tổng quan về mô hình Randall-Sundrum pot

Tổng quan về mô hình Randall-Sundrum

Võ Quốc Phong

Ngày 14/10/2009

Mục lục

1 Mở đầu 2

2 Dạng tác dụng và metric của mô hình RSI và RSII 4

3 Phương trình trường hấp dẫn 5D 5

3.1 Phương trình trường hấp dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Giải phương trình Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Hệ thống thứ bậc và vấn đề về hằng số vũ trụ 16

5 Hấp dẫn 4D trên Brane trong không gian Bulk 5D 19

6 Năng-xung lượng trong mô hình Randall-Sundrum 22

7 Lạm phát trong mô hình Randall-Sundrum 24

8 Giãn nở tăng tốc trong RS 30

9 Shortcut của hấp dẫn trong không-thời gian 5 chiều của mô hình RS 34

9.1 Metric trong Bulk của mô hình Randall-Sundrum: . . . . . . . . . . . . 34

9.2 Metric trong Brane của mô hình Randall-Sundrum . . . . . . . . . . . 35

9.3 Chân trời điện từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9.4 Chân trời hấp dẫn trong mô hình RS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9.5 Nếu ta sử dung metric tĩnh thì sẽ không có shortcut . . . . . . . . . . . 38

10 Vi phạm bất biến Lorentz trong mô hình RS 40

11 Những vấn đề thực nghiệm 44

12 Tổng kết 44

1

1 Mở đầu

Từ những năm cuối thế kỉ 20 đến nay, hiện tượng vũ trụ giãn nở tăng tốc luôn

là hiện tượng thúc đẩy vũ trụ học cũng như vật lý học phát triển những mô hình lý

thuyết phù hợp để giải thích. Hiện tại, hiện tượng này được lột tả bằng nhiều mô hình

cũng như dữ liệu thực nghiệm, tuy có những thành công rất đáng kể nhưng chưa có

mô hình nào đạt được lời giải thích triệt để. Chúng tôi thấy có hai hướng tiếp cận

chính để giải thích hiện tượng này. Một là, hướng tiếp cận không dùng extra dimension

(chiều ngoại phụ) như các mô hình trường vô hướng (quintessence, K-essence,...), và

hướng thêm vào bằng tay một hằng số vũ trụ bé trong hình thức hấp dẫn Einstein

4D để gây ra sự giãn nở và chấp nhận fine-tuning. Hai là, các mô hình sử dụng chiều

ngoại phụ gọi là các mô hình Braneworld, hướng này có điểm lợi thế là cho thấy vũ

trụ tự giãn nở không như lý thuyết về hằng số vũ trụ. Trong quá trình tìm hiểu rõ hơn

về vũ trụ để giải thích cho sự giãn nở tăng tốc, chúng ta phải đối mặt với những vấn đề:

• Vấn đề hằng số vũ trụ: Năng lượng chân không quá nhỏ so với kết quả tính toán

của vật lý hạt cơ bản ( khoảng 120 bậc về độ lớn).

• Vấn đề trùng hợp ngẫu nhiên: Hiện tại, mật độ năng lượng tối (ρΛ) cùng bậc với

mật độ vật chất (ρm) và sẽ vượt trội hoàn toàn trong tương lai.

• Vấn đề về hệ thống thứ bậc: Tồn tại ít nhất 2 thang năng lượng cơ bản trong tự

nhiên - Thang điện yếu mEW = 103GeV và thang Planck Mpl = G

−1/2

N = 1018GeV

- Tỉ số giữa thang điện yếu và khối lượng Planck quá nhỏ mEW /Mpl ∼ 10−16

.

Các mô hình lý thuyết Braneworld là những mô hình đang rất được chú ý. Hầu hết

các mô hình Braneworld đều lấy ý tưởng chính từ lý thuyết nhiều chiều của Kaluza￾Klein, và gọi không-thời gian (3+1) chiều của chúng ta là Brane, không thời gian nhiều

chiều hơn là Bulk, tức là vũ trụ của chúng ta hành xử như một siêu mặt trong một

không thời gian nhiều chiều hơn. Theo tinh thần của các mô hình Braneworld thì vật

chất bị cầm tù trong Brane, riêng hấp dẫn có thể thoát ra khỏi Brane và truyền được

trong Bulk. Tính chất rò rỉ của hấp dẫn là một hệ quả của viêc nguồn hấp dẫn (vật

chất) chỉ tồn tại hạn chế trong Brane, đồng thời là một tính chất khơi nguồn cho các

vấn đề như vi phạm bất biến Lorentz, hay vấn đề về shortcut, và trọng yếu là gây ra

sự giản nỡ tăng tốc của vũ trụ.

Hiện tại, chúng tôi phân chia các mô hình Braneworld theo các tính chất của chiều

ngoại phụ (extra dimension) là: tính compact, tính flat hay tính warp. Chúng tôi thấy

rằng các mô hình Braneworld hiện tại chỉ có (4+1) hay (5+1) chiều tức là chỉ có 1 hay 2

chiều ngoại phụ, và theo tiêu chí trên, tạm thời chia thành những mô hình Braneworld

như sau:

2

+Mô hình Braneworld phẳng (flat) và chiều ngoại phụ compact như mô hình ADD.

+Mô hình Braneworld có hệ số warp và chiều ngoại phụ compact như mô hình RSI.

+Mô hình Braneworld có hệ số warp và chiều ngoại phụ noncompact, đơn cử như

mô hình DGP, RSII.

Mô hình Braneworld Randall-Sundrum (RS)[3, 4] khảo sát không-thời gian 5 chiều

được làm đầy bởi hằng số vũ trụ âm. Tùy vào đặc điểm của chiều thứ 5 compact hay

vô hạn mà mô hình này được chia thành hai loại: Mô hình RSI và mô hình RSII.

Mô hình RSI[3] đưa ra cách giải quyết vấn đề về hệ thống thứ bậc. Trong mô hình

này, chiều thứ 5 thêm vào compact trên Orbifold S

1/Z2 bán kính R. Hai Brane 3 chiều

được đặt tại các điểm cố định φ = 0 và φ = π. Brane ở φ = 0 là Brane ẩn hay

Brane Planck năng lượng cao. Brane ở φ = π là Brane quan sát được hay Brane TeV

năng lượng thấp. Áp suất trên hai Brane lần lượt là σ và −σ với σ là một hằng số dương.

Mô hình RSII[4] khảo sát cách khôi phục lại hấp dẫn 4 chiều trên Brane gắn trong

không-thời gian Bulk 5 chiều. Trong mô hình này, chiều thêm vào được mở rộng tới

vô hạn, tức là Brane có áp suất âm trong RSI bị dịch chuyển ra vô hạn. Còn lại một

Brane, vì vậy, mô hình RSII được gọi là mô hình RS một Brane, trong khi mô hình

RSI được gọi là mô hình RS 2 Brane.

Đối với mô hình RS, thực chất ngụ ý hai tiên đề. Một là, tiên đề về hàm tác dụng

trong 5 chiều. Hai là tiên đề về dạng tổng quát của metric như chúng ta sẽ thấy trong

mục 1 dưới đây.

Thông qua mô hình RS, các vấn đề như giải phương trình trường hấp dẫn 5 chiều,

vấn đề hằng số vũ trụ, vấn đề về lạm phát vũ trụ học và giãn nở tăng tốc của vũ trụ

đã được khảo sát và giải thích. Chúng ta sẽ lần lượt xem xét chúng.

Hai yếu tố cơ bản nhất để khảo sát mọi hiện tượng học của động lực hoc vũ trụ là

tác dụng và metric. Tác dụng mô tả trường hấp dẫn lẫn nguồn sinh ra hấp dẫn, metric

là phản ánh của trường hấp dẫn lên không-thời gian. Một mô hình về vũ trụ học cần

phải có hai yếu tố tiên quyết trên. Vì vậy, việc khảo sát mô hình RS, cần phải hiệu tốt

tác dụng của mô hình này. Sau đây là phần tóm tắt lại những vấn đề cơ bản nhất của

tác dụng và metric của mô hình RS.

3

2 Dạng tác dụng và metric của mô hình RSI và

RSII

Năm 1999, Raman Sundrum và Lisa Randall đã đưa ra một mô hình 5 chiều theo

xu thế Braneworld nhằm giải quyết bài toàn thứ bậc với chiều thứ 5 compact, mô hình

này được gọi là mô hình RSI. Và về sau mô hình này được cải tiến thành mô hình RSII

khi cho chiều thứ 5 nocompact. Các tác dụng mà hai tác giả này đưa ra có dạng sơ

khai như sau:

S = Sgravity + Svis + Shid,

Sgravity =

Z

d

4x

Z

dφp

−g

(5) 

−Λ + 2M3R

(5)

,

Svis =

Z

d

4x

√

−gvis {Lvis − Vvis} ,

Shid =

Z

d

4x

√

−ghid {Lhid − Vhid} ,

(2.1)

Trong đó:

-Sgravity : hàm tác dụng của trường hấp dẫn.

-Svis : hàm tác dụng trong Brane mà ta có thể quan sát được.

-Shid : hàm tác dụng trong Brane mà ta không thể quan sát được.

Có một nhận xét nhỏ là tác dụng trên thực chất là một mở rộng với của tác dụng

Hilbert-Einstein 4 chiều trong lý thuyết của tương đối rộng của Einstein. M là khối

lượng Planck 5 chiều, Λ là hằng số vũ trụ 5 chiều. Chúng ta dùng nguyên lý tác dụng

tối thiểu áp lên tác dụng trên chúng ta sẽ dẫn ra được phương trình hấp dẫn 5 chiều

tương tự như hệ phương trình Einstein trong lý thuyết tương đối rộng. Trong mô hình

RS, metric có dạng như sau:

ds2 = e

−2σ(φ)

ηµνdxµ

dxν + r

2

cdφ2

. (2.2)

Ứng dụng metric trên chúng ta sẽ giải được phương trình trường 5 chiều sẽ tìm

được dạng cụ thể của metric hay cho ta biết được dạng cụ thể của không-thời gian.

Tuy nhiên, metric trong biểu thức bình phương khoảng (2.2) này được hai tác

giả đưa ra đầu tiên thể hiện mô hình vũ trụ tĩnh không mô tả được sự giãn nỡ của

vũ trụ, mà hai tác giả chỉ nhằm mục đích giải quyết bài toán vi phạm thứ bậc như

trình bày trong mục 4. Về sau, có những tác giả khác chỉ chấp nhận tiên đề thứ nhất

về tác dụng của mô hình RS, nhưng cho metric phụ thuộc vào thời gian để khảo sát

4