Tổng nửa trực tiếp của các đại số lie.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM



TRẦN TUẤN ANH

TỔNG NỬA TRỰC TIẾP CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 8460104

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG – NĂM 2018

Công trình được hoàn thành tại:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG



Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Đạo Dõng.

Phản biện 1: PGS. TS. Nguyễn Chánh Tú.

Phản biện 2: GS. TS. Lê Văn Tuyết.

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

Toán học họp tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng vào ngày 01

tháng 9 năm 2018.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện Trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Cho g là một đại số Lie trên trường K. Đạo hàm của đại số Lie g là

một toán tử tuyến tính ∂ trên g sao cho thoả qui tắc Leibniz tương ứng với

tích Lie, tức là

∂([A, B]) = [∂(A), B] + [A, ∂(B)]

với mọi phần tử A, B của g. Khi đó, tập hợp Der(g) các toán tử đạo hàm

là một đại số Lie và được gọi là đại số đạo hàm của g.

Cho trước phần tử A của đại số Lie g, toán tử adA của g xác định bởi

công thức adA(B) = [A, B], với mọi B của g, là một đạo hàm của g và

được gọi là đạo hàm trong của g.

Xét g và h là hai đại số Lie trên cùng một trường K và τ là một đồng

cấu tuyến tính từ g vào Der(h). Tổng nửa trực tiếp (hay tích nửa trực tiếp)

của các đại số Lie g và h được định nghĩa là không gian vector tích g × h

cùng với tích Lie

[(A, X),(B, Y )] = ([A, B], [X, Y ] + τ (A)Y − τ (B)X)

với mọi A, B của g và X, Y của h. Ký hiệu g ⊕τ h.

Trong trường hợp đặc biệt τ (A)Y = 0, với mọi A của g và X của h,

tổng nửa trực tiếp của g và h quy về tổng trực tiếp của hai đại số Lie g và

h với tích Lie

[(A, X),(B, Y )] = ([A, B], [X, Y ])

với mọi A, B của g và X, Y của h.

Nghiên cứu cấu trúc và biểu diễn của các đại số Lie, trong đó có tổng

nửa trực tiếp của các đại số Lie, là một trong các bài toán cơ bản và mang

2

tính thời sự trong lý thuyết Lie và lý thuyết biểu diễn. Với mong muốn tìm

hiểu thêm về các tính chất của biểu diễn liên hợp, đạo hàm và tổng nửa trực

tiếp của các đại số Lie, cùng với sự gợi ý của PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi

đã chọn đề tài "Tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie" làm đề tài

nghiên cứu cho luận văn của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie trong mối liên hệ với

biểu diễn liên hợp và đạo hàm của đại số Lie.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn chủ yếu tập trung đi sâu vào tìm hiểu các khái niệm, định

nghĩa và các tính chất liên quan đến tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie

trong mối liên hệ với biểu diễn liên hợp và đạo hàm của đại số Lie.

4. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu kinh

điển và các bài báo cập nhật, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan.

Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tổng hợp tài liệu, trình bày một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về tổng

nửa trực tiếp của các đại số Lie.

Góp phần làm rõ mối liên hệ giữa tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie

với đạo hàm và biểu diễn liên hợp.

Bước đầu tìm hiểu ứng dụng của tổng nửa trực tiếp các đại số Lie để

tìm hiểu về định lí Levi, thể hiện tổng nửa trực tiếp dưới dạng mở rộng của

đại số Lie.

3

6. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội

dung của luận văn được chia thành 2 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở về đại số Lie, các iđêan và đồng

cấu đại số Lie. Phần lớn nội dung của chương là hệ thống các khái niệm,

tính chất của biểu diễn liên hợp của đại số Lie, đại số Lie lũy linh, đại số

Lie giải được, đại số Lie nửa đơn và các ví dụ liên quan.

Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, tôi trình

bày khái niệm và một số tính chất của đạo hàm trên đại số Lie, từ đó xây

dựng khái niệm tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie. Kết quả chính của

chương là chứng minh một số tính chất của tổng nửa trực tiếp của các đại

số Lie trong mối liên hệ với đạo hàm và biểu diễn liên hợp của đại số Lie.

Ngoài ra, tôi cũng trình bày sơ lược ứng dụng tổng nửa trực tiếp để tìm

hiểu về định lí Levi, thể hiện tổng nửa trực tiếp dưới dạng mở rộng của đại

số Lie.

4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm, tính chất

cơ bản về đại số Lie và biểu diễn liên hợp, các khái niệm liên quan như

đại số Lie lũy linh, đại số Lie giải được và đại số Lie nửa đơn. Các nội

dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1] và [3].

1.1. Đại số Lie và đồng cấu

Định nghĩa 1.1.1. Cho g là một không gian vectơ trên trường K.

Khi đó g được gọi là đại số Lie trên K nếu tồn tại phép toán

[, ] : g × g −→ g

(A, B) 7−→ [A, B]

sao cho

(1) [, ] tuyến tính theo từng biến;

(2) [A, A] = 0, ∀A ∈ g;

(3) [, ] thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, tức là

[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0, ∀A, B, C ∈ g.

Ví dụ 1.1.2.

Nhận xét 1.1.3.

a) Đại số kết hợp g = End(V ) các tự đồng cấu của không gian vectơ

V là một đại số Lie, kí hiệu g = gl(V ).

b) Đại số kết hợp g = Mat(n, K) các ma trận vuông cấp n trên trường

K là một đại số Lie, kí hiệu g = gl(n, K).

5

Định nghĩa 1.1.4. Cho g là đại số Lie trên trường K và tập con

h ⊂ g. Khi đó h được gọi là đại số Lie con của g nếu:

(1) h là không gian vectơ con của g;

(2) h bảo toàn tích Lie, tức là ∀A, B ∈ h, ta có [A, B] ∈ h.

Với a, b ⊂ g, kí hiệu

[a, b] = h{[A, B]|A ∈ a, B ∈ b}i ⊂ g.

Khi đó, điều kiện (2) có dạng [h, h] ⊂ h.

Ví dụ 1.1.5.

Ví dụ 1.1.6.

Định nghĩa 1.1.7. Cho đại số Lie g và tập con a ⊂ g. Ta gọi a là

iđêan của g nếu:

(1) a là không gian vectơ con của g;

(2) [a, g] ⊂ a.

Ví dụ 1.1.8.

Từ định nghĩa của iđêan ta có tính chất sau:

Mệnh đề 1.1.9. Cho a, b là các iđêan của đại số Lie g. Khi đó,

a ∩ b, a + b, [a, b] là các iđêan của g. Đặc biệt, [g, g] là iđêan của g.

Định nghĩa 1.1.10. Cho g là đại số Lie trên trường K và a là iđêan

của g.

Khi đó không gian vectơ thương g/a = {X + a | X ∈ g} là một đại

số Lie, được gọi là đại số Lie thương với tích Lie

[, ] : g/a × g/a −→ g/a

(X + a, Y + a) 7−→ [X, Y ] + a.