Tong_hop_1_so_BT_hay_kho

SỬ DỤNG DIỆN TÍCH

TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC

Có nhiều bài toán hình học tưởng như không liên quan đến diện tích, nhưng nếu ta

sử dụng diện tích thì lại dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán.

Bài toán 1 : Tam giác ABC có AC = 2 AB. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D.

Chứng minh rằng DC = 2 DB.

Phân tích bài toán (h.1)

Để so sánh DC và DB, có thể so sánh diện tích hai tam giác ADC và ADB có

chung đường cao kẻ từ A. Ta so sánh được diện tích hai tam giác này vì chúng có

các đường cao kẻ từ D bằng nhau, và AC = 2 AB theo đề bài cho.

Giải : Kẻ DI vuông góc với AB, DK vuông góc với AC. Xét ΔADC và ΔADB :

các đường cao DI = DK, các đáy AC = 2 AB nên SADC = 2 SADB.

Vẫn xét hai tam giác trên có chung đường cao kẻ từ A đến BC, do SADC = 2 SADB

nên DC = 2 DB.

Giải tương tự như trên, ta chứng minh được bài toán tổng quát :

Nếu AD là phân giác của ΔABC thì DB/DC = AB/AC.

Bài toán 2 : Cho hình thang ABCD (AB // CD), các đường chéo cắt nhau tại O.

Qua O, kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt các cạnh bên AC và BC theo thứ

tự tại E và F.

Chứng minh rằng OE = OF.

Giải :

Cách 1 : (h.2) Kẻ AH, BK, CM, DN vuông góc với EF. Đặt AH = BK = h1, CM =

DN = h2.

Ta có :

Từ (1), (2), (3) => :

Do đó OE = OF.

Cách 2 : (h.3) Kí hiệu như trên hình vẽ. Ta có SADC = SBDC .

Cùng trừ đi S5 được :

S1 + S2 = S3 + S4 (1)

Giả sử OE > OF thì S1 > S3 và S2 > S4 nên S1 + S2 > S3 + S4, trái với (1).

Giả sử OE < OF thì S1 < S3 và S2 < S4 nên S1 + S2 < S3 + S4, trái với (1).

Vậy OE = OF.

Bài toán 3 : Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh

AB, BC sao cho AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng

KD là tia phân giác của góc AKC.

Giải : (h.4) Kẻ DH vuông góc với KA, DI vuông góc với KC.

Ta có :

DH . AN = 2 SADN (1)

DI . CM = 2 SCDM (2)

Ta lại có SADN = 1/2.SABCD (tam giác và hình bình hành có chung đáy AD, đường

cao tương ứng bằng nhau), SCDM = 1/2.SABCD nên SADN = SCDM (3)

Từ (1), (2), (3) => DH . AN = DI . CM.

Do AN = CM nên DH = DI. Do đó KI là tia phân giác của góc AKC.

Như vậy khi xét quan hệ giữa độ dài các đoạn thẳng, ta nên xét quan hệ giữa diện

tích các tam giác mà cạnh là các đoạn thẳng ấy. Điều đó nhiều khi giúp chúng ta đi

đến lời giải của bài toán.

Bạn hãy sử dụng diện tích để giải các bài toán sau :

1. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh đáy BC. Gọi

MH, MK theo thứ tự là các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Gọi BI là

đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng MH + MK = BI.

Hướng dẫn : Hãy chú ý đến

SAMB + SAMC = SABC.

2. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm M bất kì trong tam giác đều

ABC đến ba cạnh của tam giác không phụ thuộc vị trí của M.

Hướng dẫn : Hãy chú ý đến

SMBC + SMAC + SMAB = SABC.

3. Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm M thuộc tia đối của tia BC. Chứng minh

rằng hiệu các khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AC và AB bằng đường cao

ứng với cạnh bên của tam giác ABC.

Hướng dẫn : Hãy chú ý đến

SMAC - SMAB = SABC.

4. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Các đường thẳng AD và BC cắt

nhau tại O. Gọi F là trung điểm của CD, E là giao điểm của OF và AB. Chứng

minh rằng AE = EB.

Hướng dẫn : Dùng phương pháp phản chứng.

MỘT PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ

Bài toán 1 : Cho góc xOy. Trên Ox lấy hai điểm A, B và trên Oy lấy hai điểm C, D

sao cho AB = CD. Gọi M và N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh đường

thẳng MN song song với phân giác góc xOy.

Suy luận : Vị trí đặc biệt nhất của CD là khi CD đối xứng với AB qua Oz, phân

giác góc xOy.

Gọi C1 và D1 là các điểm đối xứng của A và B qua Oz ; E và F là các giao điểm của

AC1 và BD1 với Oz. Khi đó E và F là trung điểm của AC1 và BD1, và do đó vị trí

của MN sẽ là EF. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh MN // EF là đủ (xem hình 1).

Thật vậy, do AB = CD (gt), AB = C1D1 (tính chất đối xứng) nên CD = C1D1. Mặt

khác ME và NF là đường trung bình của các tam giác ACC1 và BDD1 nên NF //

DD1, NF = 1/2DD1 , ME // CC1 , ME = 1/2 CC1 => ME // NF và NE = 1/2 NF => tứ

giác MEFN là hình bình hành => MN // EF => đpcm.

Bài toán 1 có nhiều biến dạng” rất thú vị, sau đây là một vài biến dạng của nó, đề

nghị các bạn giải xem như những bài tập nhỏ ; sau đó hãy đề xuất những “biến

dạng” tương tự.

Bài toán 2 : Cho tam giác ABC. Trên AB và CD có hai điểm D và E chuyển động

sao cho BD = CE. Đường thẳng qua các trung điểm của BC và DE cắt AB và AC

tại I và J. Chứng minh ΔAIJ cân.

Bài toán 3 : Cho tam giác ABC, AB ≠ AC. AD và AE là phân giác trong và trung

tuyến của tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt AB và AC tại M

và N. Gọi F là trung điểm của MN. Chứng minh AD // EF.

Trong việc giải các bài toán chứa các điểm di động, việc xét các vị trí đặc biệt càng

tỏ ra hữu ích, đặc biệt là các bài toán “tìm tập hợp điểm”.

Bài toán 4 : Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định và một điểm C chuyển

động trên nửa đường tròn đó. Dựng hình vuông BCDE. Tìm tập hợp C, D và tâm

hình vuông.

Ta xét trường hợp hình vuông BCDE “nằm ngoài” nửa đường tròn đã cho (trường

hợp hình vuông BCDE nằm trong đường tròn đã cho được xét tương tự, đề nghị

các bạn tự làm lấy xem như bài tập).

Suy luận : Xét trường hợp C trùng với B. Khi đó hình vuông BCDE sẽ thu lại một

điểm B và các điểm I, D, E đều trùng với B, trong đó I là tâm hình vuông BCDE.

Vậy B là một điểm thuộc các tập hợp cần tìm.

Xét trường hợp C trùng với A. Dựng hình vuông BAD1E1 khi đó D trùng với D1, E

trùng với E1 và I trùng với I1 (trung điểm của cung AB ). Trước hết, ta tìm tập hợp

E. Vì B và E1 thuộc tập hợp cần tìm nên ta nghĩ ngay đến việc thử chứng minh

BEE1 không đổi. Điều này không khó vì ACB = 90o

(góc nội tiếp chắn nửa

đường tròn) và ΔBEE1 = ΔBCA (c. g. c) => BEE1 = BCA = 90o

=> E nằm trên

nửa đường tròn đường kính BE1 (1/2 đường tròn này và 1/2 đường tròn đã cho nằm

ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với “bờ” là đường thằng BE1).

Vì DEB = E1EB = 90o

nên D nằm trên EE1 (xem hình 2)

=> ADE1 = 90o

= ABE1 => D nằm trên đường tròn đường kính AE1, nhưng

ABE1D1 là hình vuông nên đường tròn đường kính AE1 cũng là đường tròn đường

kính BD1. Chú ý rằng B và D1 là các vị trí giới hạn của tập hợp cần tìm, ta => tập

hợp D là nửa đường tròn đường kính BD1 (nửa đường tròn này và điểm A ở về hai

nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là đường thẳng BD1).

Cuối cùng, để tìm tập hợp I, ta cần chú ý II1 là đường trung bình của ΔBDD1 nên II1

// DD1 => BII1 = 90 => tập hợp I là nửa đường tròn đường kính BI1 (đường tròn

này và A ở về hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là BD1).

Để kết thúc, xin mời bạn giải bài toán sau đây :

Bài toán 5 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB cố định và 1 điểm C chuyển

động trên nửa đường tròn đó. Kẻ CH vuông góc với AB. Trên đoạn thẳng OC lấy

điểm M sao cho OM = CH. Tìm tập hợp M.