Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Toán tử tích phân và cơ sở sóng nhỏ trên một số không gian hàm
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
---------------
Đào Văn Dƣơng
TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ
TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
Đào Văn Dƣơng
TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ
TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM
Chuyên ngành: Phƣơng trình vi phân và tích phân
Mã số : 62 46 01 03
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. Nguyễn Minh Chƣơng
HÀ NỘI – 2013
1
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng
dẫn khoa học của Giáo sư Nguyễn Minh Chương. Các kết quả viết chung
với người hướng dẫn đã được sự nhất trí của người hướng dẫn khi đưa
vào luận án. Các kết quả của luận án đều là mới và chưa từng được công
bố trong bất kỳ công trình khoa học của ai khác.
Tác giả
Đào Văn Dương
2
Lời cảm ơn
Luận án này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc
của Giáo sư Nguyễn Minh Chương. Thầy hướng dẫn và truyền đạt cho
tác giả những kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học và cả những
điều thật quý báu trong cuộc sống. Sự động viên, tin tưởng của Thầy là
một trong những động lực để tác giả hoàn thành luận án. Nhân dịp này,
tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả luôn nhận
được sự động viên, hướng dẫn của các Thầy trong Khoa Toán - Tin,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là Bộ môn Giải tích. Tác giả
xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của các Thầy.
Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tác giả cũng nhận
được sự giúp đỡ, góp ý của GS.TSKH. Đỗ Ngọc Diệp, GS.TSKH. Nguyễn
Mạnh Hùng, PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn, TS. Trần Đình Kế, TS. Cung Thế
Anh. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo cùng các anh chị
em NCS, Cao học trong Xêmina "Toán tử giả vi phân, sóng nhỏ trên
3
các trường thực, p-adic" do Giáo sư Nguyễn Minh Chương chủ trì, Viện
Toán học, và Xêmina của Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội, đã động viên, giúp đỡ tác giả trong nghiên cứu cũng như trong
cuộc sống.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội, Phòng đào tạo Sau đại học cùng toàn thể cán bộ, công
nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho tác giả trong quá trình thực hiện luận án.
Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy, Cô trong
khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn cũng như các Thầy ở Viện Toán
học đã tham gia giảng dạy cao học, khóa 7, Đại học Quy Nhơn, đã truyền
đạt cho tác giả những kiến thức toán học hữu ích.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Xây dựng Miền Trung,
nơi tác giả đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt để tác
giả yên tâm hoàn thành luận án.
Tác giả chân thành cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp gần xa, đặc biệt
là cha mẹ, vợ và con trai cùng những người thân trong gia đình, đã giúp
đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận án.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Đào Văn Dương
4
MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT
Ký hiệu Diễn giải
N : Tập hợp các số tự nhiên
Z : Tập hợp các số nguyên
Q : Trường các số hữu tỷ
R : Trường các số thực
R
n
: Không gian véctơ n chiều trên trường R
Qp : Trường các số p-adic, với p là số nguyên tố
Qn
p
: Không gian véctơ n chiều trên trường Qp
Ip : Tập hợp các phần phân thức của số p-adic
Zp : Hình cầu đơn vị trong Qp
Z
∗
p
: Tập hợp các phần tử của Zp khác không
I
n
p
: Tích Descartes của n tập Ip
Bγ(a), Bγ : Hình cầu tâm a, tâm 0, bán kính p
γ
Sγ(a), Sγ : Mặt cầu tâm a, tâm 0, bán kính p
γ
|x|p : Chuẩn của một phần tử x trong Qn
p
L
q
(R
n
), Lq
(Qn
p
) : Tập các hàm khả tích bậc q trên R
n
, trên Qn
p
L
q
loc(Qn
p
) : Tập các hàm khả tích địa phương bậc q trên Qn
p
L
1
loc(R
n
) : Tập các hàm khả tích địa phương trên R
n
B
α,q
`
(R
n
) : Không gian Besov trên R
n
BMO(R
n
) : Không gian BMO trên R
n
H`
(R
n
) : Không gian Hardy trên R
n
5
V MO(R
n
) : Không gian VMO trên R
n
B
α,q
`,k (R
n
) : Không gian Besov có trọng trên R
n
BMOk(R
n
) : Không gian BMO có trọng trên R
n
F
α,β
r,q (Qn
p
) : Không gian Triebel-Lizorkin trên Qn
p
Kα
`,q(Qn
p
) : Không gian Herz trên Qn
p
Mλ
q
(Qn
p
) : Không gian Morrey trên Qn
p
MKα
`,q(Qn
p
) : Không gian Morrey-Herz trên Qn
p
D(Qn
p
) : Tập các hàm hằng địa phương có giá compact trên Qn
p
D0
(Qn
p
) : Tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Qn
p
)
Ff : Biến đổi Fourier của hàm f trên trường số p-adic
χ : Hàm đặc trưng cộng tính trên trường số p-adic
Uψ : Toán tử Hardy-Littlewood có trọng
Vψ : Toán tử Cesàro có trọng
[b, Uψ] , [b, Vψ] : Giao hoán tử của toán tử Uψ, Vψ với hàm b
MRA : Xấp xỉ đa phân giải (Multiresolution Analysis)
BMO : Bounded Mean Oscillation
VMO : Vanishing Mean Oscillation
6
Mục lục
Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn 2
Bảng ký hiệu 4
MỞ ĐẦU 8
Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ 18
1.1 Không gian Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Tích chập và biến đổi Fourier trên trường thực . . . . . . 20
1.3 Trường số p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Độ đo và tích phân trên trường số p-adic . . . . . . . . . 25
1.5 Biến đổi Fourier và tích chập p-adic . . . . . . . . . . . . 27
1.6 Các định lý nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Chương 2. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN SÓNG NHỎ TRÊN
MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM 34
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7
2.2 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov,
BMO và Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov,
BMO có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Chương 3. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN HARDY-LITTLEWOOD
CÓ TRỌNG TRÊN TRƯỜNG P-ADIC 56
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian TriebelLizorkin trên trường p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian MorreyHerz trên trường p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Giao hoán tử của toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên
không gian Morrey-Herz trên trường p-adic . . . . . . . . 78
Chương 4. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VLADIMIROV VÀ
CƠ SỞ SÓNG NHỎ P-ADIC TRONG L
r
(Qn
p
) 87
4.1 Toán tử tích phân Vladimirov và sóng nhỏ p-adic . . . . 88
4.2 Cơ sở sóng nhỏ không điều kiện gồm các hàm riêng của
toán tử Dα
trong không gian L
r
(Qn
p
) . . . . . . . . . . . 96
4.3 Cơ sở Greedy trong không gian L
r
(Qn
p
) . . . . . . . . . . 110
Kết luận và kiến nghị 116
Danh mục công trình công bố 118
Tài liệu tham khảo 119
8
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Trong khoảng 20 năm trở lại đây, lý thuyết sóng nhỏ xuất hiện và phát
triển rất mạnh. Lý thuyết này đang là một công cụ rất có hiệu lực để
giải quyết nhiều bài toán quan trọng trong Vật lý toán nói riêng và trong
Khoa học, Công nghệ nói chung (xem trong các công trình [8], [21], [22],
[36], [49], [50], [51], ...). Nhờ lý thuyết sóng nhỏ, người ta nghiên cứu lý
thuyết toán tử (đặc biệt là lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị CalderónZygmund hay lý thuyết toán tử giả vi phân) và lý thuyết các không gian
phiếm hàm, từ đó đã tìm được những đặc trưng mới về các không gian
phiếm hàm quan trọng như H¨older, Zygmund, Sobolev, Besov, Hardy,
BMO ... (xem, chẳng hạn, [21], [36], [49]). Ngược lại, cũng có thể sử dụng
lý thuyết toán tử để nghiên cứu lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt trong việc
nghiên cứu cấu trúc nghiệm của phương trình lọc (xem [18], [19], [20]).
Ngày nay sự phát triển của lý thuyết sóng nhỏ gắn với lý thuyết các
toán tử giả vi phân và lý thuyết các không gian hàm đã làm cho tính
khoa học và tính ứng dụng của chúng ngày càng cao.
Toán tử tích phân sóng nhỏ là một bộ phận quan trọng trong lý
thuyết sóng nhỏ. Sóng nhỏ, toán tử tích phân sóng nhỏ là một trong
9
những công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều bài toán quan trọng trong
Toán học, Vật lý, Khoa học và Công nghệ như xử lý ảnh, xử lý tín hiệu,
địa chấn, nén dữ liệu, sinh học, y học, thị trường chứng khoán... Đã có
nhiều nhà toán học như Yves Meyer, Ingrid C. Daubechies, David L.
Donoho, Ronald R. Coifman, Nguyễn Minh Chương, P. R. Massopust,
A. Rieder, R. S. Pathak, G. Strang ... (xem [8], [13], [14], [21], [23], [49],
[52], [59], [64], [69], ...) tham gia nghiên cứu và công bố nhiều công trình
về lĩnh vực lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt là toán tử tích phân sóng nhỏ.
Năm 2004, Ram S. Pathak [59] đã nghiên cứu toán tử tích phân sóng
nhỏ xác định bởi (Wψφ)(b, a) = R
Rn
φ(t)ψ
t−b
a
dt
a
n , trong đó a là một số
thực dương và b ∈ R
n
. Nếu φ, ψ ∈ L
2
(R
n
) thì bởi đẳng thức Parseval của
biến đổi Fourier ta có (Wψφ)(b, a) = (2π)
−n
R
Rn
e
iωbψˆ(aω)φˆ(ω)dω. Từ biểu
thức này, ta thấy toán tử tích phân sóng nhỏ cũng là một toán tử giả vi
phân với biểu trưng σ(a, ω) = ψˆ(aω). Với nhận xét tinh tế này, Ram S.
Pathak đã sử dụng lý thuyết toán tử giả vi phân để nghiên cứu toán tử
tích phân sóng nhỏ trên không gian các phân bố. Ngày nay do nhu cầu
của thực tiễn ứng dụng, lý thuyết sóng nhỏ không chỉ phát triển trên
trường số thực, phức mà đã được chuyển sang nghiên cứu trên trường số
p-adic, hoặc tổng quát hơn trên các trường địa phương, trên các không
gian siêu metric. Năm 2002, các tác giả trong [53] đã nghiên cứu các kết
quả ban đầu của toán tử tích phân sóng nhỏ trên trường p-adic mà ý
tưởng nghiên cứu tương tự như trên trường thực.
Toán tử tích phân sóng nhỏ đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài
nước nghiên cứu trên nhiều không gian hàm khác nhau như Lebesgue
10
Sobolev (kể cả trường hợp có trọng), Triebel-Lizorkin, không gian các
hàm suy rộng, ... (xem, chẳng hạn, [14], [59], [60], [61], [64]), trong đó
các nhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng
cấu, dáng điệu tiệm cận, ... cho toán tử tích phân sóng nhỏ. Tính bị chặn
của các toán tử tuyến tính, dưới tuyến tính, trong các không gian tuyến
tính định chuẩn là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích và
có nhiều ứng dụng. Chẳng hạn, từ tính bị chặn của toán tử trong một
số trường hợp có thể giải quyết được tính tồn tại, duy nhất, ... nghiệm
của phương trình, hay nói theo ngôn ngữ đại số, giải quyết được tính
toàn ánh, đơn ánh, ... của toán tử. Thậm chí Charles Fefferman [27] đã
đưa ra được một chứng minh mới cho sự hội tụ từng điểm của chuỗi
Fourier trong không gian L
q
[0, 2π] (q > 1) bằng cách nghiên cứu tính bị
chặn của một lớp toán tử cực đại. Đối với toán tử tích phân sóng nhỏ,
việc nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng cấu, dáng điệu tiệm cận ứng với
tham biến thang bậc a nhỏ, ... trên một số không gian hàm đang là vấn
đề thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học.
Giải tích điều hòa và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng trên trường
thực cũng như trên trường p-adic ngày càng được nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu. Một trong những toán tử quan trọng trong giải
tích điều hòa là toán tử Hardy-Littlewood. Năm 1920, G. H. Hardy [34]
đã thiết lập một bất đẳng thức tích phân (ngày nay gọi là bất đẳng thức
tích phân Hardy), từ đó đưa ra một chứng minh đơn giản cho định lý về
chuỗi kép của Hilbert. Bất đẳng thức Hardy giữ một vai trò quan trọng
trong lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết các
không gian phiếm hàm (xem, chẳng hạn, [5], [24], [48]). Năm 1984, các
11
tác giả C. Carton-Lebrun và M. Fosset [87] đã giới thiệu toán tử tích phân
Hardy-Littlewood có trọng, là tổng quát của toán tử Hardy-Littlewood
từ một chiều lên nhiều chiều. Kể từ đó, toán tử Hardy-Littlewood có
trọng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới,
trong đó các nhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu các điều kiện
cần và đủ cho hàm trọng để toán tử Hardy-Littlewood có trọng là bị
chặn trên các không gian Lebesgue, BMO, Herz, Triebel-Lizorkin...và
đánh giá chuẩn của toán tử Hardy-Littlewood có trọng trong các không
gian hàm, ... (xem [29], [30], [47], [48], [72], [73], [74], [86]). Trên trường
p-adic, trong những năm gần đây toán tử tích phân Hardy-Littlewood có
trọng, toán tử Hausdorff cũng được nghiên cứu trên một số không gian
hàm như L
q
, BMO, Hardy, H¨older, Morrey, Herz (trong không gian Herz
chỉ mới nghiên cứu cho điều kiện đủ với số chiều n = 1), ... (xem [63],
[79], [80], [81], [82], [83]). Đặc biệt, gần đây công trình [35] đã nghiên
cứu tính bị chặn của một lớp toán tử tích phân Hardy-Cesàro có trọng
trên các không gian Lebesgue, BMO có trọng trên trường p-adic, và từ
đó đưa ra một bất đẳng thức Hardy dạng rời rạc trên trường thực.
Như chúng ta đã biết, nhiều lý thuyết toán học đã sớm được chuyển
sang xây dựng và nghiên cứu trên trường p-adic. Tuy nhiên đối với lý
thuyết các hàm suy rộng Schwartz trên trường p-adic, mãi đến năm 1988,
V. S. Vladimirov mới xây dựng không gian các hàm suy rộng, phép biến
đổi Fourier, tích chập và lớp toán tử giả vi phân p-adic Dα
. Đến năm
1994, các tác giả V. S. Vladimirov, I. V. Volovich và E. I. Zelenov [77]
đã đề cập một cách có hệ thống giải tích p-adic và vật lý toán. Như
đã nói ở trên, việc nghiên cứu và phát triển một số kết quả từ trường